第八章　培优点10　阿波罗尼斯圆与蒙日圆-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
培优点10　阿波罗尼斯圆与蒙日圆
在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
例1　(1)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T： ＝1(a>b>0)，A，B为椭圆T长轴的端点，C，D为椭圆T短轴的端点，E，F分别为椭圆T的左、右焦点，动点M满足 ＝2，△MAB面积的最大值为 ，△MCD面积的最小值为 ，则椭圆T的离心率为
设M(x，y)，E(－c,0)，F(c,0)，
(2)已知点P是圆(x－4)2＋(y－4)2＝8上的动点，A(6，－1)，O为坐标原点，则|PO|＋2|PA|的最小值为______.
假设A′(m，n)，使得|PO|＝2|PA′|，
从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，
由题意得圆3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆(x－4)2＋(y－4)2＝8是同一个圆，
所以|PO|＋2|PA|＝2(|PA′|＋|PA|)≥2|A′A|
即|PO|＋2|PA|的最小值为10.
阿波罗尼斯圆的逆用当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标.
跟踪训练1　(1)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A，B的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足 ，则|PA|2＋|PB|2的最大值为
由题意，设A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，
即(x－2)2＋y2＝3，
因为|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0,0)的距离的平方，
(2)在平面直角坐标系Oxy中，M，N是x轴上两定点，点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，且满足|PM|＝2|PN|，则|MN|＝_____.
如图所示，设M(m,0)，N(n,0)，P(x，y)，∵|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝4|PN|2，∴(x－m)2＋y2＝4[(x－n)2＋y2]，即x2－2mx＋m2＋y2＝4x2－8nx＋4n2＋4y2，即3x2＋(2m－8n)x＋3y2＋4n2－m2＝0，
在椭圆 ＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.性质1　PA⊥PB.
性质4　PO平分椭圆的切点弦AB.性质5　延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.
例2　(1)(2023·抚松模拟)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： ＝1(a>0)的蒙日圆的方程为x2＋y2＝4，则a等于A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
(2)(2023·合肥模拟)已知A是圆x2＋y2＝4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆 ＋y2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；
当直线l1，l2有一条斜率不存在时，不妨设l1的斜率不存在，∵l1与椭圆只有一个公共点，
∴l2的方程为y＝1或y＝－1，故l1⊥l2成立，
当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A(m，n)且m2＋n2＝4，
设过点A的直线方程为y＝k(x－m)＋n，代入椭圆方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，由Δ＝0化简整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，∵m2＋n2＝4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2成立，综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立.
②求△AMN面积的取值范围.
记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，∵MA⊥NA，∴MN是圆的直径，
蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广双曲线 ＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2＋y2＝a2－b2(只有当a>b时才有蒙日圆).
跟踪训练2　(多选)(2023·泰州模拟)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率为 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点.直线l的方程为bx＋ay－a2－b2＝0.下列说法正确的是A.椭圆C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2B.对直线l上任意一点P， >0C.记点A到直线l的距离为d，则d－|AF2|的最小值为D.若矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
对于A，过点Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x＝a，y＝b，∴点Q(a，b)在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，
∴椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝3b2，A正确；对于B，由l方程知，l过点P(b，a)，
又点P满足蒙日圆方程，∴点P(b，a)在圆x2＋y2＝3b2上，
对于C，∵点A在椭圆上，∴|AF1|＋|AF2|＝2a，∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)＝d＋|AF1|－2a，当F1A⊥l时，d＋|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，
由A知，a2＝2b2，则c2＝a2－b2＝b2，即c＝b，
对于D，当矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，
∴矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝12b2，
即矩形MNGH面积的最大值为6b2，D正确.
A.x2＋y2＝9 B.x2＋y2＝7C.x2＋y2＝5 D.x2＋y2＝4
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.
2.在圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆　　　＋y2＝1的两条互相垂直的切线，则r的取值范围是A.(3,7)　　　B.[3,7]　　　C.(1,9)　　　D.[1,9]
依题意，点P在圆x2＋y2＝4上，又点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，且其圆心为(3,4)，
即|2－r|≤5≤2＋r，所以r∈[3,7].
3.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，则当△ABC的面积最大时，|BC|等于
如图所示，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，因为|AC|＝6，所以A(－3,0)，C(3,0)，设B(x，y)，因为sin C＝2sin A，由正弦定理可得|AB|＝2|BC|，所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，化简得(x－5)2＋y2＝16，且x≠1，x≠9，圆的位置如图所示，圆心为(5,0)，半径r＝4，
观察可得，在三角形底边长|AC|不变的情况下，当B点位于圆心D的正上方或正下方时，高最大，此时△ABC的面积最大，B点坐标为(5,4)或(5，－4)，
同时平方，化简得x2＋y2＝4，故点P的轨迹为圆心为(0,0)，半径为2的圆，又点P在直线x－y＋m＝0上，
故圆x2＋y2＝4与直线x－y＋m＝0必须有公共点，
5.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为4b2，则椭圆C的离心率为
由已知条件可得MP⊥MQ，则PQ为圆x2＋y2＝a2＋b2的一条直径，则|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝4(a2＋b2)，
当且仅当|MP|＝|MQ|时，等号成立.所以a2＋b2＝4b2，所以a2＝3b2＝3(a2－c2)，
设点M(x，y)，令2|MA|＝|MC|，
当点M位于图中M1的位置时，2|MA|－|MB|＝|M1C|－|M1B|，
对于A选项，设C(x，y).
整理得x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，所以动点C的轨迹为以N(－2,0)为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4，故A正确；对于B选项，因为直线l过定点M(－1,1)，而点M(－1,1)在圆N内，所以直线l与圆N相交，故B正确；
对于D选项，记圆心N到直线l的距离为d，
因为|PQ|2＝4(r2－d2)＝8.
依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线(图略)，则这两条垂线的交点在圆C上，
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，
设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F(－c,0)，
由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
9.(2023·赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C： ＋y2＝1(a>1)上，动点P在直线3x＋4y－10＝0上，若∠APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为_________.
根据题意可得，圆x2＋y2＝a2＋1上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，因此当直线 3x＋4y－10＝0与圆x2＋y2＝a2＋1相离时，∠APB恒为锐角，
10.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2,1)，B(－2,4)，点P是满足λ＝ 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为________________；若点Q为抛物线E：y2＝4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则|PA|＋|PQ|＋|QH|的最小值为_________.
(x＋2)2＋y2＝4