第3章函数与基本初等函数第2节函数的单调性与最值2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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这是一份第3章函数与基本初等函数第2节函数的单调性与最值2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt，共41页。PPT课件主要包含了目录索引，单调递增，单调递减，单调区间，函数的最值，fx≤M，fx0M，fx≥M，规律方法，-∞1等内容，欢迎下载使用。

研考点精准突破
强基础固本增分
1.函数的单调性单调函数的定义
x1,x2的取值具有任意性且属于同一区间
f(x1)f(x1)>f(x2)
如果函数y=f(x)在区间I上__________或__________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的__________.
微思考“函数f(x)的单调递增区间是M”与“函数f(x)在区间M上单调递增”的含义相同吗?
提示不相同.“函数f(x)的单调递增区间是M”是指函数f(x)的单调递增区间恰好是M,在其他的区间上f(x)不是单调递增的;而“函数f(x)在区间M上单调递增”是指函数f(x)在区间M以外的区间或包含M的更大区间上也可能是单调递增的.
函数的最值一定是某个自变量对应的函数值
最大值是所有函数值中最大的一个
微点拨1.在闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
常用结论1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;(5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于0,则f(x)g(x)是增(减)函数;若两者都恒小于0,则f(x)g(x)是减(增)函数.
3.复合函数的单调性:对于复合函数y=f[g(x)],先将函数分解为y=f(u)和u=g(x),则有
题组二回源教材5.(人教A版必修第一册3.2.1节例5改编)已知函数f(x)= ,x∈[2,6],则函数的最大值是__________,最小值是__________.
6.(人教B版必修第一册3.1.2练习B第1题)已知函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增,在区间[2,5]上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是__________. (1)f(0)f(2);(3)f(x)在区间[-1,5]上有最大值,而且f(2)是最大值;(4)f(0)与f(3)的大小关系不确定;(5)f(x)在区间[-1,5]上有最小值;(6)f(x)在区间[-1,5]上的最小值是f(5).
(1)(3)(4)(5)
解析 ∵函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增,∴f(0)题组三连线高考7.(2020·新高考Ⅱ,7)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)内单调递增,则a的取值范围是(　　)A.(-∞,-1]B.(-∞,2]C.[2,+∞)D.[5,+∞)
解析由x2-4x-5>0解得x>5或x<-1,所以函数定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),又因为y=x2-4x-5在(2,+∞)内单调递增,由复合函数单调性可得函数f(x)的单调递增区间是(5,+∞),而f(x)在(a,+∞)内单调递增,所以a≥5,故选D.
考点一函数单调性的判断与证明
规律方法利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
解 (1)函数f(x)在(1,+∞)内单调递减.证明如下:设任意的x1,x2∈(1,+∞)且x1∵10,x2-1>0,x2-x1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(1,+∞)内单调递减.
考点二求函数的单调区间
例2(1)(2024·四川成都模拟)已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为(　　)A.(-2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,-2)
解析由函数f(x)=ax+1在R上单调递减可知a<0,所以g(x)=a(x2-4x+3)的图象开口向下,对称轴为直线x=2,因此g(x)在(-∞,2)内单调递增,故选C.
(2)(2024·辽宁锦州模拟)函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间是(　　)A.(-∞,0)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0)和(2,+∞)D.(2,+∞)
(3)(2024·河南安阳模拟)函数f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递减区间是(　　)A.(-∞,-1)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(3,+∞)
解析要使函数f(x)有意义,有x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3,设u=x2-2x-3,则当x∈(-∞,-1)时,u关于x单调递减,当x∈(3,+∞)时,u关于x单调递增,又因为函数y=ln u在定义域内单调递增,由复合函数单调性可知f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),故选A.
规律方法求函数单调区间的方法(1)基本初等函数法:根据常用基本初等函数的单调性确定单调区间.(2)图象法:作出函数图象,由图象的升降情况确定单调区间,注意不连续的单调区间不能用“∪”联结,只能用“和”“,”联结.(3)复合函数法:根据“同增异减”确定函数的单调区间.(4)导数法:根据导数的正负确定函数的单调区间.
考点三函数单调性的应用(多考向探究预测)
考向1 利用单调性比较大小例3(2024·江苏南京模拟)若a2+lg2a=4b2+lg2(4b),则(　　)A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a解析因为a2+lg2a=4b2+lg2(4b)>4b2+lg2(4b)-1=(2b)2+lg2(2b),所以构建函数f(x)=x2+lg2x,则有f(a)>f(2b),因为y=x2,y=lg2x在(0,+∞)内单调递增,则f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以a>2b,故选A.
规律方法利用单调性比较大小的方法
[对点训练2](2024·江苏徐州模拟)已知函数f(x)=2x+x3,记a=f(lg0.32), b=f(20.3),c=f(0.32),则(　　)A.a解析因为y=2x,y=x3在R上单调递增,所以f(x)=2x+x3在x∈R上单调递增,又因为lg0.32考向2 利用单调性解函数不等式例4(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=()x-lg2(x+2),若f(a-2)>3,则a的取值范围是__________.
考向3 利用单调性求参数的取值范围例5(1)(2024·湖北武汉模拟)已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是(　　)A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[2,+∞)D.(2,+∞)
所以f(x)在(-∞,2a]上单调递减,因为函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,所以2a≥2,得a≥1,故选A.
考点四求函数的最值
例6求下列函数的最值:
规律方法求函数最值的五种常用方法及其思路

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