第八章　§8.11　圆锥曲线中求值与证明问题-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§8.11　圆锥曲线中求值与证明问题
例1　(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C： ＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.
由题意知∠PAQ＝π－2θ，
求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P为椭圆C上的动点，且在第一象限运动，直线AP的斜率为k，且与y轴交于点M，过点M与AP垂直的直线交x轴于点N，若直线PN的斜率为 ，求k值.
由题意知A(－1,0)，kAP＝k，则直线lAP：y＝k(x＋1)，∴M(0，k)，
令y＝0，解得xN＝k2，∴N(k2，0)，
即k4＋5k2－24＝0，解得k2＝3或k2＝－8(舍)，
例2　(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点 的距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；[切入点：直接法求轨迹方程](2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于 .[关键点：对周长放缩]
[思路分析](1)设P(x，y)，直接法求轨迹方程 (2)设点A，B，C的坐标，利用AB⊥BC建立关系(3)利用弦长公式表示出周长(4)对周长进行放缩(5)建立函数，利用导数求最值
答题模板　规范答题不丢分
易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则kAB·kBC＝－1，a＋b②处得到m，n之间的关系
设矩形周长为C，由对称性不妨设|m|≥|n|，
③处用弦长公式表示周长
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.
由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线MN的斜率不为0，
联立直线MA1与直线NA2的方程可得
据此可得点P在定直线x＝－1上运动.
1.已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点.(1)若a＝2，求线段AB的长；
由题设，y＝2x＋1，联立直线与双曲线方程并整理得x2＋4x＋2＝0，所以Δ＝16－4×2＝8>0，则xA＋xB＝－4，xAxB＝2，
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
联立直线与双曲线方程得3x2－(ax＋1)2＝1，整理有(3－a2)x2－2ax－2＝0，由题意Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，且3－a2≠0，
若以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以a＝±1，满足要求.
(1)求椭圆T的方程；
∴C(0,1)必在椭圆上，
(2)动直线y＝ ＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
Δ＝2t2－4(t2－1)＝4－2t2>0，
∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
3.(2024·遂宁模拟)已知抛物线C：y2＝2x，过P(1,0)的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点.(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；
由题意知，直线AB斜率不为0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝my＋1.
由根与系数的关系可得y1＋y2＝2m，y1y2＝－2，
所以直线OA，OB的斜率之积为定值－2.
易知当直线AB斜率不存在时不成立，舍去，
所以xN＝myN＋1＝m2＋1.因为MN⊥AB，所以kMN＝－m，
又c2＝a2＋b2，③
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
设点M的坐标为(xM，yM)，
又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)＝k(x1＋x2)＋2t，
若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
设AB的中点为C(xC，yC)，
因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，