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新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.10 圆锥曲线中范围与最值问题
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.10 圆锥曲线中范围与最值问题，共60页。PPT课件主要包含了第八章，课时精练等内容，欢迎下载使用。
§8.10 圆锥曲线中范围与最值问题
(1)求椭圆C的方程；
在圆E的方程中，令y＝0，得x2＝3，
(2)若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(M，N与A点不重合)，且满足AM⊥AN，点Q为MN的中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围.
右顶点为A(2,0)，由题意可知直线AM的斜率存在且不为0，设直线AM的方程为y＝k(x－2)，由MN与x轴不垂直，故k≠±1.
得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又点A(2,0)，
因为k2>0且k2≠1，
(2022·武汉调研)过双曲线Γ： ＝1(a>0，b>0)的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.(1)若△ABF2可以是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
依题意得|AF1|＝2，|AF2|＝4，
∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，
(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围.
得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0⇒(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0⇒(m2＋1)b4＝4a2c2
⇒4a2c2≥(c2－a2)2，∴c4＋a4－6a2c2≤0⇒e4－6e2＋1≤0，
又A，B在左支且l过F1，∴y1y2<0，
∴4a25.
圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
跟踪训练1 (2022·南昌模拟)已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程C；
由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2 ，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，则|QN|＋|QM|＝2 >2，由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝ ，c＝1，b＝1，
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，D(1,0)，直线DA与直线DB的斜率之积为 ，求直线l的斜率的取值范围.
由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
消去y得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－2＝0，Δ＝8k2－8m2＋16>0，解得m2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点(0,2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点.求△MON的面积的最大值.
因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，l的方程为y＝kx＋2，
得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，则有Δ＝(8k)2－4·(2k2＋1)·6
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
(1)求Γ的标准方程；
由题意得2a＝|BC|＝4，解得a＝2.
(2)点D为直线AB上的动点，过点D作l∥AC，设l与Γ的交点为P，Q，求|PD|·|QD|的最大值.
方法一 由(1)可得A(0,1)，B(－2,0)，C(2,0)，
直线AB的方程为x－2y＋2＝0，
整理得，x2－2λx＋2λ2－2＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
＝(－2λ，－λ)，则D(－2λ，1－λ)，由点斜式，可得直线l的方程为
消去y，得x2＋(4λ－2)x＋8λ2－8λ＝0，由Δ＝(4λ－2)2－4×(8λ2－8λ)>0，
圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
跟踪训练2 如图所示，点A，B分别是椭圆 ＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；
由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
KESHIJINGLIAN
(1)求双曲线的方程；
所以c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2.
即3x2－y2＝3a2.
所以15－3＝3a2，所以a2＝4.
设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，
设|OP|2＋|OQ|2＝t，
(2)设斜率存在的直线PF2，与椭圆C的另一个交点为Q.若存在T(t,0)，使得|TP|＝|TQ|，求t的取值范围.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为N(x0，y0)，直线PF2的斜率为k，由(1)设直线PQ的方程为y＝k(x－1).当k＝0时，t＝0符合题意；
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，∴Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)＝8k2＋8>0，
∵|TP|＝|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线，∴TN⊥PQ，即kTN·k＝－1.
(1)求椭圆E的标准方程；
因为椭圆过A(0，－2)，故b＝2，
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，
可得(4＋5k2)x2－30kx＋25＝0，故Δ＝900k2－100(4＋5k2)>0，解得k<－1或k>1.
故x1x2>0，所以xMxN>0.又|PM|＋|PN|＝|xM＋xN|
故5|k|≤15，即|k|≤3，综上，－3≤k<－1或1
由题意知，抛物线E：x2＝－2y，
设A(2t，－2t2)(t>0)，则kAM＝－2t，所以lAM：y＋2t2＝－2t(x－2t)，即y＝－2tx＋2t2，所以M(t,0)，
所以直线BC过定点(0，－1).
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2
§8.10 圆锥曲线中范围与最值问题
(1)求椭圆C的方程；
在圆E的方程中，令y＝0，得x2＝3，
(2)若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(M，N与A点不重合)，且满足AM⊥AN，点Q为MN的中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围.
右顶点为A(2,0)，由题意可知直线AM的斜率存在且不为0，设直线AM的方程为y＝k(x－2)，由MN与x轴不垂直，故k≠±1.
得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又点A(2,0)，
因为k2>0且k2≠1，
(2022·武汉调研)过双曲线Γ： ＝1(a>0，b>0)的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.(1)若△ABF2可以是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
依题意得|AF1|＝2，|AF2|＝4，
∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，
(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围.
得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0⇒(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0⇒(m2＋1)b4＝4a2c2
⇒4a2c2≥(c2－a2)2，∴c4＋a4－6a2c2≤0⇒e4－6e2＋1≤0，
又A，B在左支且l过F1，∴y1y2<0，
∴4a2
圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
跟踪训练1 (2022·南昌模拟)已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程C；
由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2 ，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，则|QN|＋|QM|＝2 >2，由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝ ，c＝1，b＝1，
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，D(1,0)，直线DA与直线DB的斜率之积为 ，求直线l的斜率的取值范围.
由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
消去y得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－2＝0，Δ＝8k2－8m2＋16>0，解得m2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点(0,2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点.求△MON的面积的最大值.
因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，l的方程为y＝kx＋2，
得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，则有Δ＝(8k)2－4·(2k2＋1)·6
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
(1)求Γ的标准方程；
由题意得2a＝|BC|＝4，解得a＝2.
(2)点D为直线AB上的动点，过点D作l∥AC，设l与Γ的交点为P，Q，求|PD|·|QD|的最大值.
方法一 由(1)可得A(0,1)，B(－2,0)，C(2,0)，
直线AB的方程为x－2y＋2＝0，
整理得，x2－2λx＋2λ2－2＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
＝(－2λ，－λ)，则D(－2λ，1－λ)，由点斜式，可得直线l的方程为
消去y，得x2＋(4λ－2)x＋8λ2－8λ＝0，由Δ＝(4λ－2)2－4×(8λ2－8λ)>0，
圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
跟踪训练2 如图所示，点A，B分别是椭圆 ＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；
由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
KESHIJINGLIAN
(1)求双曲线的方程；
所以c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2.
即3x2－y2＝3a2.
所以15－3＝3a2，所以a2＝4.
设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，
设|OP|2＋|OQ|2＝t，
(2)设斜率存在的直线PF2，与椭圆C的另一个交点为Q.若存在T(t,0)，使得|TP|＝|TQ|，求t的取值范围.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为N(x0，y0)，直线PF2的斜率为k，由(1)设直线PQ的方程为y＝k(x－1).当k＝0时，t＝0符合题意；
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，∴Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)＝8k2＋8>0，
∵|TP|＝|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线，∴TN⊥PQ，即kTN·k＝－1.
(1)求椭圆E的标准方程；
因为椭圆过A(0，－2)，故b＝2，
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，
可得(4＋5k2)x2－30kx＋25＝0，故Δ＝900k2－100(4＋5k2)>0，解得k<－1或k>1.
故x1x2>0，所以xMxN>0.又|PM|＋|PN|＝|xM＋xN|
故5|k|≤15，即|k|≤3，综上，－3≤k<－1或1
由题意知，抛物线E：x2＝－2y，
设A(2t，－2t2)(t>0)，则kAM＝－2t，所以lAM：y＋2t2＝－2t(x－2t)，即y＝－2tx＋2t2，所以M(t,0)，
所以直线BC过定点(0，－1).
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2
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