第八章　§8.14　圆锥曲线中的探索性与综合性问题-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§8.14　圆锥曲线中的探索性与综合性问题
例1　(2023·广州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－2,0)，B(2,0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为 ，点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；
(2)已知点F(1,0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
即∠MFD＝2∠NFD，所以存在λ＝2，使得∠MFD＝2∠NFD.
存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.
跟踪训练1　(2023·阜阳模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).(1)求C的方程；
点A的坐标为(6,4)，得c＝4，设焦点F2(0,4)，F1(0，－4)，
设l的方程为y＝2m(m>1)，则D(0,2m)，故M(0，m)，当直线PQ斜率存在时，如图，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，由已知得3k2≠1，Δ>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
题型二　圆锥曲线的综合问题
如图，F(4,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN：x＝ty＋4，代入3x2－y2＝12，整理得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0，
由于y1y2<0，不妨设y1>0，y2<0，
(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＋x1x2＋y1y2＝0，由对称性可知，若存在定点，则必在x轴上，令y＝0，有x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0，
当直线MN：y＝0时，圆过点(－2,0).综上，以MN为直径的圆过定点(－2,0).
圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质.如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有 ＝0.
跟踪训练2　如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点).(1)求抛物线E的方程；
当直线AB斜率不存在时，
当直线AB斜率存在时，
Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2＝4p2(k2＋1)>0，
显然当直线AB斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x.
(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值.并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，
若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，
当且仅当y1＝±2时取到最小值.故△ABH面积S的最小值为22.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
假设存在P(n,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率不为0，当直线AB的斜率存在时，设直线AB：x＝my＋2(m≠0)，
则3m2－1≠0，Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，
因为点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB的平分线，
则y1(my2＋2－n)＋y2(my1＋2－n)＝0，整理得2my1y2＋(2－n)(y1＋y2)＝0，
即3m－2m(2－n)＝0，因为m≠0，
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.
假设满足条件的直线l存在，
因为点F为△EAB的垂心，
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3.(2024·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为 的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程；
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，则p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由.
设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，
令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，
所以|BF|＝|AF|＝|AC|，又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF为菱形.
(1)若椭圆上存在两点B1，B2关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围；
由题意得，c＝2，A1(－a,0)，A2(a,0)，P(x，y)，
∴a2＝2b2，∵a2＝b2＋4，∴a2＝8，b2＝4，
设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)， ⊥l，设 ：y＝－x＋t，
设lMN：x＝sy＋2，
得(s2＋2)y2＋4sy－4＝0，