第八章　§8.13　圆锥曲线中定点与定值问题-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§8.13　圆锥曲线中定点与定值问题
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图，设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，
所以线段MN的中点是定点(0,3).
求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
跟踪训练1　(2024·郑州质检)已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点.(1)求椭圆C的方程；
又a2＝b2＋c2，则a＝2，
(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M ？
由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.
易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k不恒为0，
例2　在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的两个顶点坐标为B(－2,0)，C(2,0)，直线AB，AC的斜率乘积为(1)求顶点A的轨迹Γ的方程；
依题意，过点P(1,0)与曲线Γ交于点M，N的直线斜率存在且不为零，设直线MN的方程为x＝my＋1(m≠0)，
即有2my1y2＝3(y1＋y2)，
又(x1y2＋x2y1)＋2(y2－y1)＝(my1＋1)y2＋(my2＋1)y1＋2(y2－y1)＝2my1y2＋3y2－y1＝3(y1＋y2)＋3y2－y1＝2(y1＋3y2)，(x1y2－x2y1)＋2(y2＋y1)＝(my1＋1)y2－(my2＋1)y1＋2(y2＋y1)＝y1＋3y2，
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
如图所示，过点F作FA⊥MN，垂足为A，MN交x轴于点E，
因为|MF|＝|MN|，所以△MNF是等边三角形，因为O是FB的中点，所以|DF|＝|DN|，MD⊥DF，
所以|MN|＝8，|AN|＝4，
(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P，Q两点，且∠PGQ＝ ，证明：点F到直线PQ与到直线l1的距离之比为定值.
由(1)可知抛物线C的方程是x2＝8y，由题意知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
即(x1＋x0)(x2＋x0)＝－64，
得x2－8kx－8m＝0，其中Δ＝64k2＋32m>0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－8m，所以－8m＋32k2＋16k2＝－64，所以m＝6k2＋8.设点F到直线PQ和直线l1的距离分别为d1，d2，
所以点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是定值，定值为3.
(1)求实数k的取值范围；
化简整理得(1－4k2)x2－24kx－52＝0，Δ＝(－24k)2＋4×(1－4k2)×52＝208－256k2，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，
(2)证明：当k变化时，点D的纵坐标为定值.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C在第一象限交于A，B两点，直线x＝3交线段AB于点Q，且S△FAQ∶S△FBQ＝|FA|∶|FB|，证明：直线l过定点.
由已知得，双曲线C的右焦点为F(3,0)，直线x＝3过双曲线C的右焦点.
所以sin∠AFQ＝sin∠BFQ，所以直线AF与直线BF的倾斜角互补，kAF＋kBF＝0.显然直线l的斜率存在且不为0，
所以(kx1＋m)(x2－3)＋(kx2＋m)(x1－3)＝0，整理得2kx1x2＋(m－3k)(x1＋x2)－6m＝0.
化简得k＋m＝0，即m＝－k，所以直线l的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过点(1,0)，所以直线l过定点.
3.(2023·深圳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2,0).(1)求抛物线C的标准方程；
∵抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2,0)，
故抛物线C的标准方程为y2＝8x.
(2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值.
∵点A的横坐标为2，即y2＝8×2，解得y＝±4，故A点的坐标为(2,4)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知设AB：m(y－4)＝x－2，即x＝my－4m＋2，代入抛物线C的方程得y2＝8(my－4m＋2)，即y2－8my＋32m－16＝0，
则y1＋4＝8m，故y1＝8m－4，∴x1＝my1－4m＋2＝m(8m－4)－4m＋2＝8m2－8m＋2，即B(8m2－8m＋2,8m－4)，设AC：－m(y－4)＝x－2，即x＝－my＋4m＋2，同理可得y2＝－8m－4，则x2＝－my2＋4m＋2＝－m(－8m－4)＋4m＋2＝8m2＋8m＋2，即C(8m2＋8m＋2，－8m－4)，
∴直线BC的斜率为定值.
(1)证明：kBF·kBG为定值；
(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；
当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，设G(x1，y1)，F(x2，y2)，
约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点(1,0)；当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为x＝m，其中m≠2，
综上，直线GF过定点(1,0).
(3)若记P，Q两点的横坐标分别为xP，xQ，证明：xPxQ为定值.
设PA的方程为y＝k1(x＋2)(k1>0)，