第八章　§8.7　离心率的范围问题-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

高考数学一轮复习策略 1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。第八章§8.7　离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.重点解读例1　(1)(2023·德阳模拟)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为题型一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围√不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n).椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，两曲线的半焦距均为c，由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2，又在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos 60°＝4c2⇒(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，因为△APF的周长不小于18，所以|PA|＋|PF|的最小值不小于13.设F2为双曲线的左焦点，可得|PF|＝|PF2|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值，最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4.此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.√又因为b2＝a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0，题型二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围√设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c≥b，√由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.√由题意可知|AE|＝|BE|，即△ABE为等腰三角形，∵△ABE是锐角三角形，∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°，∵∠AEF<45°，化简整理，得2a2－c2＋ac>0，∴e2－e－2<0，∴－11，∴10)，题型三　利用几何图形的性质求离心率的范围√如图所示，因为线段PF1的中垂线过F2，∴|F1F2|＝|PF2|＝2c，√利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.跟踪训练3　(2023·长春模拟)椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与直线A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为√由题意得A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F2(c,0)，且∠B1PA2为钝角，又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0，两边同时除以a2得1－e－e2<0，课时精练12345678910√12345678910√12345678910∵四边形QPF1F2为平行四边形，1234567891012345678910√又OB⊥BP，∴|OP|＝2b，又|OP|≥a，故2b≥a，即4(c2－a2)≥a2，即4c2≥5a2，12345678910√1234567891012345678910√12345678910即bx＋ay－ab＝0，又a>2，1234567891012345678910√12345678910如图所示，根据题意可得F1(－c,0)，F2(c,0)，A(a,0)，12345678910又因为P为双曲线右支上一点，所以x1≥a，当x1＝a时，AQ，PF2共线，与题意不符，即x1>a，整理得c2－a2－2ac>0，即e2－2e－1>0，12345678910√√12345678910由题意，A关于原点的对称点为B，点F为椭圆右焦点，设左焦点为F1，如图所示，∵AF⊥BF，∴四边形AF1BF为矩形，∴|AB|＝|F1F|＝2c.∵∠ABF＝α，∴|AF|＝2csin α，|BF|＝|AF1|＝2ccos α，由椭圆的定义得2a＝2csin α＋2ccos α，1234567891012345678910A.过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点√√√12345678910对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点(如图)，故选项A正确；对于B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知|FD|＝b，1234567891012345678910在Rt△AFD和Rt△OFD中，由勾股定理得，1234567891012345678910∴点P为以AB为直径的圆与双曲线渐近线的交点，圆心为AB中点(2a,0)，半径为r＝a，依题意，渐近线与该圆有公共点，123456789101234567891012345678910则直线BQ的方程为bx＋ay－ab＝0，由直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交，故a4－b4－a2b2>0，即b4