第八章　§8.8　抛物线-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

高考数学一轮复习策略 1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。第八章§8.8　抛物线1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.课标要求内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线.相等焦点准线2.抛物线的标准方程和简单几何性质x轴y轴(0,0)11.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.(　　)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).(　　)(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(　　)(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.(　　)××√√√3.(选择性必修第一册P133T3改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为A.y2＝8x　　　B.y2＝4x　　　C.y2＝2x　　　D.y2＝x√4.若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3√由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，返回第二部分探究核心题型例1　(1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为A.x2＝8y B.x2＝16yC.y2＝8x D.y2＝16x题型一　抛物线的定义及应用√因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，所以A(0,2)，B(0，－2)，又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2)，准线为y＝－2，所以P的轨迹方程为x2＝8y.(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________.42或22①当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去.综上，p＝42或p＝22.②“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.√(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是√直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离.题型二　抛物线的标准方程例2　(1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为______________________.∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，y2＝8x如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|，则易知B为AD的中点.连接OB，则OB为△DFA的中位线，∴2|OB|＝|FA|，∴|OB|＝|FB|，∴点B在线段OF的垂直平分线上，∴抛物线C的标准方程为y2＝8x.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.跟踪训练2　(1)(2023·临汾统考)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为A.x2＝6y B.x2＝12yC.x2＝18y D.x2＝36y√由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，所以抛物线C的方程为x2＝12y.(2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线C上，|PF|＝ ，若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，则该抛物线C的方程为________________.x2＝2y或x2＝8y所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为(－1,0)或(1,0)，所以x0＝±2，即当点F在y轴正半轴时，抛物线方程是x2＝2y或x2＝8y.题型三　抛物线的几何性质例3　(1)(2023·兰州一中模拟)已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于√因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB为抛物线y2＝2px(p>0)的通径，因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，√√√如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.跟踪训练3　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为_________.所以tan∠OPF＝tan∠PQF，解得p＝3(p＝0舍去)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，16易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，AF∥MB∥NC，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以|NF|＝16.返回课时精练12345678910111213141516一、单项选择题1.在平面内，已知定点A及定直线l，记动点P到l的距离为d，则“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件√12345678910111213141516“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”⇒“|PA|＝d”，反之不成立，当直线经过定点A时，轨迹不是抛物线.因此“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的必要不充分条件.123456789101112131415162.(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0，1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为A.6　　　B.4　　　C.3　　　D.2√所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.123456789101112131415163.(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为A.y2＝2x B.y2＝4xC.y2＝－4x D.y2＝－8x√由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.123456789101112131415164.(2023·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于√12345678910111213141516过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5.已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为A.4　　　B.6　　　C.8　　　D.1012345678910111213141516√如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则|PF|＝|PA|，当CP垂直于抛物线的准线时，|CP|＋|PA|最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C(6,2)，12345678910111213141516半径为2，所以|PQ|＋|PF|的最小值为|AQ|＝|CA|－2＝10－2＝8.123456789101112131415166.(2024·许昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为√由题意，作图如图所示，设P(t2,2t)(不妨令t>0)，当且仅当t＝1时取等号，1234567891011121314151612345678910111213141516二、多项选择题√√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415168.(2024·大庆模拟)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上的两点，下列结论正确的是A.|MF|的最小值为2B.若|MF|＋|NF|＝12，则线段MN的中点P到x轴的距离为6C.若直线MN过点F，则x1x2＝4√√对于A，x2＝8y，则p＝4，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2，∴|MF|＝y1＋2，∵y1≥0，∴|MF|≥2，当且仅当y1＝0时等号成立，故A正确；对于B，∵|MF|＋|NF|＝12，根据抛物线定义得y1＋2＋y2＋2＝12，则y1＋y2＝8，即点P到x轴的距离为4，故B错误；12345678910111213141516对于C，由题意可知直线MN斜率存在，∵直线MN过点F，设直线MN的方程为y＝kx＋2，代入抛物线方程整理得x2－8kx－16＝0，∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，故C错误；1234567891011121314151612345678910111213141516当k＝0时，|MN|的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确.三、填空题9.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是|AF|－2，则p＝_____.4又点A到x轴的距离是|AF|－2，123456789101112131415161234567891011121314151610.(2023·洛阳模拟)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计)________.7 cm12345678910111213141516以碗体的最低点为原点，向上的方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p>0)，将点(5,6.25)代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm，则两抛物线在第一象限的交点为(4，h－3)，代入到x2＝4y，得42＝4(h－3)，解得h＝7.11.A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点.若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为 ，则∠AOB＝_______.60°如图，∵|OA|＝|OB|，∴A，B两点关于y轴对称，∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.123456789101112131415161234567891011121314151612.已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝ 的距离为1，则p的值为________.1或3设AB的中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，根据抛物线的定义，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝4，1234567891011121314151612345678910111213141516所以|2－p|＝1，解得p＝1或p＝3.四、解答题13.已知动点M与点F(2,0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等.(1)求动点M的轨迹方程；12345678910111213141516由题意知动点M到F(2,0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标.1234567891011121314151614.已知动圆过定点(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8.(1)求动圆圆心C的轨迹方程；12345678910111213141516设圆心C的坐标为(x，y)，又动圆在y轴上截得的弦长为8，所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.12345678910111213141516(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值.如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，1234567891011121314151615.小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子中做小球放入实验，如图所示，要求小球能与杯底接触，则他能放入小球的最大半径是√12345678910111213141516作杯子的截面得一抛物线，如图，建立平面直角坐标系，则点(1,1)在抛物线上，设球心为A(0，a)(a>0)，球半径为r，1234567891011121314151612345678910111213141516则r＝|AP|min，小球与杯底接触，123456789101112131415164如图，设∠MAF＝θ，|AF|＝a，|BF|＝b，在△MAF中，由余弦定理可得|MF|2＝2a2(1－cos θ)，同理|NF|2＝2b2(1＋cos θ)，12345678910111213141516返回