第八章　§8.9　直线与圆锥曲线的位置关系-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§8.9　直线与圆锥曲线的位置关系
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.直线与圆锥曲线的位置判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ 0.特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
2.弦长公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
＝ ，
＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.(　　)(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(　　)(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　　)
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
3.(选择性必修第一册P136T3改编)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是A.2　　　B.4　　　C.8　　　D.16
消去y并整理得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵点A，B是双曲线C上的两点，
∵M(3,2)是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
A.相交 B.相切C.相离 D.有3个公共点
可得(4b2－a2)x2＋8b2x＋4b2－a2b2＝0.
化简得a2＝4b2＋4≥4，则a≥2，不符合题意.
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
跟踪训练1　(1)(2023·北京海淀模拟)已知抛物线C：y2＝4x，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为A.(0,1) B.(1，－3)C.(3,4) D.(2，－2)
点(0,1)在y轴上，所以点(0,1)在抛物线外部，将x＝1代入抛物线C：y2＝4x中，则|y|＝2<3，所以点(1，－3)在抛物线外部，将x＝3代入抛物线C：y2＝4x中，
将x＝2代入抛物线C：y2＝4x中，
所以点(2，－2)在抛物线内部，将选项中的点分别在平面直角坐标系中画出来，只有点(2，－2)在抛物线内部，故当点P的坐标为(2，－2)时，经过点P的任意一条直线与C均相交，均有公共点.
(2)已知双曲线C： －y2＝1，过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有A.1条　　　B.2条　　　C.3条　　　D.4条
由双曲线方程知，右顶点坐标为(2,0)，
故共有两条直线满足要求.
又b2＝a2－c2＝1，
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝ .
由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F三点共线，
充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，即kx－y＋m＝0，
可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求.(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
(1)求椭圆C的标准方程；
由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程.
由题意得，直线l的斜率存在.
因为AB的中点坐标为(－2,1)，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
跟踪训练3　(1)已知双曲线方程为x2－ ＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是A.6x＋y－11＝0 B.6x－y－11＝0C.x－6y－11＝0 D.x＋6y＋11＝0
即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.经检验满足题意.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为
∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，∴y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
又∵PQ的中点在直线l上，
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1).
直线kx－y＋2＝0过定点(0,2)，
所以m>0且m≠9.②由①②得m的取值范围是[4,9)∪(9，＋∞).
2.(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于
由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，
代入抛物线方程解得p＝1.
3.直线x＋4y＋m＝0交椭圆 ＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于A.－2　　　B.－1　　　C.1　　　D.2
4.已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，直线l：y＝x＋2.若以F1，F2为焦点的椭圆C与直线l有公共点，则椭圆C的离心率的最大值为
由题意知其左、右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)，可得c＝1，
得(a2＋b2)x2＋4a2x＋4a2－a2b2＝0，Δ＝16a4－4(a2＋b2)(4a2－a2b2)≥0，可得4a2－(2a2－1)(5－a2)≥0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为|MF1|＝|MF2|＋2a，|NF1|＝|NF2|＋2a，所以|MF1|＋|NF1|＝|MF2|＋|NF2|＋4a＝|MN|＋4a＝20a，因为△MNF1的周长为36，所以|MF1|＋|NF1|＋|MN|＝36，所以20a＋16a＝36，解得a＝1，
且满足|PA|＝|PB|，则P为线段AB的中点，所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1，
B.过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B，若|AB|＝5，则满足条件的直线 只有一条
D.过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；
由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确.
8.(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则A.C的准线为y＝－1B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2
因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，
所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2，
三、填空题9.已知m为实数，直线mx＋y－1＝0与椭圆 ＋y2＝1的交点个数为____.
因为直线方程为mx＋y－1＝0，所以直线过定点(0,1)，定点在椭圆上，又因为m≠0，所以直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交，所以交点个数为2.
联立消去y得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝0，解得m＝5或m＝－5，∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为点P(2,1)是线段AB的中点，
得a2＝b2，即a2＝c2－a2，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
易知直线l的斜率存在，
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；
设AB中点的坐标为(x0，y0)，
两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0，
因为线段AB的中点在椭圆内部，
解得－2(1)求双曲线C的方程；
依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，