第1章《全等三角形》-2024-2025学年八年级上册数学单元测试卷（苏科版）

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2024-2025学年八年级上册数学单元测试卷第1章《全等三角形》一、单项选择题：每题3分，共8题，共计24分。1．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的图是（    ）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 2．如图，在△ABC中，∠PAQ＝∠APQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（    ）A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确 3．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．若以“HL”为依据，需添加的条件是（　　）  A．BC=DA B．AB=CD C．∠B=∠B’ D．∠ACB=∠CAD 4．在△ABC和△A’B’C’中，①AB= A’B’，②BC=B’C’，③AC= A’C’，④∠A=∠A’，⑤∠B=∠B’，⑥∠C=∠C’’．在下列条件中，不能保证△ABC≌△A’B’C’的一组条件是（    ）A．①③⑤ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①②③ 5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE的长为（　　）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 6．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65 º，则∠CAF的度数为（    ）A．30 º B．25 º C．35 º D．65 º 7．根据下列条件能画出唯一△ABC的是（   ）A．AB=1，BC=2，CA=3 B．AB=7，BC=5，∠A=30ºC．∠A=50º，B=60º，C=70º D．AC=3.5，BC=4.8，∠C=70º 8．AD是△ABC的中线，AB=5，AC=7，则AD的取值可能是（    ）A．3 B．6 C．8 D．12二、填空题：每题3分，共10题，共计30分9、如图，在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=DC，∠B=130º，则∠D_________º．10、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带第_________块.11、如图，为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_________.12、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为_________度．13、如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接AD，BE交于点O，AC与BE交与点P，则∠AOB＝_________． 14．如图：已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有_________对，并说明全等的理由．15．如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为_________． 16．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示） 17．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90 º，BE⊥AD于E，S四边形ABCD=10，则BE的长为_________。18．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：其中正确的结论有_________个．①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN；⑤△AFN≌△AEM．三、解答题：共9题，共计86分。19、已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E、F．（1）求证：△ABO≌△DCO；（2）求证：BE=CF． 20、如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠D=∠AEC，求证：AD=AE．21、已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF． 22、已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．23、如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明． 24、如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=20°，求∠ACF的度数．25、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．26．在△ABC中，∠ABC=90º，AB=BC，D为直线AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，交AC于点F，在直线AB上截取AM=BD，连接FM．（1）当点D，M都在线段AB上时，如图①，求证：BF+MF=CD；（2）当点D在线段AB的延长线上，点M在线段BA的延长线上时，如图②；当点D在线段BA的延长线上，点M在线段AB的延长线上时，如图③，直接写出线段BF，MF，CD之间的数量关系，不需要证明． 27．（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOC＝_________；如图2，∠BOC＝_________；如图3，∠BOC＝_________；（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O．①猜想：如图4，∠BOC＝_________（用含n的式子表示）；②根据图4证明你的猜想．参考答案一、单项选择题：每题3分，共8题，共计24分。1．B【解析】解：甲、边a、c夹角不是50°，∴甲错误；乙、两角为58°、50°，夹边是a，符合ASA，∴乙正确；丙、两角是50°、72°，72°角对的边是a，符合AAS，∴丙正确．故选：B．2．B【解析】∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S∴AP平分∠BAC，ARP=∠ASP=90°，∴∠RAP=∠PAQ在和中，，故①对∵∠PAQ＝∠APQ，∴∠RAP=∠PAQ，∴QP∥AR，故②对在△BPR和△QSP中，只有一边和一角是无法判断三角形全等的，故③错故选：B3．A【解析】解：∵，，∴，∴和是直角三角形，∵和有公共直角边，∴以“”为依据判断，需要使，故A正确．故选：A．4．A【解析】解：A、①③⑤符合SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；B、①②⑤符合SAS，能判定△ABC≌△A′B′C′；C、②④⑤符合AAS，能判定△ABC≌△A′B′C′；D、①②③符合SSS，能判定△ABC≌△A′B′C′．故选：A．5．C【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB，∵∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE＝2，CD＝BE＝0.5，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣0.5＝1.5（cm）．故选：C．6．B【解析】解：∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴；故选B．7．D【解析】解：A.当，，时，，则线段、、不能构成三角形，故选项不符合题意；B. 边边角三角形不能唯一确定，如图1，故选项不符合题意；C. 角角角三角形不能唯一确定，如图2所示，故选项不符合题意；D.边角边可以画出唯一的三角形，故选项符合题意；故选：．8．A【解析】解：如图，延长至点，使得，连接，则，  是的中线，，在和中，，，，在中，，即，，观察四个选项可知，只有A符合，故选：A．二、填空题：每题3分，共10题，共计30分9．130【解析】解：在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=130°，故答案为：130．10．2【解析】结合ASA判定三角形全等，选择211．135°【解析】∵△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB∵∠ACB﹢∠1=90°，∴∠1﹢∠3=90°，∴∠1﹢∠2﹢∠3=90°﹢45°=135°12．80【解析】解析：由题意得，∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的∴∠EBC=2∠2=50°，∠DCB=2∠3=30°∴∠α=∠EBC﹢∠DCB=50°﹢30°=80°13．60【解析】解析：∵△ABC和△CDE是等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB﹢∠BCE=∠DCE﹢∠BCE即∠ACE=∠BCD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠CBD∵∠APC=∠BPO，∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°14．3【解析】全等三角形共有3对，△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB，△ECB≌△EDB，理由：在△ECB和△EDB中，∴△ECB≌△EDB（SSS），在△ACE和△ADE中，∴△ACE≌△ADE（SSS），在△ACB和△ADB中，∴△ACB≌△ADB（SSS）．15．55°【解析】解：如图：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠D＝∠E，∵∠DPE+∠1+∠E＝∠DCE+∠2+∠D，而∠1＝∠2，∴∠DPE＝∠DCE＝55°，∴∠APB＝∠DPE＝55°．故答案为：55°．16．180°﹣α．【解析】解：延长AE至M，使EM＝AE，连接AF，FM，DM，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△AEC与△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵点F在BD的垂直平分线上，∴FB＝FD，在△MDF与△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案为：180°﹣α．17．【解析】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案为．18．4【解析】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，AF=AE，故②正确，∴∠BAE−∠BAC=∠CAF−∠BAC，即∠1=∠2，故①正确，∵△ABE≌△ACF，∴AB=AC，又∵∠BAC=∠CAB，∠B=∠C∴△CAN≌△ABM（ASA），故③正确，CD=DN不能证明成立，故④错误∵∠1=∠2，∠F=∠E，AF=AE，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确．三、解答题：共9题，共计86分。19．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明：（2）证明：．20．见解析【解析】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，又AB＝AC，，∴△ABD≌△ACE(AAS)，∴．21．见解析【解析】∵AB∥DF∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE∵∠E=∠CPD∴∠E=∠B在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）22．见解析【解析】答案：（1）证明如下（2）BD⊥CE解析：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC﹢∠CAD=∠EAD﹢∠CAD∴∠BAD=∠CAR在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE（SAS）（2）∵△BAD≌△CAE∴∠ABD=∠ACE∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ABD﹢∠DBC=∠ABC=45°∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE﹢∠DBC=45°∴∠DBC﹢∠DCB=∠DBC﹢∠ACE﹢∠ACB=90°∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=90°即BD⊥CE23．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD﹣BE，证明见解析．【解析】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．（2）成立．证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC﹣CD=AD﹣BE．24．（1）证明如下（2）70°【解析】解析：（1）∵∠ACB=90°∴∠CBF=∠ACB=90°在Rt△ABE和Rt△CBF中∴Rt△ABE和Rt△CBF（HL）（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=20°∴∠BAC=∠ACB=45°∵∠BAE=45°﹣20°=25°由（1）可得，∠BCF=∠BAE=25°∴∠ACF=∠BCF﹢∠ACB=45°﹢25°=70°25．（1）全等，理由见详解；PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在，或．【解析】解：（1）当时，，，又，在和中，．，．，即线段与线段垂直．（2）①若，则，，则，解得：；②若，则，，则，解得：；综上所述，存在或使得与全等．26．（1）见解析；（2）图②：；图③：【解析】（1）证明：如图，过点作交的延长线于点．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．（2）图②：．证明：过点作交于点．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴，∵∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．图③：．证明：如图，过点作交的延长线于点．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．27．见解析【解析】解：（1）①证法一∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，∴△ABE≌△ADC（SAS）．证法二：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到，∴△ABE≌△ADC，②120°，90°，72°．（2）①．②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，AB＝AD，AE＝AC，∴∠BAD＝∠CAE＝，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠CAE﹣∠DAE，即∠BAE＝∠DAC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠ADC+∠ODA＝180°，∴∠ABO+∠ODA＝180°，∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°，∴∠BOC+∠DAB＝180°，∴∠BOC＝180°﹣∠DAB＝；证法二：同上可证△ABE≌△ADC．∴∠ABE＝∠ADC，如图，延长BA交CO于F，∵∠AFD+∠ABE+∠BOC＝180°，∠AFD+∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠BOC＝∠DAF＝180°﹣∠BAD＝；证法三：同上可证△ABE≌△ADC．∴∠ABE＝∠ADC．∵∠BOC＝180°﹣（∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD），∴∠BOC＝180°﹣（∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠DAC，∴∠BOC＝180°﹣（360°﹣∠BAC﹣∠DAC），即∴∠BOC＝180°﹣∠BAD＝；证法四：同上可证△ABE≌△ADC．∴∠AEB＝∠ACD．如图，连接CE，∵∠BEC＝∠BOC+∠OCE，∴∠AEB+∠AEC＝∠BOC+∠ACD﹣∠ACE，∴∠BOC＝∠AEC+∠ACE．即∴∠BOC＝180°﹣∠CAE＝．注意：此题还有其它证法．