人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示练习题，共4页。试卷主要包含了3*　复数的三角表示，[2]3=　　　　　，计算等内容，欢迎下载使用。
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(2021河南郑州期末)已知z=csπ3+isinπ3,则下列结论正确的是( )

A.z2的实部为1B.z2=z-1
C.z2=zD.|z2|=2
答案B
解析z=csπ3+isinπ3=12+32i.z2=12+32i2=14-34+32i=-12+32i,其实部为-12,故A错误;z-1=-12+32i=z2,故B正确;z=12-32i≠z2,故C错误;|z2|=-122+322=1,故D错误.故选B.
2.将复数z=-23+2i化成三角形式是 .
答案4cs56π+isin56π
解析模长|z|=(-23)2+22=4,设辐角为θ,tan θ=-33,且点(-23,2)在第二象限,得辐角主值为56π,故z=4cs56π+isin56π.
3.[2(cs 60°+isin 60°)]3= .
答案-8
解析原式=23[cs(60°×3)+isin(60°×3)]
=8(cs 180°+isin 180°)=-8.
4.计算:4(cs 80°+isin 80°)÷[2(cs 320°+isin 320°)].
解4(cs 80°+isin 80°)÷[2(cs 320°+isin 320°)]
=42[cs(80°-320°)+isin(80°-320°)]
=2[cs(-240°)+isin(-240°)]
=2-12+32i=-1+3i.
5.已知z1=12csπ3+isinπ3,z2=6csπ6+isinπ6,计算z1z2,并说明其几何意义.
解z1z2=12×6×csπ3+π6+isinπ3+π6
=3csπ2+isinπ2=3i.
首先作复数z1对应的向量OZ1,然后将OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.
6.已知复数z=r(cs θ+isin θ),r≠0,求1z的三角形式.
解1z=(cs0°+isin0°)r(csθ+isinθ)=1r[cs(0°-θ)+isin(0°-θ)]=1r[cs(-θ)+isin(-θ)].
关键能力提升练
7.复数z=-1+1+i1-i2 021的辐角主值为 .
答案3π4
解析因为1+i1-i=i,所以1+i1-i2 021=i2 021=i.
所以z=-1+i=2cs3π4+isin3π4,
所以复数z的辐角主值为3π4.
8.12-32i20÷(3i)= .
答案-36+16i
解析原式=cs-π3+isin-π320÷3csπ2+isinπ2=cs-20π3+isin-20π3÷3csπ2+isinπ2=cs4π3+isin4π3÷3csπ2+isinπ2=13cs4π3-π2+isin4π3-π2=13cs5π6+isin5π6=13-32+12i=-36+16i.
9.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cs θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cs θ+isin θ,解决以下问题:
(1)试将复数eπ3i写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;
(2)试求复数eπ3i+12的模.
解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=csπ3+isinπ3=12+32i.
(2)由题意可知eπ3i+12=12+32i+12=1+32i,
因此,eπ3i+12=12+322=72.
10.已知复数z的模为2,实部为3,求复数z的代数形式和三角形式.
解由题意,可设z=3+bi(b∈R).
∵|z|=2,∴3+b2=2,解得b=±1,
∴z=3+i或z=3-i.
化为三角形式,得z=2csπ6+isinπ6或z=2cs-π6+isin-π6.
11.计算下列各式的值:
(1)-12+32i·2csπ3+isinπ3;
(2)3(cs 63°+isin 63°)·2(cs 99°+isin 99°)·5(cs 108°+isin 108°).
解(1)-12+32i·2csπ3+isinπ3
=cs2π3+isin2π3·2csπ3+isinπ3
=2(cs π+isin π)=-2.
(2)3(cs 63°+isin 63°)·2(cs 99°+isin 99°)·5(cs 108°+isin 108°)
=30(cs 270°+isin 270°)=-30i.
12.求证:(cs3θ+isin3θ)3·(cs2θ+isin2θ)7(cs4θ+isin4θ)6=cs θ-isin θ.
证明左边=(cs9θ+isin9θ)·(cs14θ+isin14θ)(cs24θ+isin24θ)
=(cs23θ+isin23θ)(cs24θ+isin24θ)=cs(-θ)+isin(-θ)
=cs θ-isin θ=右边.
学科素养创新练
13.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+kω.
(1)求ω;
(2)设z=cs θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+2,求θ的值.
解(1)arg ω=3π4,可设ω=a-ai(a∈R),
将其代入(1+ω)2+(1+i)2=1+kω,
化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,
∴2a=ka,2a(1+a)+2=-ka,解得k=2,a=-1,
∴ω=-1+i.
(2)|z-ω|=|(cs θ+1)+(sin θ-1)i|
=(csθ+1)2+(sinθ-1)2=3+2(csθ-sinθ)
=3+22cs(θ+π4).
∵|z-ω|=1+2,∴3+22csθ+π4=1+2,