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初中北师大版（2024）1 认识有理数课时练习
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这是一份初中北师大版（2024）1 认识有理数课时练习，文件包含211有理数9大题型提分练原卷版docx、211有理数9大题型提分练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
2.1.1 有理数
知识点一
具有相反意义的量
★1、具有相反意义的量包含两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量．
★2、用正负数表示具有相反意义的量
为了更好的区分这些具有相反意义的量，通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示．
知识点二
用正、负数表示具有相反意义的量
★1、正数和负数的概念： 像 1，2，3，1.8％ 这样大于 0 的数叫做正数.
像 -3，-1，-2，-2.7％ 这样在正数前面加上符号“ - ”(负) 的数叫做负数.
【注意】
正数前面的“＋”号可以省略不写，负数前面的“﹣”号不能省略不写.
★2、0 的意义：
（1）0 既不是正数也不是负数；
（2）0是正数与负数的分界.
（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果.
知识点三
有理数的分类
★1、整数：正整数、负整数、零统称为整数．
★2、分数：正分数、负分数统称为分数．
★3、有理数：整数和分数统称为有理数.
有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数.
拓展：任何一个有理数都可以写成（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
★4、部分常用的数：
（1）正整数：例如： 1，2，3，… ；
负整数：例如：－1，－2，－3，…；
（2）正分数：例如：23，212，3.14，…，
负分数：例如：….
（3）非负数：正数和0； 非正数：负数和0；
（4）非负整数：正整数和0；非正整数：负整数和0；
【注意】
引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.
①按整数、分数的关系分类：有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数．
【注意】：
① 分类的标准不同，结果也不同；
② 分类的结果应无遗漏、无重复；
③ 0是整数，但0既不是正数，也不是负数.
题型一 正数和负数的概念
1．（2024•雁塔区校级四模）在﹣2，0，12，2这四个数中，是负数的是（ ）
A．﹣2B．0C．12D．2
【分析】根据负数的定义即可求得答案．
【解答】解：﹣2是负数；12，2是正数；0既不是正数也不是负数；
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2024•港南区二模）下列各数是正数的是（ ）
A．17B．0C．﹣1D．﹣0.3
【分析】根据正数就是大于0的数，正数前面可以加上“+”来表示，也可以省略“+”；负数就是小于0的数，任何正数前面加上“﹣”是负数；0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点．据此解答即可．
【解答】解：A．17是正数，故此选项符合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，故此选项不符合题意；
C．﹣1是负数，故此选项不符合题意；
D．﹣0.3是负数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数的定义，解题的关键是掌握：正数就是大于0的数，正数前面可以加上“+”来表示，也可以省略“+”；负数就是小于0的数，任何正数前面加上“﹣”是负数；0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点．
3．（2023•文昌二模）下列各数中，是负数的是（ ）
A．+2B．﹣3C．1.5D．13
【分析】根据小于0的数是负数即可判断．
【解答】解：A．+2是正数，故选项不符合题意；
B．﹣3是负数，故选项符合题意；
C．1.5是正数，故选项不符合题意；
D．13是正数，故选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了正数与负数，掌握各自的定义是解本题的关键．
4．（2023秋•博尔塔拉州期末）在﹣1，π，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据正数的定义解答即可．
【解答】解：这五个数中，正数有3个，分别为π，11，3，
故选：C．
【点评】本题考查正数和负数，掌握它们的定义是本题的关键．
5．（2023秋•宁德期末）用﹣a表示的数是（ ）
A．负数B．正数
C．负数或正数D．负数或正数或0
【分析】利用正数、负数的意义来判断．
【解答】解：﹣a表示的数是正数、负数或0，
故选：D．
【点评】本题考查了正数、负数，解题的关键是掌握正数、负数的意义．
6．（2023秋•仁化县期末）在0，﹣7，14，﹣0.3中，负数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据正数与负数的特征进行判断即可．
【解答】解：在0，﹣7，14，﹣0.3中，负数有﹣7，﹣0.3，共有2个，
故选：B．
【点评】本题考查正数与负数，理解正数与负数的特征是正确判断的前提．
7．已知下列各数：−23，﹣212，3.14，0，0.2，﹣216，6，12，其中正数有 ；负数有 ．
【分析】根据正数与负数的特征可判定求解．
【解答】解：在−23，﹣212，3.14，0，0.2，﹣216，6，12中，正数3.14，0.2，6，12；负数有−23，﹣212，﹣216．
故答案为3.14，0.2，6，12；−23，﹣212，﹣216，
【点评】本题主要考查正数与负数，属于基础题．
题型二 0的再认识
1．（2022秋•天山区校级期中）有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0m表示没有海拔．其中正确的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据0的意义逐一分析判断即可．
【解答】解：①0是正数和负数的分界，说法正确；
②0只表示“什么也没有”，说法错误，0可以表示特定意义，如0刻度等；
③0可以表示特定的意义，如0°C等，说法正确；
④既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界，故原说法错误；
⑤0是非负数，说法正确；
⑥海拔0m有高度的，原来的说法错误．
所以正确的有①③⑤，共3个．
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，熟记零的意义是解题关键．
2．（2023•泗阳县一模）既不是正数也不是负数的数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】既不是正数也不是负数的数只有0．
【解答】解：0既不是正数也不是负数．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的知识，注意熟练掌握：既不是正数也不是负数的数只有0．
3．下列对“0”的说法正确的个数是（ ）
①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据0的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确；
②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误，
③可以表示特定的意义，如0℃，故④正确；
④0既不是正数，也不是负数，故④错误；
⑤0是自然数，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤，共3个，
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握0的意义是解题的关键．
4．规定10吨记为0吨，11吨记为+1吨，则下列说法错误的是（ ）
A．8吨记为﹣8吨B．15吨记为+5吨
C．6吨记为﹣4吨D．+3吨表示重量为13吨
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选10吨为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可．
【解答】解：A、10﹣8＝2（吨）
所以8吨记为﹣2吨，而不是﹣8吨，故A说法错误；
B、15﹣10＝5（吨）
所以15吨记为+5吨说法正确；
C、10﹣6＝4（吨）
所以﹣4吨表示重量为6吨说法正确；
D、13﹣10＝3（吨）
所以+3吨表示重量为13吨说法正确；
故选：A．
【点评】此题首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题．
5．（2023秋•宜州区期末）下列说法错误的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C
C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元
D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示
【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可．
【解答】解：A．0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意；
B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C，正确，故不符合题意；
C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元，正确，故不符合题意；
D．规定向正北走用正数表示，则向正南走才用负数表示，原说法错误，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
题型三 判断是否为相反意义的量
1．（2023秋•竞秀区校级月考）下列各组量中具有相反意义的量是（ ）
A．上升与下降B．向东走3m与向南走5m
C．长大4岁与减少5kgD．零上2℃与零下6℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：A、上升的反义词是下降是正确的，但这句话没有说明是哪两个量，故此选项不符合题意；
B、向东走与向南走不是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
C、长大4岁与减少5kg不是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
D、零上2℃与零下6℃是具有相反意义的量，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．下列是具有相反意义的量的是（ ）
A．向东走5米和向北走5米
B．身高增加2厘米和体重减少2千克
C．胜1局和亏本70元
D．收入50元和支出40元
【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反．
【解答】解：A．“向东”与“向北”，没有具体数量，不符合题意；
B．身高和体重不是相反的量，不符合题意；
C．胜1局和亏本70元不是相反的量，不符合题意；
D．收入50元和支出40元具有相反意义，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键：相反意义的量的两个关键因素，它们必须是同一属性，意义相反．
3．（2023秋•衡阳期末）下列不具有相反意义的量的是（ ）
A．前进5米和后退5米
B．节约10吨水和浪费1吨水
C．超过5克和不足2克
D．身高增加2厘米和体重减少2千克
【分析】根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可．
【解答】解：A、前进5米和后退5米是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
B、节约10吨水和浪费1吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
C、超过5克和不足2克是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
D、身高增加2厘米和体重减少2千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是相反意义的量，解题的关键是掌握相反数的定义．
4．（2023•杭州模拟）下列选项中具有相反意义的量是（ ）
A．气温上升5℃和零下5℃B．顺时针4圈和逆时针3圈
C．盈利200元和支出300元D．走了100米和跑了100米
【分析】根据正负数是表示一对意义相反的量，可以辨别出只顺时针4圈和逆时针3圈的意义符合．
【解答】解：A、气温上升5°C和零下5°C不具有相反意义的量，故选项错误，不合题意；
B、顺时针4圈和逆时针3圈是一对意义相反的量，故选项正确，符合题意；
C、盈利200元和支出300元不具有相反意义的量，故选项错误，不合题意，
D、走了100米和跑了100米不具有相反意义的量，故选项错误，不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．
5．（2023秋•雨湖区校级月考）在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．向东走3千米与向北走3千米
B．收入100元与支出50元
C．气温上升3℃与上升7℃
D．5个老人与5个小孩
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：收入100元与支出50元具有相反意义的量，
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．
6．（2023秋•安次区期末）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）
A．收入80元和支出20元
B．长大两岁和减少两公斤
C．上升5米和下降2米
D．向东9米和向西3米
【分析】根据相反意义量的含义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．收入80元和支出20元，是互为相反意义的量，故A不符合题意；
B．长大两岁和减少两公斤不是互为相反意义的量，故B符合题意；
C．上升5米和下降2米，是互为相反意义的量，故C不符合题意；
D．向东9米和向西3米，是互为相反意义的量，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了具有相反意义的量，解题的关键是熟练掌握具有相反意义量的定义．
7．下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（ ）
A．借贷5万元与还贷6万元
B．高出海平面8888米与低于海平面188米
C．亏损2万元与盈利8万元
D．增产10吨粮食与减产-10吨粮食
【分析】根据正负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：A、借贷5万元与还贷6万元是具有相反意义的量，故A不符合题意；
B、高出海平面8888米与低于海平面188米，具有相反意义的量，故B不符合题意；
C、亏损2万元与盈利8万元，具有相反意义的量，故C不符合题意；
D、增产10吨粮食与减产-10吨粮食，
因为减产-10吨粮食相当于增产10吨粮食，
所以不具有相反意义的量，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键．
题型四 运用正负数表示具有相反意义的量
1．（2024•黑山县一模）某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约30cm3的水记为+30cm3，那么浪费10cm3的水记为（ ）
A．+10cm3B．﹣10cm3C．+0cm3D．﹣20cm3
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：节约30cm3的水记为+30cm3，那么浪费10cm3的水记为﹣10cm3，
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（2024•西山区校级模拟）正负数可以表示一组具有相反意义的量，如果将小明在图书馆借书10本记作+10，那么还书5本可以记作（ ）
A．﹣10B．+10C．﹣5D．+5
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：借书10本记作+10，那么还书5本可以记作﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
3．（2024•开原市一模）某校仪仗队队员的平均身高为175cm，如果高于平均身高2cm记作+2cm，那么低于平均身高2cm应该记作（ ）
A．2cmB．﹣2cmC．175cmD．﹣175cm
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：由题意，高于平均身高2cm记作+2cm，高于平均身高和低于平均身高具有相反意义，所以低于平均身高2cm记作﹣2cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量是解题的关键．
4．（2023•昆明模拟）徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，3月份的泰山，山脚平均气温为零上9℃，记作+9℃，山顶平均气温为零下1℃，记作（ ）
A．﹣1℃B．+1℃C．﹣9℃D．+9℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，
∴如果零上9℃记作+9℃，
那么零下1℃记作﹣1℃．
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
5．（2023•吉林）月球表面的白天平均温度零上126℃记作+126℃夜间平均温度零下150℃应记
作（ ）
A．+150℃B．﹣150℃C．+276℃D．﹣276℃
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：零上126℃记作+126℃，
则零下150℃应记作﹣150℃，
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（2023•宽城区校级模拟）在某次班级测验中，班级的平均分为90分，小明的成绩为87分，记做﹣3，若小亮的成绩记做+2，则小亮的成绩为（ ）
A．2分B．88分C．92分D．90分
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：∵班级的平均分为90分，小明的成绩为87分，记做﹣3，即90﹣3＝87（分），
∴小亮的成绩记做+2，表示小亮的成绩为90+2＝92（分），
故选：C．
【点评】本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023秋•苍溪县期末）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作“+50元”，那么亏损30元，记作 元．
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：盈利50元，记作“+50元”，那么亏损30元，记作﹣30元，
故答案为：﹣30．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
8．在下列横线上填上适当的词，构成相反意义的量．
（1）收入10元， 6元；
（2）高出海平面500m， 海平面100m；
（3）减少60kg， 80kg；
（4） 500元，节约700元；
（5）向东走5米， 走6米．
（6） 3m2，缩小4m2．
【分析】根据题意，要构成相反意义，则关键词为“反义”，据此分析，找出其余小题中与关键词具有相反意义的词，再填空即可．
【解答】解：（1）根据题意，收入10元，支出6元；
（2）根据题意，高出海平面500m，低于海平面100m；
（3）根据题意，减少60kg，增加80kg；
（4）根据题意，浪费500元，节约700元；
（5）根据题意，向东走5米，向西走6米；
（6）根据题意，扩大3m2，缩小4m2．
故答案为：（1）支出；（2）低于；（3）增加；（4）浪费；（5）向西；（6）扩大．
【点评】本题考查了正负数的知识，掌握正负数的定义是关键．
9．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示．
（1）气温是零上8℃，零上为正；
（2）向南走200米，向南为负；
（3）转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正；
（4）高于海平面8米，高于海平面为正．
【分析】正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识，结合相反数意义的量找出与零上相反的量是零下，同理解答其他小题．
【解答】解：本题答案不唯一，如：
（1）气温是零上8℃，+8℃；
（2）向南走200米，﹣200米；
（3）顺时针转动转盘5圈，+5圈；
（4）高于海平面8米，+8米．
【点评】本题主要考查了正确的掌握正负数的概念，解答本题的关键就是读懂题意．
题型五 运用正负数表示误差范围
1．（2023秋•巴楚县期末）某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（ ）范围内保存最合适．
A．17℃～23℃B．20℃～23℃C．17℃～20℃D．20℃～26℃
【分析】选20℃为标准记为0，超过部分为正，不足部分为负，直接计算即可．
【解答】解：20℃﹣3℃＝17℃，20℃+3℃＝23℃，
则该药品在17℃～23℃范围内保存．
故选：A．
【点评】本题考查正负数问题，选准标准，规定超过部分为正，不足部分为负，由此用正负数解答问题是关键．
2．（2023秋•渝北区期末）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（ ）
A．4.4mmB．4.5mmC．4.6mmD．4.8mm
【分析】根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可．
【解答】解：由题意可得合格尺寸的范围为4.3mm～4.7mm，
则A，B，C不符合题意；D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键．
3．（2023秋•白云区期末）某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围是（ ）
A．20～22℃B．18～20℃C．18～22℃D．20～24℃
【分析】此题比较简单，根据正数和负数的定义便可解答．
【解答】解：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃﹣2℃＝18℃，最高温度是20℃+2℃＝22℃，即18℃～22℃之间是合适温度．
故选：C．
【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
4．一袋大米的质量标识为“10±0.15千克”，则下列大米中质量合格的是（ ）
A．9.80千克B．10.16千克C．9.90千克D．10.21千克
【分析】根据“10±0.15千克”，可算出合格范围，再根据合格范围，选出答案．
【解答】解：∵10﹣0.15＝9.85（千克），10+0.15＝10.15（千克），
∴合格范围为：9.85～10.15千克，
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，计算出合格范围是解题关键．
5．（2023秋•莱西市期中）如图是加工某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ45.04B．Φ44.96C．Φ44.98D．Φ45.02
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【解答】解：∵45+0.03＝45.03，45﹣0.04＝44.96，
∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03，
∵45.04不在该范围之内，
∴不合格的是A，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．
6．（2023秋•康巴什期末）若一种零件的直径尺寸为30−0.03+0.04mm，则该种零件的最小直径为 mm．
【分析】根据零件的尺寸计算即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
∵零件的直径尺寸为30−0.03+0.04mm，
∴该种零件的最小直径为：30﹣0.03＝29.97（mm），
故答案为：29.97．
【点评】本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正负数的意义．
7．某超市出售的三种品牌的大米袋上，分别标有质量为（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（ ）
A．0.4kgB．0.5kgC．0.55kgD．0.6kg
【分析】根据正负数的意义，分别求出每种品牌的大米袋质量最多相差多少，再比较即可．
【解答】解：根据题意可得：它们的质量相差最多的是标有（50±0.3）kg的；其质量最多相差（50+0.3）﹣（50﹣0.3）＝0.6kg．
故选：D．
【点评】利用正负数的意义，判别（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的意义是关键．
题型六 正数、负数的探究题
1．已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式：
按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（ ）
A．﹣46B．﹣36C．37D．45
【分析】观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10行数的第1个数为﹣46．
故选A．
【解答】解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，
所以前9行的数的个数为1+2+3+…+9＝45，
而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数，
所以第10行数的第1个数为﹣46．
故选：A．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题．
2．观察下面依次排列的两列数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出每组第15个数、第101个数、第2018个数分别是什么吗？
（1）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8， ， ， ，…；
（2）﹣1，12，﹣3，14，﹣5，16，﹣7，18， ， ， ，…．
【分析】第一组数中，序号是3的倍数的数是正数，其余数是负数，符号后面的数是从1开始的连续自然数；
第二组数中，偶数项是以项数为分母，1为分子的数，奇数项是在项数前加﹣．
【解答】解：（1）后面的3个数依次为+9，﹣10，﹣11．
观察发现，若n能被3整除，则第n个数为+n，若n不能被3整除，则第n个数为﹣n（n为正整数），
所以第15个数为15，第101个数为﹣101，第2018个数为﹣2018．
故答案为：+9，﹣10，﹣11；
（2）后面的3个数依次为﹣9，110，﹣11．
观察发现，若n能被2整除，则第n个数为1n，若n不能被2整除，则第n个数为﹣n（n为正整数），
所以第15个数为﹣15，第101个数为﹣101，第2018个数为12018．
故答案为：﹣9，110，﹣11．
【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
3．观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数．
（1）﹣1，12，﹣3，14，﹣5，16，﹣7，18， ， ， ，…；
（2）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8， ， ， ，…
【分析】（1）通过观察得出规律：第奇数个位置上的数为序号的相反数，第偶数个位置上的数为序号数的倒数，据此规律进行解答便可；
（2）各个位置的数的绝对值为序号数，若序号是3的倍数，则该位置上的数为正，其余位置上的数都为负，据此规律进行解答．
【解答】解：（1）根据题意可知：第奇数个位置上的数为序号的相反数，第偶数个位置上的数为序号数的倒数，
∴后面三个数依次为﹣9，110，﹣11，
故答案为﹣9；110；﹣11；
（2）根据题意可知：各个位置的数的绝对值为序号数，若序号是3的倍数，则该位置上的数为正，其余位置上的数都为负，
∴后面三个数依次为+9，﹣10，﹣11．
故答案为：+9；﹣10；﹣11．
【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
4．观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出这三列数第100个数，第2016个数是什么吗？它们的排列规律是什么？
（1）2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2， ， ， …
（2）﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6， ， ， …
（3）−12，14，−16，18，−110， ， ， …
【分析】（1）第一个数是正2，第二个数时﹣2，依此类推，第奇数个数时2，第偶数个数时﹣2；
（2）第一个数是﹣1，第二个数是2，以此类推，第n（奇数）是﹣n，第n（偶数）为n；
（3）所有数的分子都是1，所有数的分母是2，4，6，8，10，…连续的偶数，第奇数个数是负数，第偶数个数是正数．
【解答】解：（1）2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2，2，
第100个数为﹣2，第2016个数为﹣2，
规律为第n个数为（﹣1）n+1×2 （n≥1，且n为整数），
故答案为：2，﹣2，2；
（2）﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，
第100个数为：100，第2016个数为2016，
规律为第n个数为（﹣1）n•n （n≥1，且n为整数）；
故答案为：﹣7，8，﹣9；
（3）−12，14，−16，18，−110，112，−114，116，
第100个数为1200，第2016个数为14032，
规律为：（﹣1）n•12n （n≥1，且n为整数），
故答案为：112，−114，116．
【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
5．（2023•市南区校级开学）已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，…将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 2 3
第3行 4 5 6
第4行 7 8 9 10
第5行 11 12 13 14 15
…
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数是 ，第20行从右边数第5个数是 ．
【分析】观察数据的排列特点发现：第i（i为正整数）行有i个数据，据此可得出第n行的最后一个数为n(n+1)2，便可解决问题．
【解答】解：观察发现，
第i（i为正整数）行共有i个数，
所以前n行数据的总个数为：1+2+3+……+n=n+(n+1)2．
即表示第n行最后一个数为n(n+1)2．
所以n＝9时，n(n+1)2=45．
即有第9行，最后一个数为45．
所以第10行第1个数为46，那么低10行第5个数为50．
n＝20时，n(n+1)2=210．
即表示第20行最后一个数为210，
所以第20行从右边数第5个数是206．
故答案为：50，206．
【点评】本题考查数据的排列规律，发现第n行的最后一个数是n(n+1)2是解题的关键．
6．如图，将一串数按下列规律排列，回答下列问题：
（1）在A处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A，B，C，D中的什么位置？
（3）第2020个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？
【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答；
（2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；
（3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2020除以4，根据余数的情况确定所对应的位置即可．
【解答】解：（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；
（2）观察不难发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，
所以，B和D的位置是负数；
（3）∵2020÷4＝505，
∴第2020个数排在A的位置，是正数．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．
题型七 与正负数有关的图表信息题
1．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是（ ）
A．25%B．37.5%C．50%D．75%
【分析】成绩记录中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，由于达标成绩为18秒，记录中的数不大于0则表示成绩达标．故应该有6人达标，从而求出达标率．
【解答】解：∵“正”和“负”相对，从表格中我们会发现，这8人中有6人是达标的，
∴这个小组女生的达标率是68=75%．
故选：D．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．注意这里是不大于0即为达标．
2．下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期几水位最低（ ）
A．星期二B．星期四C．星期六D．星期五
【分析】用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数．由图表可知从周二开始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
【解答】解：由于用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数，由图表可知，周一水位比上周末上升0.12米，从周二开始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
故选：C．
【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分内容时一定要联系实际，不能死学．
3．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦、悉尼、纽约与北京的时差，表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ．
【分析】根据伦敦、悉尼、纽约与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．
【解答】解：由表格可得，悉尼与北京时差为+2，所以北京时间是4时或16时，悉尼时间为6时或18时，此时伦敦时间为8时或20时，纽约为3时或15时．
故答案为：①④②③．
【点评】本题考查正数与负数；能够结合时钟与时差确定北京时间是解题的关键．
4．（2023秋•衢江区期末）为迎接校运会，需要在七年级男生中选拔彩旗队，要求彩旗队队员的标准身高为170cm，身高在“170±2cm”为合格身高．某体育老师在两个班中挑选了与标准身高接近的12名男生，如表是这12名男生的身高情况：
（1）这12名男生中有多少人身高合格？
（2）身高合格男生的平均身高比标准身高高（或低）多少cm？
【分析】（1）根据身高在“170±2cm”为合格身高，即可计算；
（2）计算出合格男生的平均身高，与标准身高比较即可求解．
【解答】解：（1）由表知，与标准身高的差为﹣3或3的不合格，而这样身高的人数分别为3人与1人，
∴这12名男生中身高合格的有：12﹣3﹣1＝8（人）；
答：这12名男生中有8人身高合格；
（2）身高合格男生的平均身高为：170+2×(−2)+3×0+1×1+2×28=170.125(cm)，
而170.125﹣170＝0.125（cm），
答：身高合格男生的平均身高比标准身高高0.125cm．
【点评】本题考查了正负数的应用，掌握有理数四则运算的应用是解题的关键．
5．国庆期间，观看电影《长津湖》成为了人们的假期活动首选节目．某区9月30日售票量为1.2万张，该区10月1日到10月7日售票量的变化如表（正号表示售票量比前一天多，负号表示售票量比前一天少）：
（1）10月2日的售票量为多少万张？
（2）若平均每张票价为50元，则10月1日到10月7日该区销售《长津湖》共多少万元？
【分析】（1）根据题意列得算式，计算即可得到结果；
（2）根据表格得出1日到7日每天的人数，相加后再乘以50即可得到结果．
【解答】解：（1）10月2日的售票量为：1.2+0.6+0.1＝1.9（万张）；
答：10月2日的售票量为1.9万张；
（2）10月1日的售票量为：1.2+0.6＝1.8（万张）；
10月2日的售票量为：1.8+0.1＝1.9（万张）；
10月3日的售票量为：1.9﹣0.3＝1.6（万张）；
10月4日的售票量为：1.6﹣0.2＝1.4（万张）；
10月5日的售票量为：1.4+0.4＝1.8（万张）；
10月6日的售票量为：1.8﹣0.2＝1.6（万张）；
10月7日的售票量为：1.6+0.1＝1.7（万张）；
10月1日到7日的售票量为：1.8+1.9+1.6+1.4+1.8+1.6+1.7＝11.8（万张），
50×11.8＝590（万元），
故该区销售《长津湖》共590万元．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，掌握正数和负数表示相反意义的量是解答本题的关键．
题型八 有理数概念的辨析
1．（2023秋•梁山县期末）在3.14，227，0，π3，0.1010010001中有理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据有理数的概念进行求解即可．
【解答】解：在3.14，227，0，π3，0.1010010001中有理数的有3.14，227，0，0.1010010001，共4个；
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数：有限小数与无限循环小数是有理数；掌握有理数的概念是解题的关键．
2．（2023•大新县校级模拟）下列各数中，是负整数的数是（ ）
A．2B．2.5C．﹣2D．﹣2.5
【分析】根据负整数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、2是正整数，故选项不合题意；
B、2.5为正分数，故选项不合题意；
C、﹣2为负整数，故选项正确；
D、﹣2.5为负分数，故选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的相关概念及其分类方法，然后就可以熟练进行判断，难度适中．
3．（2023秋•长沙期末）在﹣3.5，227，0.3070809，0，π3中，有理数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据有理数的定义即可求解．
【解答】解：在﹣3.5，227，0.3070809，0，π3中，
有理数有﹣3.5，227，0.3070809，0，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键．
4．（2023春•闵行区期中）在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个有理数中非负数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【分析】根据有理数的分类得到在所给数中非负数为513，0，7.6，2，314%．
【解答】解：在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个数中，
非负数为513，0，7.6，2，314%，有5个．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数：整数与分数统称有理数．
5．（2023秋•博罗县期末）有理数0，6，﹣5，−227，9中整数有 ；负数有 ．
【分析】根据整数和负数的定义即可求得答案．
【解答】解：整数有0，6，﹣5，9；
负数有﹣5，−227；
故答案为：0，6，﹣5，9；﹣5，−227．
【点评】本题考查整数和负数的识别，熟练掌握相关定义是解题的关键．
6．（2023秋•射洪市期末）在+8，0，−37，+45，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 个．
【分析】非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案．
【解答】解：+8，0，2023是非负整数，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023秋•船营区校级期中）在﹣3.6，﹣10%，227，π，0，2这六个数中，非负有理数有 个．
【分析】利用非有理数即正有理数和0，一一判断即可．
【解答】解：非负有理数有：227、0、2共计3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了非负有理数的定义，整数和分数统称为有理数．
8．（2023秋•雁塔区校级月考）在﹣8，2020，327，0.1，﹣5，+13，14，﹣6.9中，分数有 个．
【分析】根据分数的定义进行判断即可．
【解答】解：由题意可得，
分数有：327，0.1，14，﹣6.9．
共计4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查了分数的识别，掌握分数的概念是解题的关键．
题型九 有理数的分类
1．（2024•民勤县三模）下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（ ）
A．3B．﹣312C．0D．2.4
【分析】根据大于零的分数是正分数，可得答案．
【解答】解：A、是整数，故A错误；
B、是负分数，故B错误；
C、既不是正数也不是负数，故C错误；
D、是正分数，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数，大于零的分数是正分数，注意0既不是正数也不是负数，0是整数．
2．（2023秋•隆回县期末）在−13，227，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（ ）
A．3B．4C．6D．5
【分析】先求出m，n，k的值，再进行计算即可．
【解答】解：∵227，0.12，14是正有理数，共3个；
0，14是非负整数，共2个；
−13，227，0.12，﹣1.5是分数，共4个，
∴m＝3，n＝2，k＝4，
∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5．
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键．
3．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中．
1，13，0.5，+7，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，613，0.3，5%，﹣26，1.010010001…．
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；；
分数集合：{ …}；．
【分析】利用正数，负数，整数以及分数定义判断即可．
【解答】解：正数集合：{1，13，0.5，+7，613，0.3，5%，1.010010001…}；
负数集合：{﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26}；
整数集合：{1，+7，0，﹣9，﹣26}；
分数集合：{13，0.5，﹣6.4，613，0.3，5%}．
故答案为：1，13，0.5，+7，613，0.3，5%，1.010010001…；
﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26；
1，+7，0，﹣9，﹣26；
13，0.5，﹣6.4，613，0.3，5%．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
4．（2023秋•凉州区期末）把下面个各数填入相应的大括号内
﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，−45，﹣15%，213．
负数集合：{ …}，
非负数集合：{ …}，
整数集合：{ …}，
负分数集合：{ …}．
【分析】根据有理数的分类直接得答案．
【解答】解：下列数中：﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，−45，﹣15%，213．
∵213=7，
∴负数有：﹣13.5，﹣10，−45，﹣15%；
非负数有：5，0，3.14，+27，213；
整数有：5，0，﹣10，+27，213；
负分数有：﹣13.5，−45，﹣15%．
故答案为：﹣13.5，﹣10，−45，﹣15%；5，0，3.14，+27，213；5，0，﹣10，+27，213；﹣13.5，−45，﹣15%．
【点评】本题考查了有理数、整数、负分数、负数的概念．题目比较简单，注意细心．
5．（2023秋•天桥区校级月考）把下列各数的序号填入相应的集合中：①﹣5.3，②+31，③−34，④0，⑤﹣7，⑥1213，⑦2005，⑧﹣1.69．
负数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
非负整数集合： ．
【分析】直接利用负数、整数、负分数和非负整数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：①﹣5.3，②+31，③−34，④0，⑤﹣7，⑥1213，⑦2005，⑧﹣1.69．
负数集合：（①③⑤⑧）；
整数集合：（②④⑤⑦）；
负分数集合：（①③⑧）；
非负整数集合：（②④⑦）．
故答案为：①③⑤⑧；②④⑤⑦；①③⑧；②④⑦．
【点评】本题考查了有理数，掌握相关定义是解答本题的关键．
6．将下面一组数填入相应集合的圈内：
﹣0.5，﹣7，+2.8，﹣30，﹣4，100.2，0，8，78
【分析】按照有理数的分类即可求出答案，注意（1）重合的是负整数，（2）重合的是正分数．
【解答】解：（1）﹣0.5，（﹣7，﹣30，﹣4）0，8
（2）﹣0.5 （+2.8，100.2，78，） 8．
【点评】本题考查有理数的分类，属于基础题型．
7．（2023秋•雨花区校级月考）把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①0；②3.1415926；③200；④﹣2020；⑤﹣6.1⋅43⋅；⑥+108；⑦−227；⑧111．
整数：{ ⋯}；
正数：{ ⋯}；
正分数：{ ⋯}；
负有理数：{ ⋯}．
【分析】根据有理数的分类，即可求解．
【解答】解：整数：{①③④⑥……}；
正数：{②③⑥⑧……}
正分数：{②⑧……}
负有理数：{④⑤⑦……}
故答案为：①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦．
【点评】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
8．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
1，0.0708，﹣700，﹣3.88，0，3.14，−723，0.2⋅3⋅．
正有理数集合：{ …}，
负整数集合：{ …}，
正分数集合：{ …}，
非负整数集合：{ …}．
【分析】根据有理数的分类填写即可．
【解答】解：正有理数集合：{1，0.0708，3.14，0.2⋅3⋅，…}，
负整数集合：{﹣700，…}，
正分数集合：{0.0708，3.14，0.2⋅3⋅，…}，
非负整数集合：{1，0，…}．
故答案为：1，0.0708，3.14，0.2⋅3⋅；﹣700；0.0708，3.14，0.2⋅3⋅；1，0．
【点评】本题考查了有理数的知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
解题技巧提炼
在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
解题技巧提炼
0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准．
解题技巧提炼
具有相反意义的量必须满足两个条件，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
解题技巧提炼
用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示．
解题技巧提炼
用正负数表示误差范围，首先根据a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格.
解题技巧提炼
1、探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
2、探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常要从符号和数（不考虑符号）两个方面进行观察，若是分数还要分别观察分子、分母，特别要注意观察符号的变化规律，才能得到这种数的一般特征．
解题技巧提炼
解决图表信息题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算，解决此类题要注意用正负数正确表示变化量．
﹣2
+0.3
0
0
﹣1.2
﹣1
+0.5
﹣0.4
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/米
0.12
﹣0.02
﹣0.13
﹣0.20
﹣0.08
﹣0.02
0.32
城市
伦敦
悉尼
纽约
时差
﹣8
+2
﹣13
与标准身高的差（cm）
﹣3
﹣2
0
1
2
3
人数（人）
3
2
3
1
2
1
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
售票量的变化（单位：万张）
+0.6
+0.1
﹣0.3
﹣0.2
+0.4
﹣0.2
+0.1
解题技巧提炼
整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
解题技巧提炼
有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数.
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2.1.1 有理数
知识点一
具有相反意义的量
★1、具有相反意义的量包含两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量．
★2、用正负数表示具有相反意义的量
为了更好的区分这些具有相反意义的量，通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示．
知识点二
用正、负数表示具有相反意义的量
★1、正数和负数的概念： 像 1，2，3，1.8％ 这样大于 0 的数叫做正数.
像 -3，-1，-2，-2.7％ 这样在正数前面加上符号“ - ”(负) 的数叫做负数.
【注意】
正数前面的“＋”号可以省略不写，负数前面的“﹣”号不能省略不写.
★2、0 的意义：
（1）0 既不是正数也不是负数；
（2）0是正数与负数的分界.
（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果.
知识点三
有理数的分类
★1、整数：正整数、负整数、零统称为整数．
★2、分数：正分数、负分数统称为分数．
★3、有理数：整数和分数统称为有理数.
有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数.
拓展：任何一个有理数都可以写成（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
★4、部分常用的数：
（1）正整数：例如： 1，2，3，… ；
负整数：例如：－1，－2，－3，…；
（2）正分数：例如：23，212，3.14，…，
负分数：例如：….
（3）非负数：正数和0； 非正数：负数和0；
（4）非负整数：正整数和0；非正整数：负整数和0；
【注意】
引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.
①按整数、分数的关系分类：有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数．
【注意】：
① 分类的标准不同，结果也不同；
② 分类的结果应无遗漏、无重复；
③ 0是整数，但0既不是正数，也不是负数.
题型一 正数和负数的概念
1．（2024•雁塔区校级四模）在﹣2，0，12，2这四个数中，是负数的是（ ）
A．﹣2B．0C．12D．2
【分析】根据负数的定义即可求得答案．
【解答】解：﹣2是负数；12，2是正数；0既不是正数也不是负数；
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2024•港南区二模）下列各数是正数的是（ ）
A．17B．0C．﹣1D．﹣0.3
【分析】根据正数就是大于0的数，正数前面可以加上“+”来表示，也可以省略“+”；负数就是小于0的数，任何正数前面加上“﹣”是负数；0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点．据此解答即可．
【解答】解：A．17是正数，故此选项符合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，故此选项不符合题意；
C．﹣1是负数，故此选项不符合题意；
D．﹣0.3是负数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数的定义，解题的关键是掌握：正数就是大于0的数，正数前面可以加上“+”来表示，也可以省略“+”；负数就是小于0的数，任何正数前面加上“﹣”是负数；0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点．
3．（2023•文昌二模）下列各数中，是负数的是（ ）
A．+2B．﹣3C．1.5D．13
【分析】根据小于0的数是负数即可判断．
【解答】解：A．+2是正数，故选项不符合题意；
B．﹣3是负数，故选项符合题意；
C．1.5是正数，故选项不符合题意；
D．13是正数，故选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了正数与负数，掌握各自的定义是解本题的关键．
4．（2023秋•博尔塔拉州期末）在﹣1，π，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据正数的定义解答即可．
【解答】解：这五个数中，正数有3个，分别为π，11，3，
故选：C．
【点评】本题考查正数和负数，掌握它们的定义是本题的关键．
5．（2023秋•宁德期末）用﹣a表示的数是（ ）
A．负数B．正数
C．负数或正数D．负数或正数或0
【分析】利用正数、负数的意义来判断．
【解答】解：﹣a表示的数是正数、负数或0，
故选：D．
【点评】本题考查了正数、负数，解题的关键是掌握正数、负数的意义．
6．（2023秋•仁化县期末）在0，﹣7，14，﹣0.3中，负数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据正数与负数的特征进行判断即可．
【解答】解：在0，﹣7，14，﹣0.3中，负数有﹣7，﹣0.3，共有2个，
故选：B．
【点评】本题考查正数与负数，理解正数与负数的特征是正确判断的前提．
7．已知下列各数：−23，﹣212，3.14，0，0.2，﹣216，6，12，其中正数有 ；负数有 ．
【分析】根据正数与负数的特征可判定求解．
【解答】解：在−23，﹣212，3.14，0，0.2，﹣216，6，12中，正数3.14，0.2，6，12；负数有−23，﹣212，﹣216．
故答案为3.14，0.2，6，12；−23，﹣212，﹣216，
【点评】本题主要考查正数与负数，属于基础题．
题型二 0的再认识
1．（2022秋•天山区校级期中）有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0m表示没有海拔．其中正确的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据0的意义逐一分析判断即可．
【解答】解：①0是正数和负数的分界，说法正确；
②0只表示“什么也没有”，说法错误，0可以表示特定意义，如0刻度等；
③0可以表示特定的意义，如0°C等，说法正确；
④既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界，故原说法错误；
⑤0是非负数，说法正确；
⑥海拔0m有高度的，原来的说法错误．
所以正确的有①③⑤，共3个．
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，熟记零的意义是解题关键．
2．（2023•泗阳县一模）既不是正数也不是负数的数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】既不是正数也不是负数的数只有0．
【解答】解：0既不是正数也不是负数．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的知识，注意熟练掌握：既不是正数也不是负数的数只有0．
3．下列对“0”的说法正确的个数是（ ）
①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据0的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确；
②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误，
③可以表示特定的意义，如0℃，故④正确；
④0既不是正数，也不是负数，故④错误；
⑤0是自然数，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤，共3个，
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握0的意义是解题的关键．
4．规定10吨记为0吨，11吨记为+1吨，则下列说法错误的是（ ）
A．8吨记为﹣8吨B．15吨记为+5吨
C．6吨记为﹣4吨D．+3吨表示重量为13吨
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选10吨为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可．
【解答】解：A、10﹣8＝2（吨）
所以8吨记为﹣2吨，而不是﹣8吨，故A说法错误；
B、15﹣10＝5（吨）
所以15吨记为+5吨说法正确；
C、10﹣6＝4（吨）
所以﹣4吨表示重量为6吨说法正确；
D、13﹣10＝3（吨）
所以+3吨表示重量为13吨说法正确；
故选：A．
【点评】此题首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题．
5．（2023秋•宜州区期末）下列说法错误的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C
C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元
D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示
【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可．
【解答】解：A．0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意；
B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C，正确，故不符合题意；
C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元，正确，故不符合题意；
D．规定向正北走用正数表示，则向正南走才用负数表示，原说法错误，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
题型三 判断是否为相反意义的量
1．（2023秋•竞秀区校级月考）下列各组量中具有相反意义的量是（ ）
A．上升与下降B．向东走3m与向南走5m
C．长大4岁与减少5kgD．零上2℃与零下6℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：A、上升的反义词是下降是正确的，但这句话没有说明是哪两个量，故此选项不符合题意；
B、向东走与向南走不是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
C、长大4岁与减少5kg不是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
D、零上2℃与零下6℃是具有相反意义的量，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．下列是具有相反意义的量的是（ ）
A．向东走5米和向北走5米
B．身高增加2厘米和体重减少2千克
C．胜1局和亏本70元
D．收入50元和支出40元
【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反．
【解答】解：A．“向东”与“向北”，没有具体数量，不符合题意；
B．身高和体重不是相反的量，不符合题意；
C．胜1局和亏本70元不是相反的量，不符合题意；
D．收入50元和支出40元具有相反意义，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键：相反意义的量的两个关键因素，它们必须是同一属性，意义相反．
3．（2023秋•衡阳期末）下列不具有相反意义的量的是（ ）
A．前进5米和后退5米
B．节约10吨水和浪费1吨水
C．超过5克和不足2克
D．身高增加2厘米和体重减少2千克
【分析】根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可．
【解答】解：A、前进5米和后退5米是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
B、节约10吨水和浪费1吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
C、超过5克和不足2克是具有相反意义的量，故此选项不符合题意；
D、身高增加2厘米和体重减少2千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是相反意义的量，解题的关键是掌握相反数的定义．
4．（2023•杭州模拟）下列选项中具有相反意义的量是（ ）
A．气温上升5℃和零下5℃B．顺时针4圈和逆时针3圈
C．盈利200元和支出300元D．走了100米和跑了100米
【分析】根据正负数是表示一对意义相反的量，可以辨别出只顺时针4圈和逆时针3圈的意义符合．
【解答】解：A、气温上升5°C和零下5°C不具有相反意义的量，故选项错误，不合题意；
B、顺时针4圈和逆时针3圈是一对意义相反的量，故选项正确，符合题意；
C、盈利200元和支出300元不具有相反意义的量，故选项错误，不合题意，
D、走了100米和跑了100米不具有相反意义的量，故选项错误，不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．
5．（2023秋•雨湖区校级月考）在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．向东走3千米与向北走3千米
B．收入100元与支出50元
C．气温上升3℃与上升7℃
D．5个老人与5个小孩
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：收入100元与支出50元具有相反意义的量，
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．
6．（2023秋•安次区期末）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）
A．收入80元和支出20元
B．长大两岁和减少两公斤
C．上升5米和下降2米
D．向东9米和向西3米
【分析】根据相反意义量的含义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．收入80元和支出20元，是互为相反意义的量，故A不符合题意；
B．长大两岁和减少两公斤不是互为相反意义的量，故B符合题意；
C．上升5米和下降2米，是互为相反意义的量，故C不符合题意；
D．向东9米和向西3米，是互为相反意义的量，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了具有相反意义的量，解题的关键是熟练掌握具有相反意义量的定义．
7．下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（ ）
A．借贷5万元与还贷6万元
B．高出海平面8888米与低于海平面188米
C．亏损2万元与盈利8万元
D．增产10吨粮食与减产-10吨粮食
【分析】根据正负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：A、借贷5万元与还贷6万元是具有相反意义的量，故A不符合题意；
B、高出海平面8888米与低于海平面188米，具有相反意义的量，故B不符合题意；
C、亏损2万元与盈利8万元，具有相反意义的量，故C不符合题意；
D、增产10吨粮食与减产-10吨粮食，
因为减产-10吨粮食相当于增产10吨粮食，
所以不具有相反意义的量，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键．
题型四 运用正负数表示具有相反意义的量
1．（2024•黑山县一模）某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约30cm3的水记为+30cm3，那么浪费10cm3的水记为（ ）
A．+10cm3B．﹣10cm3C．+0cm3D．﹣20cm3
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：节约30cm3的水记为+30cm3，那么浪费10cm3的水记为﹣10cm3，
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（2024•西山区校级模拟）正负数可以表示一组具有相反意义的量，如果将小明在图书馆借书10本记作+10，那么还书5本可以记作（ ）
A．﹣10B．+10C．﹣5D．+5
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：借书10本记作+10，那么还书5本可以记作﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
3．（2024•开原市一模）某校仪仗队队员的平均身高为175cm，如果高于平均身高2cm记作+2cm，那么低于平均身高2cm应该记作（ ）
A．2cmB．﹣2cmC．175cmD．﹣175cm
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：由题意，高于平均身高2cm记作+2cm，高于平均身高和低于平均身高具有相反意义，所以低于平均身高2cm记作﹣2cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量是解题的关键．
4．（2023•昆明模拟）徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，3月份的泰山，山脚平均气温为零上9℃，记作+9℃，山顶平均气温为零下1℃，记作（ ）
A．﹣1℃B．+1℃C．﹣9℃D．+9℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，
∴如果零上9℃记作+9℃，
那么零下1℃记作﹣1℃．
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
5．（2023•吉林）月球表面的白天平均温度零上126℃记作+126℃夜间平均温度零下150℃应记
作（ ）
A．+150℃B．﹣150℃C．+276℃D．﹣276℃
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：零上126℃记作+126℃，
则零下150℃应记作﹣150℃，
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（2023•宽城区校级模拟）在某次班级测验中，班级的平均分为90分，小明的成绩为87分，记做﹣3，若小亮的成绩记做+2，则小亮的成绩为（ ）
A．2分B．88分C．92分D．90分
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：∵班级的平均分为90分，小明的成绩为87分，记做﹣3，即90﹣3＝87（分），
∴小亮的成绩记做+2，表示小亮的成绩为90+2＝92（分），
故选：C．
【点评】本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023秋•苍溪县期末）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作“+50元”，那么亏损30元，记作 元．
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：盈利50元，记作“+50元”，那么亏损30元，记作﹣30元，
故答案为：﹣30．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
8．在下列横线上填上适当的词，构成相反意义的量．
（1）收入10元， 6元；
（2）高出海平面500m， 海平面100m；
（3）减少60kg， 80kg；
（4） 500元，节约700元；
（5）向东走5米， 走6米．
（6） 3m2，缩小4m2．
【分析】根据题意，要构成相反意义，则关键词为“反义”，据此分析，找出其余小题中与关键词具有相反意义的词，再填空即可．
【解答】解：（1）根据题意，收入10元，支出6元；
（2）根据题意，高出海平面500m，低于海平面100m；
（3）根据题意，减少60kg，增加80kg；
（4）根据题意，浪费500元，节约700元；
（5）根据题意，向东走5米，向西走6米；
（6）根据题意，扩大3m2，缩小4m2．
故答案为：（1）支出；（2）低于；（3）增加；（4）浪费；（5）向西；（6）扩大．
【点评】本题考查了正负数的知识，掌握正负数的定义是关键．
9．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示．
（1）气温是零上8℃，零上为正；
（2）向南走200米，向南为负；
（3）转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正；
（4）高于海平面8米，高于海平面为正．
【分析】正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识，结合相反数意义的量找出与零上相反的量是零下，同理解答其他小题．
【解答】解：本题答案不唯一，如：
（1）气温是零上8℃，+8℃；
（2）向南走200米，﹣200米；
（3）顺时针转动转盘5圈，+5圈；
（4）高于海平面8米，+8米．
【点评】本题主要考查了正确的掌握正负数的概念，解答本题的关键就是读懂题意．
题型五 运用正负数表示误差范围
1．（2023秋•巴楚县期末）某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（ ）范围内保存最合适．
A．17℃～23℃B．20℃～23℃C．17℃～20℃D．20℃～26℃
【分析】选20℃为标准记为0，超过部分为正，不足部分为负，直接计算即可．
【解答】解：20℃﹣3℃＝17℃，20℃+3℃＝23℃，
则该药品在17℃～23℃范围内保存．
故选：A．
【点评】本题考查正负数问题，选准标准，规定超过部分为正，不足部分为负，由此用正负数解答问题是关键．
2．（2023秋•渝北区期末）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（ ）
A．4.4mmB．4.5mmC．4.6mmD．4.8mm
【分析】根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可．
【解答】解：由题意可得合格尺寸的范围为4.3mm～4.7mm，
则A，B，C不符合题意；D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键．
3．（2023秋•白云区期末）某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围是（ ）
A．20～22℃B．18～20℃C．18～22℃D．20～24℃
【分析】此题比较简单，根据正数和负数的定义便可解答．
【解答】解：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃﹣2℃＝18℃，最高温度是20℃+2℃＝22℃，即18℃～22℃之间是合适温度．
故选：C．
【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
4．一袋大米的质量标识为“10±0.15千克”，则下列大米中质量合格的是（ ）
A．9.80千克B．10.16千克C．9.90千克D．10.21千克
【分析】根据“10±0.15千克”，可算出合格范围，再根据合格范围，选出答案．
【解答】解：∵10﹣0.15＝9.85（千克），10+0.15＝10.15（千克），
∴合格范围为：9.85～10.15千克，
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，计算出合格范围是解题关键．
5．（2023秋•莱西市期中）如图是加工某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ45.04B．Φ44.96C．Φ44.98D．Φ45.02
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【解答】解：∵45+0.03＝45.03，45﹣0.04＝44.96，
∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03，
∵45.04不在该范围之内，
∴不合格的是A，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．
6．（2023秋•康巴什期末）若一种零件的直径尺寸为30−0.03+0.04mm，则该种零件的最小直径为 mm．
【分析】根据零件的尺寸计算即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
∵零件的直径尺寸为30−0.03+0.04mm，
∴该种零件的最小直径为：30﹣0.03＝29.97（mm），
故答案为：29.97．
【点评】本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正负数的意义．
7．某超市出售的三种品牌的大米袋上，分别标有质量为（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（ ）
A．0.4kgB．0.5kgC．0.55kgD．0.6kg
【分析】根据正负数的意义，分别求出每种品牌的大米袋质量最多相差多少，再比较即可．
【解答】解：根据题意可得：它们的质量相差最多的是标有（50±0.3）kg的；其质量最多相差（50+0.3）﹣（50﹣0.3）＝0.6kg．
故选：D．
【点评】利用正负数的意义，判别（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的意义是关键．
题型六 正数、负数的探究题
1．已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式：
按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（ ）
A．﹣46B．﹣36C．37D．45
【分析】观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10行数的第1个数为﹣46．
故选A．
【解答】解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，
所以前9行的数的个数为1+2+3+…+9＝45，
而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数，
所以第10行数的第1个数为﹣46．
故选：A．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题．
2．观察下面依次排列的两列数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出每组第15个数、第101个数、第2018个数分别是什么吗？
（1）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8， ， ， ，…；
（2）﹣1，12，﹣3，14，﹣5，16，﹣7，18， ， ， ，…．
【分析】第一组数中，序号是3的倍数的数是正数，其余数是负数，符号后面的数是从1开始的连续自然数；
第二组数中，偶数项是以项数为分母，1为分子的数，奇数项是在项数前加﹣．
【解答】解：（1）后面的3个数依次为+9，﹣10，﹣11．
观察发现，若n能被3整除，则第n个数为+n，若n不能被3整除，则第n个数为﹣n（n为正整数），
所以第15个数为15，第101个数为﹣101，第2018个数为﹣2018．
故答案为：+9，﹣10，﹣11；
（2）后面的3个数依次为﹣9，110，﹣11．
观察发现，若n能被2整除，则第n个数为1n，若n不能被2整除，则第n个数为﹣n（n为正整数），
所以第15个数为﹣15，第101个数为﹣101，第2018个数为12018．
故答案为：﹣9，110，﹣11．
【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
3．观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数．
（1）﹣1，12，﹣3，14，﹣5，16，﹣7，18， ， ， ，…；
（2）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8， ， ， ，…
【分析】（1）通过观察得出规律：第奇数个位置上的数为序号的相反数，第偶数个位置上的数为序号数的倒数，据此规律进行解答便可；
（2）各个位置的数的绝对值为序号数，若序号是3的倍数，则该位置上的数为正，其余位置上的数都为负，据此规律进行解答．
【解答】解：（1）根据题意可知：第奇数个位置上的数为序号的相反数，第偶数个位置上的数为序号数的倒数，
∴后面三个数依次为﹣9，110，﹣11，
故答案为﹣9；110；﹣11；
（2）根据题意可知：各个位置的数的绝对值为序号数，若序号是3的倍数，则该位置上的数为正，其余位置上的数都为负，
∴后面三个数依次为+9，﹣10，﹣11．
故答案为：+9；﹣10；﹣11．
【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
4．观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出这三列数第100个数，第2016个数是什么吗？它们的排列规律是什么？
（1）2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2， ， ， …
（2）﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6， ， ， …
（3）−12，14，−16，18，−110， ， ， …
【分析】（1）第一个数是正2，第二个数时﹣2，依此类推，第奇数个数时2，第偶数个数时﹣2；
（2）第一个数是﹣1，第二个数是2，以此类推，第n（奇数）是﹣n，第n（偶数）为n；
（3）所有数的分子都是1，所有数的分母是2，4，6，8，10，…连续的偶数，第奇数个数是负数，第偶数个数是正数．
【解答】解：（1）2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2，2，
第100个数为﹣2，第2016个数为﹣2，
规律为第n个数为（﹣1）n+1×2 （n≥1，且n为整数），
故答案为：2，﹣2，2；
（2）﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，
第100个数为：100，第2016个数为2016，
规律为第n个数为（﹣1）n•n （n≥1，且n为整数）；
故答案为：﹣7，8，﹣9；
（3）−12，14，−16，18，−110，112，−114，116，
第100个数为1200，第2016个数为14032，
规律为：（﹣1）n•12n （n≥1，且n为整数），
故答案为：112，−114，116．
【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
5．（2023•市南区校级开学）已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，…将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 2 3
第3行 4 5 6
第4行 7 8 9 10
第5行 11 12 13 14 15
…
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数是 ，第20行从右边数第5个数是 ．
【分析】观察数据的排列特点发现：第i（i为正整数）行有i个数据，据此可得出第n行的最后一个数为n(n+1)2，便可解决问题．
【解答】解：观察发现，
第i（i为正整数）行共有i个数，
所以前n行数据的总个数为：1+2+3+……+n=n+(n+1)2．
即表示第n行最后一个数为n(n+1)2．
所以n＝9时，n(n+1)2=45．
即有第9行，最后一个数为45．
所以第10行第1个数为46，那么低10行第5个数为50．
n＝20时，n(n+1)2=210．
即表示第20行最后一个数为210，
所以第20行从右边数第5个数是206．
故答案为：50，206．
【点评】本题考查数据的排列规律，发现第n行的最后一个数是n(n+1)2是解题的关键．
6．如图，将一串数按下列规律排列，回答下列问题：
（1）在A处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A，B，C，D中的什么位置？
（3）第2020个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？
【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答；
（2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；
（3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2020除以4，根据余数的情况确定所对应的位置即可．
【解答】解：（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；
（2）观察不难发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，
所以，B和D的位置是负数；
（3）∵2020÷4＝505，
∴第2020个数排在A的位置，是正数．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．
题型七 与正负数有关的图表信息题
1．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是（ ）
A．25%B．37.5%C．50%D．75%
【分析】成绩记录中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，由于达标成绩为18秒，记录中的数不大于0则表示成绩达标．故应该有6人达标，从而求出达标率．
【解答】解：∵“正”和“负”相对，从表格中我们会发现，这8人中有6人是达标的，
∴这个小组女生的达标率是68=75%．
故选：D．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．注意这里是不大于0即为达标．
2．下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期几水位最低（ ）
A．星期二B．星期四C．星期六D．星期五
【分析】用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数．由图表可知从周二开始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
【解答】解：由于用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数，由图表可知，周一水位比上周末上升0.12米，从周二开始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
故选：C．
【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分内容时一定要联系实际，不能死学．
3．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦、悉尼、纽约与北京的时差，表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ．
【分析】根据伦敦、悉尼、纽约与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．
【解答】解：由表格可得，悉尼与北京时差为+2，所以北京时间是4时或16时，悉尼时间为6时或18时，此时伦敦时间为8时或20时，纽约为3时或15时．
故答案为：①④②③．
【点评】本题考查正数与负数；能够结合时钟与时差确定北京时间是解题的关键．
4．（2023秋•衢江区期末）为迎接校运会，需要在七年级男生中选拔彩旗队，要求彩旗队队员的标准身高为170cm，身高在“170±2cm”为合格身高．某体育老师在两个班中挑选了与标准身高接近的12名男生，如表是这12名男生的身高情况：
（1）这12名男生中有多少人身高合格？
（2）身高合格男生的平均身高比标准身高高（或低）多少cm？
【分析】（1）根据身高在“170±2cm”为合格身高，即可计算；
（2）计算出合格男生的平均身高，与标准身高比较即可求解．
【解答】解：（1）由表知，与标准身高的差为﹣3或3的不合格，而这样身高的人数分别为3人与1人，
∴这12名男生中身高合格的有：12﹣3﹣1＝8（人）；
答：这12名男生中有8人身高合格；
（2）身高合格男生的平均身高为：170+2×(−2)+3×0+1×1+2×28=170.125(cm)，
而170.125﹣170＝0.125（cm），
答：身高合格男生的平均身高比标准身高高0.125cm．
【点评】本题考查了正负数的应用，掌握有理数四则运算的应用是解题的关键．
5．国庆期间，观看电影《长津湖》成为了人们的假期活动首选节目．某区9月30日售票量为1.2万张，该区10月1日到10月7日售票量的变化如表（正号表示售票量比前一天多，负号表示售票量比前一天少）：
（1）10月2日的售票量为多少万张？
（2）若平均每张票价为50元，则10月1日到10月7日该区销售《长津湖》共多少万元？
【分析】（1）根据题意列得算式，计算即可得到结果；
（2）根据表格得出1日到7日每天的人数，相加后再乘以50即可得到结果．
【解答】解：（1）10月2日的售票量为：1.2+0.6+0.1＝1.9（万张）；
答：10月2日的售票量为1.9万张；
（2）10月1日的售票量为：1.2+0.6＝1.8（万张）；
10月2日的售票量为：1.8+0.1＝1.9（万张）；
10月3日的售票量为：1.9﹣0.3＝1.6（万张）；
10月4日的售票量为：1.6﹣0.2＝1.4（万张）；
10月5日的售票量为：1.4+0.4＝1.8（万张）；
10月6日的售票量为：1.8﹣0.2＝1.6（万张）；
10月7日的售票量为：1.6+0.1＝1.7（万张）；
10月1日到7日的售票量为：1.8+1.9+1.6+1.4+1.8+1.6+1.7＝11.8（万张），
50×11.8＝590（万元），
故该区销售《长津湖》共590万元．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，掌握正数和负数表示相反意义的量是解答本题的关键．
题型八 有理数概念的辨析
1．（2023秋•梁山县期末）在3.14，227，0，π3，0.1010010001中有理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据有理数的概念进行求解即可．
【解答】解：在3.14，227，0，π3，0.1010010001中有理数的有3.14，227，0，0.1010010001，共4个；
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数：有限小数与无限循环小数是有理数；掌握有理数的概念是解题的关键．
2．（2023•大新县校级模拟）下列各数中，是负整数的数是（ ）
A．2B．2.5C．﹣2D．﹣2.5
【分析】根据负整数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、2是正整数，故选项不合题意；
B、2.5为正分数，故选项不合题意；
C、﹣2为负整数，故选项正确；
D、﹣2.5为负分数，故选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的相关概念及其分类方法，然后就可以熟练进行判断，难度适中．
3．（2023秋•长沙期末）在﹣3.5，227，0.3070809，0，π3中，有理数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据有理数的定义即可求解．
【解答】解：在﹣3.5，227，0.3070809，0，π3中，
有理数有﹣3.5，227，0.3070809，0，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键．
4．（2023春•闵行区期中）在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个有理数中非负数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【分析】根据有理数的分类得到在所给数中非负数为513，0，7.6，2，314%．
【解答】解：在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个数中，
非负数为513，0，7.6，2，314%，有5个．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数：整数与分数统称有理数．
5．（2023秋•博罗县期末）有理数0，6，﹣5，−227，9中整数有 ；负数有 ．
【分析】根据整数和负数的定义即可求得答案．
【解答】解：整数有0，6，﹣5，9；
负数有﹣5，−227；
故答案为：0，6，﹣5，9；﹣5，−227．
【点评】本题考查整数和负数的识别，熟练掌握相关定义是解题的关键．
6．（2023秋•射洪市期末）在+8，0，−37，+45，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 个．
【分析】非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案．
【解答】解：+8，0，2023是非负整数，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023秋•船营区校级期中）在﹣3.6，﹣10%，227，π，0，2这六个数中，非负有理数有 个．
【分析】利用非有理数即正有理数和0，一一判断即可．
【解答】解：非负有理数有：227、0、2共计3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了非负有理数的定义，整数和分数统称为有理数．
8．（2023秋•雁塔区校级月考）在﹣8，2020，327，0.1，﹣5，+13，14，﹣6.9中，分数有 个．
【分析】根据分数的定义进行判断即可．
【解答】解：由题意可得，
分数有：327，0.1，14，﹣6.9．
共计4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查了分数的识别，掌握分数的概念是解题的关键．
题型九 有理数的分类
1．（2024•民勤县三模）下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（ ）
A．3B．﹣312C．0D．2.4
【分析】根据大于零的分数是正分数，可得答案．
【解答】解：A、是整数，故A错误；
B、是负分数，故B错误；
C、既不是正数也不是负数，故C错误；
D、是正分数，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数，大于零的分数是正分数，注意0既不是正数也不是负数，0是整数．
2．（2023秋•隆回县期末）在−13，227，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（ ）
A．3B．4C．6D．5
【分析】先求出m，n，k的值，再进行计算即可．
【解答】解：∵227，0.12，14是正有理数，共3个；
0，14是非负整数，共2个；
−13，227，0.12，﹣1.5是分数，共4个，
∴m＝3，n＝2，k＝4，
∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5．
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键．
3．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中．
1，13，0.5，+7，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，613，0.3，5%，﹣26，1.010010001…．
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；；
分数集合：{ …}；．
【分析】利用正数，负数，整数以及分数定义判断即可．
【解答】解：正数集合：{1，13，0.5，+7，613，0.3，5%，1.010010001…}；
负数集合：{﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26}；
整数集合：{1，+7，0，﹣9，﹣26}；
分数集合：{13，0.5，﹣6.4，613，0.3，5%}．
故答案为：1，13，0.5，+7，613，0.3，5%，1.010010001…；
﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26；
1，+7，0，﹣9，﹣26；
13，0.5，﹣6.4，613，0.3，5%．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
4．（2023秋•凉州区期末）把下面个各数填入相应的大括号内
﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，−45，﹣15%，213．
负数集合：{ …}，
非负数集合：{ …}，
整数集合：{ …}，
负分数集合：{ …}．
【分析】根据有理数的分类直接得答案．
【解答】解：下列数中：﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，−45，﹣15%，213．
∵213=7，
∴负数有：﹣13.5，﹣10，−45，﹣15%；
非负数有：5，0，3.14，+27，213；
整数有：5，0，﹣10，+27，213；
负分数有：﹣13.5，−45，﹣15%．
故答案为：﹣13.5，﹣10，−45，﹣15%；5，0，3.14，+27，213；5，0，﹣10，+27，213；﹣13.5，−45，﹣15%．
【点评】本题考查了有理数、整数、负分数、负数的概念．题目比较简单，注意细心．
5．（2023秋•天桥区校级月考）把下列各数的序号填入相应的集合中：①﹣5.3，②+31，③−34，④0，⑤﹣7，⑥1213，⑦2005，⑧﹣1.69．
负数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
非负整数集合： ．
【分析】直接利用负数、整数、负分数和非负整数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：①﹣5.3，②+31，③−34，④0，⑤﹣7，⑥1213，⑦2005，⑧﹣1.69．
负数集合：（①③⑤⑧）；
整数集合：（②④⑤⑦）；
负分数集合：（①③⑧）；
非负整数集合：（②④⑦）．
故答案为：①③⑤⑧；②④⑤⑦；①③⑧；②④⑦．
【点评】本题考查了有理数，掌握相关定义是解答本题的关键．
6．将下面一组数填入相应集合的圈内：
﹣0.5，﹣7，+2.8，﹣30，﹣4，100.2，0，8，78
【分析】按照有理数的分类即可求出答案，注意（1）重合的是负整数，（2）重合的是正分数．
【解答】解：（1）﹣0.5，（﹣7，﹣30，﹣4）0，8
（2）﹣0.5 （+2.8，100.2，78，） 8．
【点评】本题考查有理数的分类，属于基础题型．
7．（2023秋•雨花区校级月考）把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①0；②3.1415926；③200；④﹣2020；⑤﹣6.1⋅43⋅；⑥+108；⑦−227；⑧111．
整数：{ ⋯}；
正数：{ ⋯}；
正分数：{ ⋯}；
负有理数：{ ⋯}．
【分析】根据有理数的分类，即可求解．
【解答】解：整数：{①③④⑥……}；
正数：{②③⑥⑧……}
正分数：{②⑧……}
负有理数：{④⑤⑦……}
故答案为：①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦．
【点评】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
8．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
1，0.0708，﹣700，﹣3.88，0，3.14，−723，0.2⋅3⋅．
正有理数集合：{ …}，
负整数集合：{ …}，
正分数集合：{ …}，
非负整数集合：{ …}．
【分析】根据有理数的分类填写即可．
【解答】解：正有理数集合：{1，0.0708，3.14，0.2⋅3⋅，…}，
负整数集合：{﹣700，…}，
正分数集合：{0.0708，3.14，0.2⋅3⋅，…}，
非负整数集合：{1，0，…}．
故答案为：1，0.0708，3.14，0.2⋅3⋅；﹣700；0.0708，3.14，0.2⋅3⋅；1，0．
【点评】本题考查了有理数的知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
解题技巧提炼
在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
解题技巧提炼
0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准．
解题技巧提炼
具有相反意义的量必须满足两个条件，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
解题技巧提炼
用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示．
解题技巧提炼
用正负数表示误差范围，首先根据a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格.
解题技巧提炼
1、探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
2、探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常要从符号和数（不考虑符号）两个方面进行观察，若是分数还要分别观察分子、分母，特别要注意观察符号的变化规律，才能得到这种数的一般特征．
解题技巧提炼
解决图表信息题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算，解决此类题要注意用正负数正确表示变化量．
﹣2
+0.3
0
0
﹣1.2
﹣1
+0.5
﹣0.4
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/米
0.12
﹣0.02
﹣0.13
﹣0.20
﹣0.08
﹣0.02
0.32
城市
伦敦
悉尼
纽约
时差
﹣8
+2
﹣13
与标准身高的差（cm）
﹣3
﹣2
0
1
2
3
人数（人）
3
2
3
1
2
1
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
售票量的变化（单位：万张）
+0.6
+0.1
﹣0.3
﹣0.2
+0.4
﹣0.2
+0.1
解题技巧提炼
整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
解题技巧提炼
有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数.
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
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