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初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理同步测试题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理同步测试题，共42页。试卷主要包含了5D．4等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列条件中，一定能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
4．如图，△DEF为等腰三角形，EF=ED，FH⊥ED，DH=2，FH=4，则EF=（ ）
A．5B．6C．5.5D．4.5
5．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．如图，△ABC中，，，O为内一点，且，，则的面积为（ ）
A．6B．4C．3D．2
7．如图，是的角平分线，，，P，D分别是和上的任意一点，连接，，，．给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为12．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
8．如图，△ABC中，CA＝CB＝15，AB＝18，且则，的值为（ ）
A．192B．291C．225D．258
9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．在中，已知，是边上的高，，，则__．
12．如图所示，△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分补角∠ACD．若交AC于M，CE＝8cm，CF＝6cm，则EM的长为__cm．
13．如图，小李将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，此时绳子末端距离地面1m，则绳子的总长度为 ___________m.
14．如图：已知在中，，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则的值等于__________（结果保留）．
15．如图，，，，是四根长度均为的火柴棒，点A，C，E共线．，若，则线段的长度是___________．
16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，对角线AC与BD相交于点E，点F，G分别是AC，BD的中点，当∠CBD＝15°，EG＝EC，FG2＝3时，则线段AC的长为________．
17．如图，中，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以D，E为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边于点G，点P为边上的一动点，则的最小值为______．
18．如图，，，，和交于点，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论：①；②；③；④只有当时，，其中正确的有____．（填序号）
三、解答题（10小题，共64分）
19．如图，在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，AD⊥BC，垂足为D，
(1)求BC的长；
(2)求AD的长．
20．等腰三角形有“三线合一”的重要性质，勾股定理是古今中外著名的定理，试用这两个定理或其中的一个定理解答：如图，中，，，
(1)求的面积；
(2)若D是的中点，于E，求出DE的长．
21．如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A处发现在自己左上方距离顶端2厘米B处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离．
22．若的三条边长分别为a，b，c，满足，试说明为直角三角形．
23．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．
24．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端离地面0.6m，当秋千荡到AB的位置时（AB=AB/)，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．（秋千静止时与地面垂直）
25．如图BE⊥CD，AB＝AD，AC＝AE，过A点作AG⊥DE于G，延长GA交BC于F，
(1)求证：F为BC中点；
(2)若AF＝12.5，AE＝15，求△ADE的面积．
26．已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接．
(1)如图1，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，；
(2)如图2，点，都在线段上，且．试猜想线段，，之间满足的数量关系，并证明结论．
27．在中，，，P为线段上一动点．
(1)如图1，点D、E分别在、上（点D不与点A重合），若P运动到的中点，且．
①求证：．
②若，，求的长．
(2)如图2，点F在上，且，过点F作，垂足为H，若，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
28．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
(1)如图，在中，，且，请你在图中用尺规作图作出的一条“等分积周线”；
(2)在图中，过点能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法若不能，请说明理由．
(3)如图，四边形中，，垂直平分，垂足为，交于点，已知，，求证：直线为四边形的“等分积周线”；
(4)如图，在中，cm，cm，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由．
第3章 勾股定理章末复习培优卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列条件中，一定能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和和勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】A． 当时，，此时，无法求解，故A不是直角三角形；
B．当时，设，则，由勾股定理的逆定理可知B不是直角三角形；
C． 由勾股定理的逆定理可知C是直角三角形；
D．当时，，故D不是直角三角形；
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和和勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形各边的关系及各角的关系是解题的关键．
2．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】A、，不能构成直角三角形，符合题意；
B、，能构成直角三角形，是整数，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，是整数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股数的定义以及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
3．如图，ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴，
∴BC=2BD=8，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．如图，△DEF为等腰三角形，EF=ED，FH⊥ED，DH=2，FH=4，则EF=（ ）
A．5B．6C．5.5D．4.5
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性质结合题干数据表示出EH和EF的关系，再利用勾股定理可以解出EF的长．
【详解】解：∵△DEF为等腰三角形，
∴EF=ED，
∴EH=ED-DH=EF-DH=EF-2，
∵FH⊥ED，
∴在Rt△EFH中，
，
又∵FH=4，
∴，
解得EF=5．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形和勾股定理，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的相关知识是解题的关键．
5．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
【详解】解：一个直角三角形的面积：（14×14−2×2）÷8
＝（196−4）÷8
＝192÷8
＝24，
正方形EFGH的面积为：24×4＋2×2
＝96＋4
＝100，
∴正方形EFGH的边长为10．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．
6．如图，△ABC中，，，O为内一点，且，，则的面积为（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】延长交于点D，先证出，然后求出，再利用勾股定理得，进而求出，即可求得的面积．
【详解】解：延长交于点D，过点O作于点M，作于点N，
∵，AO为与公共的底
∴与的高相等，即
∵，
∴是的角平分线
∵
∴为底边上的高线，即
∴
在中，利用勾股定理得
∴
∴的面积：
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形和勾股定理的性质，能发现三线合一是解答此题的关键．
7．如图，是的角平分线，，，P，D分别是和上的任意一点，连接，，，．给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为12．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】①正确，根据线段的垂直平分线的性质证明即可；②正确，根据两点之间线段最短判断即可；③正确，当CD⊥AB时，PA＋PD的值最小，求出CD的值，即可判断；④错误，△PAH的面积为9．
【详解】解：∵BA＝BC，BH是角平分线，
∴BH⊥AC，AH＝CH，
∴PA＝PC，故①正确，
∴PA＋PD＝PD＋PC≥CD，故②正确，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，C，P，D共线时，PA＋PD的值最小，最小值为CD，
在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝AC＝6，，
∵，
∴CD＝＝，
∴PA＋PD的最小值为，故③正确，
如图，过点P作PT⊥AB于T，
在△PAT和△PAH中，
，
∴△PAT≌△PAH（AAS），
∴AT＝AH＝6，PT＝PH，
设PT＝PH＝x,
在Rt△PTB中，则有，
∴x＝3，
∴，故④错误，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明BH垂直平分线段AC，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，△ABC中，CA＝CB＝15，AB＝18，且则，的值为（ ）
A．192B．291C．225D．258
【答案】D
【分析】延长CO交AB于点M，过点O作OE⊥AC于E，过点O作OF⊥BC于F，利用HL证明△COE≌△COF得∠OCE=∠OCF，从而得出M是AB中点，且CM⊥AB，再根据三角形面积公式以及勾股定理分别求出的长即可求解．
【详解】解：如图，延长CO交AB于点M，过点O作OE⊥AC于E，过点O作OF⊥BC于F，
∵，AC＝BC，
∴OE＝OF，
在Rt△COE和Rt△COF中，
∴Rt△COE≌Rt△COF（HL），
∴∠OCE＝∠OCF，
又∵AC＝BC，
∴AM＝BM＝9，MC⊥AB，
∴＝＝，
∴OM＝OC，
在Rt△ACM中，AC＝15，AM＝9，
∴，即CM＝12（负值舍去），
∴OC＝8，OM＝4，
∴，
∴，
∴的值为258．
故本题选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得，然后计算，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，
∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，
∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，
∴∠BAI=∠DAC，
∴△ABI≌△ADC（SAS），
∴∠AIB=∠ACD，
∵∠CNI=∠CAI=90°，
∴BI⊥CD，
故①正确；
∵S△ACD=S△AIB=×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，
∴S1：S△ACD=2：1，
故②正确；
∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S1-S4=S3-S2，
故③正确；
S1-S4=S3-S2，
，
∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ= AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，
，，
∵AB2=AC2+ BC2，，
，
即，
，
∴S1•S4=S2•S3，
故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的条件，勾股定理的运用，完全平方公式的变形．
10．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．在中，已知，是边上的高，，，则__．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出的长，再根据三角形的面积，即可求出的长．
【详解】∵是直角三角形
∴
∴
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，三角形的面积公式．
12．如图所示，△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分补角∠ACD．若交AC于M，CE＝8cm，CF＝6cm，则EM的长为__cm．
【答案】5
【分析】先根据角平分线的定义求出∠ECF=90°，根据勾股定理求出EF的长度，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF，最后根据等角对等边，即可得EM=CM=FM，即可求解．
【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分补角∠ACD，
∴∠MCE=∠BCE=∠ACB，∠FCM=∠FCD=∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=(∠ACD+∠ACD)=90°，
根据勾股定理可得：cm，
∵，
∴∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠FCD，
∴∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF，
∴EM=CM=FM，
∴EM=EF=5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角三角形的判定，熟练掌握相关内容是解题的关键．
13．如图，小李将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，此时绳子末端距离地面1m，则绳子的总长度为 ___________m.
【答案】13
【分析】设旗杆高为，则，过点E作，则四边形是矩形，得到，，在直角三角形中，根据勾股定理计算即可．
【详解】如图，设旗杆高为，则，
过点E作，
则四边形是矩形，
所以，，
在直角三角形中，
，
解得，
故绳子长为13m，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定，勾股定理是解题的关键．
14．如图：已知在中，，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则的值等于__________（结果保留）．
【答案】
【分析】先由勾股定理可得： 再利用，然后整体代入求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴
即：
故答案为：
【点睛】本题考查的是半圆的面积的计算，勾股定理的应用，掌握利用勾股定理是解题的关键.
15．如图，，，，是四根长度均为的火柴棒，点A，C，E共线．，若，则线段的长度是___________．
【答案】##8厘米
【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分别为G、H，利用AAS证明△BCG≌△CDH得到BG=CH，利用勾股定理及等腰三角形的性质求出BG=4，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分别为G、H，
∴∠BGC=∠DHC=90°，
∴∠BCG+∠CBG=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCG+∠DCH=90°，
∴∠CBG=∠DCH，
在△BCG和△CDH中，
，
∴△BCG≌△CDH（AAS），
∴BG=CH，
∵AB=BC，BG⊥AC，AC=6，
∴CG=AC=3，
∴BM=CN，
在Rt△BCG中，
由勾股定理得：BG=，
∴CH=4，
∵CD=DE，DH⊥CE，
∴CH=EH，
∴CE=CH+EH=8，
故答案为：8cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得△BCM≌△CDN是解决问题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，对角线AC与BD相交于点E，点F，G分别是AC，BD的中点，当∠CBD＝15°，EG＝EC，FG2＝3时，则线段AC的长为________．
【答案】6
【分析】先连接AG，CG，根据直角三角形的中线性质得AG=CG=BG，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得∠EGC，进而求出∠ECG，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出CF，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接AG，CG，
∵△ABD与△BCD均是BD为斜边的直角三角形，
∴AG＝BD，CG＝BD，即AG＝CG=BG，
∴△ACG为等腰三角形．
∵∠CBD＝15°，CG＝BG，
∴∠CGE＝2∠CBD＝30°．
∵EC＝EG，
∴∠ECG＝∠CGE＝30°．
又∵F为AC的中点，
∴GF为△ACG的中线，即AF＝CF，
∴由“三线合一”知，即∠GFC＝90°，
∴CG＝2FG．
∵，
∴，
由勾股定理得：，即CF＝3，
∴AC＝2FC＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的外角性质等，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
17．如图，中，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以D，E为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边于点G，点P为边上的一动点，则的最小值为______．
【答案】##
【分析】根据基本作图得到AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AB于H，如图，则根据角平分线的性质得到GH＝GC，利用勾股定理计算出AB＝5，再利用面积法求出GH，然后根据垂线段最短解决问题．
【详解】解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AB于H，如图，
∵∠C=90°，即GC⊥AC，
∴∠C=90°=∠AHG，
∴GH＝GC，
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
∵，
∴，
∴GH＝GC，
∴5GH+4GH＝12，
∴，
∵点P为边AB上的一动点，
当GP⊥AB时，G点到AB的距离最短，即GP最小，即为，
∴GP的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图—角平分线，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等等，解题的关键在于能够根据题意得到AG平分∠BAC．
18．如图，，，，和交于点，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论：①；②；③；④只有当时，，其中正确的有____．（填序号）
【答案】①②④
【分析】先由，得出，再利用证明，故①正确；由“”可证，得出，进而得出，由勾股定理得出②正确；利用特殊位置可判断，故③错误；由“”可证，可得，故④正确，即可求解．
【详解】解：①，，
，，
在和中，
，
，故①正确；
②由①知，
，，
，
．
，，
．
在与中，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，故②正确；
当点是的中点时，即点与点重合，
在中，，，
，故③错误；
当时，
则，
又，，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（10小题，共64分）
19．如图，在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，AD⊥BC，垂足为D，
(1)求BC的长；
(2)求AD的长．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）利用的面积列式计算即可得解．
（1）
解：在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，
∴BC=；
（2）
解：∵AD⊥BC，∠BAC=，AB=3，AC=4，BC=5，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，是基础题，难点在于（2）利用同一个三角形的面积的两种不同表示列出方程．
20．等腰三角形有“三线合一”的重要性质，勾股定理是古今中外著名的定理，试用这两个定理或其中的一个定理解答：如图，中，，，
(1)求的面积；
(2)若D是的中点，于E，求出DE的长．
【答案】(1)的面积为12；
(2)．
【分析】（1）过A作于F，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；
（2）连接，由于AD=BD，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出的长．
（1）
解：过A作于F，
中，，，，则；
中，；
由勾股定理，得；
∴；
（2）
解：连接，
∵D是的中点，
∴；
∵，即．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．
21．如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A处发现在自己左上方距离顶端2厘米B处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离．
【答案】蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为10厘米．
【分析】将圆柱体展开，作点B关于圆柱顶的对称点，连接，与圆柱顶交于点D，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】将圆柱体展开，作点B关于圆柱顶的对称点，连接，与圆柱顶交于点D，
根据题意可得，
∵玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，
∴厘米，厘米，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∵，
∴厘米．
∴蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为10厘米．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意正确画出图形，利用勾股定理求解．
22．若的三条边长分别为a，b，c，满足，试说明为直角三角形．
【答案】见解析
【分析】将原式因式分解可得到 ，进而得出 ，再利用勾股定理的逆定理即可证明出是直角三角形．
【详解】证明：
移项得： ，
变形得： ，
因式分解得： ，
，
解得： ．
是 的三条边，且满足 ，
即 ，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了配方法的应用、勾股定理的逆定理、非负数的性质，解决本题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理作出证明．
23．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．
【答案】(1)475米
(2)1000米，米
【分析】（1）根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．则AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值为B．
（1）
解：如图1，
此时AQ＝BQ．
设CQ＝x，则DQ＝800﹣x，
∴，
解得x＝475，
即CQ的长为475米；
（2）
解：如图2，
作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．
则AP＝P，
AP+BP＝P+BP，
PA+PB的最小值为=1000米．
∵，
∴，
∴，
∴CP＝＝＝（米），
即CP的长度为米．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，作图﹣应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q、P的位置是本题的关键．
24．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端离地面0.6m，当秋千荡到AB的位置时（AB=AB/)，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．（秋千静止时与地面垂直）
【答案】4m
【分析】设秋千AB的长为x，，可得，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设秋千AB的长为x，
离地面0.6m，当秋千荡到AB的位置时距地面1.4m，
，
，
根据勾股定理得：
即，
解得：，
答：秋千AB的长为4m．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据勾股定理得出相应的方程是解本题的关键．
25．如图BE⊥CD，AB＝AD，AC＝AE，过A点作AG⊥DE于G，延长GA交BC于F，
(1)求证：F为BC中点；
(2)若AF＝12.5，AE＝15，求△ADE的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)150．
【分析】（1）证明△ADE≌△ABC （SAS），可得∠DEA＝∠BCA，再证明FC＝FA，然后根据直角三角形两个锐角互余证明FB＝FA，进而可以解决问题；
（2）由△ABC≌△ADE知：DE＝BC＝25，利用勾股定理可得AD＝20，进而可以解决问题．
（1）
证明：∵BE⊥CD，
∴∠DAE＝∠DAB＝∠BAC＝∠CAE＝90°，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC （SAS），
∴∠DEA＝∠BCA，
∵AG⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AED＋∠ADE＝∠DAG＋∠ADE＝90°，
∴∠AED＝∠DAG，
∵∠DAG＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴FC＝FA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAC＋∠BAF＝∠FCA＋∠FBA＝90°，
∴∠BAF＝∠FBA，
∴FB＝FA，
∴FB＝FC，
∴F是BC的中点；
（2）
解：∵F为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AF＝BC，
∴BC＝2AF＝25，
由△ABC≌△ADE知：DE＝BC＝25，
∵AE＝15，∠DAE＝90°，
∴，
∴＝×AD•AE＝×20×15＝150．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26．已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接．
(1)如图1，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，；
(2)如图2，点，都在线段上，且．试猜想线段，，之间满足的数量关系，并证明结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合，证明，根据全等三角形的性质，得出，，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，进而即可得出结论；
（2）根据题意，结合，证明，根据全等三角形的性质，得出，再根据勾股定理，得出，再根据等量代换，即可得出结果．
（1）
证明：∵，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，
∴ ，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：，理由如下：
∵将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形两锐角互余、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
27．在中，，，P为线段上一动点．
(1)如图1，点D、E分别在、上（点D不与点A重合），若P运动到的中点，且．
①求证：．
②若，，求的长．
(2)如图2，点F在上，且，过点F作，垂足为H，若，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)的值不变，
【分析】（1）①如图1中，连接，根据等腰直角三角形的判定与性质证明，即可证明；
②利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论；
（2）的值不变，．如图2中，作，垂足为Q，证明，推出，可得结论．
（1）
①证明：如图1中，连接，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵P为中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：如图1中，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）
解：PH的值不变，PH=4．
理由：如图2中，作，垂足为Q，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是定值．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
28．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
(1)如图，在中，，且，请你在图中用尺规作图作出的一条“等分积周线”；
(2)在图中，过点能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法若不能，请说明理由．
(3)如图，四边形中，，垂直平分，垂足为，交于点，已知，，求证：直线为四边形的“等分积周线”；
(4)如图，在中，cm，cm，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不能，理由见解析
(3)见解析
(4)图及理由见解析
【分析】（1）作线段的中垂线即可得出答案；
（2）若直线平分的面积，那么，得出，进而得出答案；
（3）根据勾股定理可得出：，进而得出，，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
（4）在上取一点，使得，在上取一点，使得，作直线，则是的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．
（1）
解：如图所示：作线段的中垂线，
∵，
∴AD=CD，
∴AB+AD=BC+CD，
∵，
∴，
∴直线BD是的一条“等分积周线”；
（2）
不能，
理由：如图，若直线平分的面积，那么，
，
，
，
过点不能画出一条“等分积周线”
（3）
如图3，连接、，设，
垂直平分，
，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，
所以，，
，
∴，
∵
∴，
，，
，
直线为四边形的“等分积周线”；
（4）
如图，在上取一点，使得cm，在上取一点，使得cm，
作直线，则是的“等分积周线”，
理由：由作图可得：cm，
在上取一点，使得cm，
则有，
，
，
在和中
≌（SAS），
，
∵EG=6-2-2=2cm，
∴cm，
，
，
cm，
是的“等分积周线”，
若如图，当cm，cm时，
直线也是的“等分积周线”．其实是同一条，
【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意正确分割图形是解题关键．
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列条件中，一定能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
4．如图，△DEF为等腰三角形，EF=ED，FH⊥ED，DH=2，FH=4，则EF=（ ）
A．5B．6C．5.5D．4.5
5．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．如图，△ABC中，，，O为内一点，且，，则的面积为（ ）
A．6B．4C．3D．2
7．如图，是的角平分线，，，P，D分别是和上的任意一点，连接，，，．给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为12．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
8．如图，△ABC中，CA＝CB＝15，AB＝18，且则，的值为（ ）
A．192B．291C．225D．258
9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．在中，已知，是边上的高，，，则__．
12．如图所示，△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分补角∠ACD．若交AC于M，CE＝8cm，CF＝6cm，则EM的长为__cm．
13．如图，小李将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，此时绳子末端距离地面1m，则绳子的总长度为 ___________m.
14．如图：已知在中，，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则的值等于__________（结果保留）．
15．如图，，，，是四根长度均为的火柴棒，点A，C，E共线．，若，则线段的长度是___________．
16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，对角线AC与BD相交于点E，点F，G分别是AC，BD的中点，当∠CBD＝15°，EG＝EC，FG2＝3时，则线段AC的长为________．
17．如图，中，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以D，E为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边于点G，点P为边上的一动点，则的最小值为______．
18．如图，，，，和交于点，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论：①；②；③；④只有当时，，其中正确的有____．（填序号）
三、解答题（10小题，共64分）
19．如图，在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，AD⊥BC，垂足为D，
(1)求BC的长；
(2)求AD的长．
20．等腰三角形有“三线合一”的重要性质，勾股定理是古今中外著名的定理，试用这两个定理或其中的一个定理解答：如图，中，，，
(1)求的面积；
(2)若D是的中点，于E，求出DE的长．
21．如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A处发现在自己左上方距离顶端2厘米B处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离．
22．若的三条边长分别为a，b，c，满足，试说明为直角三角形．
23．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．
24．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端离地面0.6m，当秋千荡到AB的位置时（AB=AB/)，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．（秋千静止时与地面垂直）
25．如图BE⊥CD，AB＝AD，AC＝AE，过A点作AG⊥DE于G，延长GA交BC于F，
(1)求证：F为BC中点；
(2)若AF＝12.5，AE＝15，求△ADE的面积．
26．已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接．
(1)如图1，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，；
(2)如图2，点，都在线段上，且．试猜想线段，，之间满足的数量关系，并证明结论．
27．在中，，，P为线段上一动点．
(1)如图1，点D、E分别在、上（点D不与点A重合），若P运动到的中点，且．
①求证：．
②若，，求的长．
(2)如图2，点F在上，且，过点F作，垂足为H，若，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
28．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
(1)如图，在中，，且，请你在图中用尺规作图作出的一条“等分积周线”；
(2)在图中，过点能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法若不能，请说明理由．
(3)如图，四边形中，，垂直平分，垂足为，交于点，已知，，求证：直线为四边形的“等分积周线”；
(4)如图，在中，cm，cm，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由．
第3章 勾股定理章末复习培优卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列条件中，一定能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和和勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】A． 当时，，此时，无法求解，故A不是直角三角形；
B．当时，设，则，由勾股定理的逆定理可知B不是直角三角形；
C． 由勾股定理的逆定理可知C是直角三角形；
D．当时，，故D不是直角三角形；
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和和勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形各边的关系及各角的关系是解题的关键．
2．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】A、，不能构成直角三角形，符合题意；
B、，能构成直角三角形，是整数，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，是整数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股数的定义以及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
3．如图，ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴，
∴BC=2BD=8，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．如图，△DEF为等腰三角形，EF=ED，FH⊥ED，DH=2，FH=4，则EF=（ ）
A．5B．6C．5.5D．4.5
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性质结合题干数据表示出EH和EF的关系，再利用勾股定理可以解出EF的长．
【详解】解：∵△DEF为等腰三角形，
∴EF=ED，
∴EH=ED-DH=EF-DH=EF-2，
∵FH⊥ED，
∴在Rt△EFH中，
，
又∵FH=4，
∴，
解得EF=5．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形和勾股定理，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的相关知识是解题的关键．
5．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
【详解】解：一个直角三角形的面积：（14×14−2×2）÷8
＝（196−4）÷8
＝192÷8
＝24，
正方形EFGH的面积为：24×4＋2×2
＝96＋4
＝100，
∴正方形EFGH的边长为10．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．
6．如图，△ABC中，，，O为内一点，且，，则的面积为（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】延长交于点D，先证出，然后求出，再利用勾股定理得，进而求出，即可求得的面积．
【详解】解：延长交于点D，过点O作于点M，作于点N，
∵，AO为与公共的底
∴与的高相等，即
∵，
∴是的角平分线
∵
∴为底边上的高线，即
∴
在中，利用勾股定理得
∴
∴的面积：
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形和勾股定理的性质，能发现三线合一是解答此题的关键．
7．如图，是的角平分线，，，P，D分别是和上的任意一点，连接，，，．给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为12．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】①正确，根据线段的垂直平分线的性质证明即可；②正确，根据两点之间线段最短判断即可；③正确，当CD⊥AB时，PA＋PD的值最小，求出CD的值，即可判断；④错误，△PAH的面积为9．
【详解】解：∵BA＝BC，BH是角平分线，
∴BH⊥AC，AH＝CH，
∴PA＝PC，故①正确，
∴PA＋PD＝PD＋PC≥CD，故②正确，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，C，P，D共线时，PA＋PD的值最小，最小值为CD，
在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝AC＝6，，
∵，
∴CD＝＝，
∴PA＋PD的最小值为，故③正确，
如图，过点P作PT⊥AB于T，
在△PAT和△PAH中，
，
∴△PAT≌△PAH（AAS），
∴AT＝AH＝6，PT＝PH，
设PT＝PH＝x,
在Rt△PTB中，则有，
∴x＝3，
∴，故④错误，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明BH垂直平分线段AC，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，△ABC中，CA＝CB＝15，AB＝18，且则，的值为（ ）
A．192B．291C．225D．258
【答案】D
【分析】延长CO交AB于点M，过点O作OE⊥AC于E，过点O作OF⊥BC于F，利用HL证明△COE≌△COF得∠OCE=∠OCF，从而得出M是AB中点，且CM⊥AB，再根据三角形面积公式以及勾股定理分别求出的长即可求解．
【详解】解：如图，延长CO交AB于点M，过点O作OE⊥AC于E，过点O作OF⊥BC于F，
∵，AC＝BC，
∴OE＝OF，
在Rt△COE和Rt△COF中，
∴Rt△COE≌Rt△COF（HL），
∴∠OCE＝∠OCF，
又∵AC＝BC，
∴AM＝BM＝9，MC⊥AB，
∴＝＝，
∴OM＝OC，
在Rt△ACM中，AC＝15，AM＝9，
∴，即CM＝12（负值舍去），
∴OC＝8，OM＝4，
∴，
∴，
∴的值为258．
故本题选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得，然后计算，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，
∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，
∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，
∴∠BAI=∠DAC，
∴△ABI≌△ADC（SAS），
∴∠AIB=∠ACD，
∵∠CNI=∠CAI=90°，
∴BI⊥CD，
故①正确；
∵S△ACD=S△AIB=×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，
∴S1：S△ACD=2：1，
故②正确；
∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S1-S4=S3-S2，
故③正确；
S1-S4=S3-S2，
，
∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ= AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，
，，
∵AB2=AC2+ BC2，，
，
即，
，
∴S1•S4=S2•S3，
故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的条件，勾股定理的运用，完全平方公式的变形．
10．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．在中，已知，是边上的高，，，则__．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出的长，再根据三角形的面积，即可求出的长．
【详解】∵是直角三角形
∴
∴
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，三角形的面积公式．
12．如图所示，△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分补角∠ACD．若交AC于M，CE＝8cm，CF＝6cm，则EM的长为__cm．
【答案】5
【分析】先根据角平分线的定义求出∠ECF=90°，根据勾股定理求出EF的长度，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF，最后根据等角对等边，即可得EM=CM=FM，即可求解．
【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分补角∠ACD，
∴∠MCE=∠BCE=∠ACB，∠FCM=∠FCD=∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=(∠ACD+∠ACD)=90°，
根据勾股定理可得：cm，
∵，
∴∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠FCD，
∴∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF，
∴EM=CM=FM，
∴EM=EF=5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角三角形的判定，熟练掌握相关内容是解题的关键．
13．如图，小李将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，此时绳子末端距离地面1m，则绳子的总长度为 ___________m.
【答案】13
【分析】设旗杆高为，则，过点E作，则四边形是矩形，得到，，在直角三角形中，根据勾股定理计算即可．
【详解】如图，设旗杆高为，则，
过点E作，
则四边形是矩形，
所以，，
在直角三角形中，
，
解得，
故绳子长为13m，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定，勾股定理是解题的关键．
14．如图：已知在中，，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则的值等于__________（结果保留）．
【答案】
【分析】先由勾股定理可得： 再利用，然后整体代入求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴
即：
故答案为：
【点睛】本题考查的是半圆的面积的计算，勾股定理的应用，掌握利用勾股定理是解题的关键.
15．如图，，，，是四根长度均为的火柴棒，点A，C，E共线．，若，则线段的长度是___________．
【答案】##8厘米
【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分别为G、H，利用AAS证明△BCG≌△CDH得到BG=CH，利用勾股定理及等腰三角形的性质求出BG=4，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分别为G、H，
∴∠BGC=∠DHC=90°，
∴∠BCG+∠CBG=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCG+∠DCH=90°，
∴∠CBG=∠DCH，
在△BCG和△CDH中，
，
∴△BCG≌△CDH（AAS），
∴BG=CH，
∵AB=BC，BG⊥AC，AC=6，
∴CG=AC=3，
∴BM=CN，
在Rt△BCG中，
由勾股定理得：BG=，
∴CH=4，
∵CD=DE，DH⊥CE，
∴CH=EH，
∴CE=CH+EH=8，
故答案为：8cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得△BCM≌△CDN是解决问题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，对角线AC与BD相交于点E，点F，G分别是AC，BD的中点，当∠CBD＝15°，EG＝EC，FG2＝3时，则线段AC的长为________．
【答案】6
【分析】先连接AG，CG，根据直角三角形的中线性质得AG=CG=BG，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得∠EGC，进而求出∠ECG，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出CF，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接AG，CG，
∵△ABD与△BCD均是BD为斜边的直角三角形，
∴AG＝BD，CG＝BD，即AG＝CG=BG，
∴△ACG为等腰三角形．
∵∠CBD＝15°，CG＝BG，
∴∠CGE＝2∠CBD＝30°．
∵EC＝EG，
∴∠ECG＝∠CGE＝30°．
又∵F为AC的中点，
∴GF为△ACG的中线，即AF＝CF，
∴由“三线合一”知，即∠GFC＝90°，
∴CG＝2FG．
∵，
∴，
由勾股定理得：，即CF＝3，
∴AC＝2FC＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的外角性质等，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
17．如图，中，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以D，E为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边于点G，点P为边上的一动点，则的最小值为______．
【答案】##
【分析】根据基本作图得到AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AB于H，如图，则根据角平分线的性质得到GH＝GC，利用勾股定理计算出AB＝5，再利用面积法求出GH，然后根据垂线段最短解决问题．
【详解】解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AB于H，如图，
∵∠C=90°，即GC⊥AC，
∴∠C=90°=∠AHG，
∴GH＝GC，
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
∵，
∴，
∴GH＝GC，
∴5GH+4GH＝12，
∴，
∵点P为边AB上的一动点，
当GP⊥AB时，G点到AB的距离最短，即GP最小，即为，
∴GP的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图—角平分线，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等等，解题的关键在于能够根据题意得到AG平分∠BAC．
18．如图，，，，和交于点，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论：①；②；③；④只有当时，，其中正确的有____．（填序号）
【答案】①②④
【分析】先由，得出，再利用证明，故①正确；由“”可证，得出，进而得出，由勾股定理得出②正确；利用特殊位置可判断，故③错误；由“”可证，可得，故④正确，即可求解．
【详解】解：①，，
，，
在和中，
，
，故①正确；
②由①知，
，，
，
．
，，
．
在与中，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，故②正确；
当点是的中点时，即点与点重合，
在中，，，
，故③错误；
当时，
则，
又，，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（10小题，共64分）
19．如图，在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，AD⊥BC，垂足为D，
(1)求BC的长；
(2)求AD的长．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）利用的面积列式计算即可得解．
（1）
解：在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，
∴BC=；
（2）
解：∵AD⊥BC，∠BAC=，AB=3，AC=4，BC=5，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，是基础题，难点在于（2）利用同一个三角形的面积的两种不同表示列出方程．
20．等腰三角形有“三线合一”的重要性质，勾股定理是古今中外著名的定理，试用这两个定理或其中的一个定理解答：如图，中，，，
(1)求的面积；
(2)若D是的中点，于E，求出DE的长．
【答案】(1)的面积为12；
(2)．
【分析】（1）过A作于F，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；
（2）连接，由于AD=BD，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出的长．
（1）
解：过A作于F，
中，，，，则；
中，；
由勾股定理，得；
∴；
（2）
解：连接，
∵D是的中点，
∴；
∵，即．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．
21．如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A处发现在自己左上方距离顶端2厘米B处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离．
【答案】蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为10厘米．
【分析】将圆柱体展开，作点B关于圆柱顶的对称点，连接，与圆柱顶交于点D，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】将圆柱体展开，作点B关于圆柱顶的对称点，连接，与圆柱顶交于点D，
根据题意可得，
∵玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，
∴厘米，厘米，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∵，
∴厘米．
∴蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为10厘米．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意正确画出图形，利用勾股定理求解．
22．若的三条边长分别为a，b，c，满足，试说明为直角三角形．
【答案】见解析
【分析】将原式因式分解可得到 ，进而得出 ，再利用勾股定理的逆定理即可证明出是直角三角形．
【详解】证明：
移项得： ，
变形得： ，
因式分解得： ，
，
解得： ．
是 的三条边，且满足 ，
即 ，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了配方法的应用、勾股定理的逆定理、非负数的性质，解决本题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理作出证明．
23．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．
【答案】(1)475米
(2)1000米，米
【分析】（1）根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．则AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值为B．
（1）
解：如图1，
此时AQ＝BQ．
设CQ＝x，则DQ＝800﹣x，
∴，
解得x＝475，
即CQ的长为475米；
（2）
解：如图2，
作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．
则AP＝P，
AP+BP＝P+BP，
PA+PB的最小值为=1000米．
∵，
∴，
∴，
∴CP＝＝＝（米），
即CP的长度为米．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，作图﹣应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q、P的位置是本题的关键．
24．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端离地面0.6m，当秋千荡到AB的位置时（AB=AB/)，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．（秋千静止时与地面垂直）
【答案】4m
【分析】设秋千AB的长为x，，可得，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设秋千AB的长为x，
离地面0.6m，当秋千荡到AB的位置时距地面1.4m，
，
，
根据勾股定理得：
即，
解得：，
答：秋千AB的长为4m．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据勾股定理得出相应的方程是解本题的关键．
25．如图BE⊥CD，AB＝AD，AC＝AE，过A点作AG⊥DE于G，延长GA交BC于F，
(1)求证：F为BC中点；
(2)若AF＝12.5，AE＝15，求△ADE的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)150．
【分析】（1）证明△ADE≌△ABC （SAS），可得∠DEA＝∠BCA，再证明FC＝FA，然后根据直角三角形两个锐角互余证明FB＝FA，进而可以解决问题；
（2）由△ABC≌△ADE知：DE＝BC＝25，利用勾股定理可得AD＝20，进而可以解决问题．
（1）
证明：∵BE⊥CD，
∴∠DAE＝∠DAB＝∠BAC＝∠CAE＝90°，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC （SAS），
∴∠DEA＝∠BCA，
∵AG⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AED＋∠ADE＝∠DAG＋∠ADE＝90°，
∴∠AED＝∠DAG，
∵∠DAG＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴FC＝FA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAC＋∠BAF＝∠FCA＋∠FBA＝90°，
∴∠BAF＝∠FBA，
∴FB＝FA，
∴FB＝FC，
∴F是BC的中点；
（2）
解：∵F为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AF＝BC，
∴BC＝2AF＝25，
由△ABC≌△ADE知：DE＝BC＝25，
∵AE＝15，∠DAE＝90°，
∴，
∴＝×AD•AE＝×20×15＝150．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26．已知，在中，，，点是边上的一点（不与点，重合），连接．
(1)如图1，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，；
(2)如图2，点，都在线段上，且．试猜想线段，，之间满足的数量关系，并证明结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合，证明，根据全等三角形的性质，得出，，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，进而即可得出结论；
（2）根据题意，结合，证明，根据全等三角形的性质，得出，再根据勾股定理，得出，再根据等量代换，即可得出结果．
（1）
证明：∵，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，
∴ ，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：，理由如下：
∵将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形两锐角互余、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
27．在中，，，P为线段上一动点．
(1)如图1，点D、E分别在、上（点D不与点A重合），若P运动到的中点，且．
①求证：．
②若，，求的长．
(2)如图2，点F在上，且，过点F作，垂足为H，若，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)的值不变，
【分析】（1）①如图1中，连接，根据等腰直角三角形的判定与性质证明，即可证明；
②利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论；
（2）的值不变，．如图2中，作，垂足为Q，证明，推出，可得结论．
（1）
①证明：如图1中，连接，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵P为中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：如图1中，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）
解：PH的值不变，PH=4．
理由：如图2中，作，垂足为Q，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是定值．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
28．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
(1)如图，在中，，且，请你在图中用尺规作图作出的一条“等分积周线”；
(2)在图中，过点能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法若不能，请说明理由．
(3)如图，四边形中，，垂直平分，垂足为，交于点，已知，，求证：直线为四边形的“等分积周线”；
(4)如图，在中，cm，cm，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不能，理由见解析
(3)见解析
(4)图及理由见解析
【分析】（1）作线段的中垂线即可得出答案；
（2）若直线平分的面积，那么，得出，进而得出答案；
（3）根据勾股定理可得出：，进而得出，，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
（4）在上取一点，使得，在上取一点，使得，作直线，则是的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．
（1）
解：如图所示：作线段的中垂线，
∵，
∴AD=CD，
∴AB+AD=BC+CD，
∵，
∴，
∴直线BD是的一条“等分积周线”；
（2）
不能，
理由：如图，若直线平分的面积，那么，
，
，
，
过点不能画出一条“等分积周线”
（3）
如图3，连接、，设，
垂直平分，
，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，
所以，，
，
∴，
∵
∴，
，，
，
直线为四边形的“等分积周线”；
（4）
如图，在上取一点，使得cm，在上取一点，使得cm，
作直线，则是的“等分积周线”，
理由：由作图可得：cm，
在上取一点，使得cm，
则有，
，
，
在和中
≌（SAS），
，
∵EG=6-2-2=2cm，
∴cm，
，
，
cm，
是的“等分积周线”，
若如图，当cm，cm时，
直线也是的“等分积周线”．其实是同一条，
【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意正确分割图形是解题关键．
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