高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教学设计，共8页。教案主要包含了探究新知，典例解析，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。


本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值
学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。
函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。。
重点：求函数极值
难点：函数极值与导数的关系
多媒体
运用“问题探究式”“观察发现式”“讨论式”的教学方法，本节课在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过生活实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的极值定义及利用导数求极值的方法。让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输。为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。
课程目标
学科素养
A.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.
B．初步掌握求函数极值的方法．
C．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．
1.数学抽象：求函数极值的方法
2.逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系
3.数学运算：运用导数求函数极值
4.直观想象：导数与极值的关系
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
温故知新
1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
f ′(x)＜0
单调递____
增 ;减
2．判断函数y＝f (x)的单调性
第1步：确定函数的______；
第2步：求出导数f ′(x)的____；
第3步：用f ′(x)的____将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
定义域 ;零点 ;零点 ;正负
二、探究新知
探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?
放大t=a附近函数ℎ(t)的图像,如图，可以看出，ℎ'a=0;在t=a的附近，当t0;当t>a时，函数ℎ(t)单调递减，ℎ't<0.这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t0）后减（当t>a时，ℎ't<0）这样，当t在a的附近从小到大经过a时，ℎ't先正后负，且ℎ't连续变化，于是有ℎ'a=0.
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
以a，b为例进行说明.
探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？
（1）函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点附近其他点的函数值都小，而且在x=a点附近的左侧f'x<0，右侧f'x>0;
（2）函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点附近其他点的函数值都大，而且在x=b点附近的左侧f'x>0，右侧f'x<0.
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_______，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，_____叫做函数y＝f (x)的极小值．
0 ;f ′(x)＜0;f ′(x)＞0;f (a)
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_______，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，______叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为_____．
0 ;f ′(x)＞0;f ′(x)＜0;f (b);极值点 ;极值
1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，
在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
三、典例解析
例5. 求函数fx=13x3−4x2+4的极值.
解：因为 fx=13x3−4x2+4 的定义域为R，所以
f'x=x2−4 =(x+2)(x−2)
令f'x=0,解得：x1=−2,x2=2
当x变化时，f'x， fx，的变化情况如下表
因此，当x=−2时，fx有极大值，极大值为f−2= 283;
当x=2时，fx有极小值，极小值为f2=- 43.
函数fx=13x3−4x2+4的图像如图所示.
问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？
一般地，求函数y＝fx的极值的步骤
1求出函数的定义域及导数f′x；
2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；
3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
4由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
问题2：导数为0的点一定是极值点吗？
[提示] 不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，
但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．
所以，当f ′(x0)＝0时，
要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，
还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．
跟踪训练1 求下列函数的极值：
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2.
[解] (1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，3)
3
(3，5)
5
(5，＋∞)
y′
＋
0
＋
0
－
0
＋
y
↗
无极值
↗
极大值
108
↘
极小值0
↗
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.
温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的极值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。
通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。
通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。
三、达标检测
1.函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，
则下面结论错误的是( )
A．在(1，2)上函数f (x)为增函数
B．在(3，4)上函数f (x)为减函数
C．在(1，3)上函数f (x)有极大值
D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点
D [由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，∴x＝2是函数f (x)的极大值点，
x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]
2．设函数f (x)＝xex，则( )
A．x＝1为f (x)的极大值点
B．x＝1为f (x)的极小值点
C．x＝－1为f (x)的极大值点
D．x＝－1为f (x)的极小值点
D [令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0.故当x＝－1时，f (x)取得极小值．]
3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]
4．已知函数f (x)＝2ef ′(e)ln x－eq \f(x,e)，则函数f (x)的极大值为______．
2ln 2 [f ′(x)＝eq \f(2ef′e,x)－eq \f(1,e)，故f ′(e)＝eq \f(2ef′e,e)－eq \f(1,e)，
解得f ′(e)＝eq \f(1,e)，所以f (x)＝2ln x－eq \f(x,e)，f ′(x)＝eq \f(2,x)－eq \f(1,e).
由f ′(x)＞0得0＜x＜2e，f ′(x)＜0得x＞2e.
所以函数f (x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，
故f (x)的极大值为f (2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2.]
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值 ．
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。