人教A版（2019）高中数学选修二讲义04 数列求和问题

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数列求和问题学习目标掌握五种基本的数列求和方法并能求解指定数列的前n项和．一、 分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.经典例题1. 已知数列 是等差数列，且（ 1 ）求数列 的通项公式．，．（ 2 ）若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的前 项和 ．2. 已知数列 满足：，，为奇数为偶数，则数列 的前 项和．巩固练习1. 已知公差不为零的等差数列 中，（ 1 ）求数列 的通项公式．，且 ， ， 成等比数列．（ 2 ）设 ，求数列 的前 项和 ．12. 已知数列 为递增的等比数列，（ 1 ）求数列 的通项公式．，．（ 2 ）记 ，求数列 的前 项和 ．3. 已知数列 中，为正偶数为正奇数，设 的前 项的和为 ，则．二、 错位相减法求和错位相减法的使用前提若数列 是公差不为 的等差数列，数列 是公比不为 的等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列 ，当求该数列的前 项和时，常常采用将 的各项乘以公比 ，并向后错位一项与的同次项对应相减，即转化为特殊数列的求和问题，所以这种数列求和的方法称为错位相减法.错位相减法的具体步骤记 ，则求和步骤为：步骤一：乘公比将上式两边同时乘以等比数列的公比 ，得到：步骤二：错位比较两式中的元素，将其幂指数对齐，得到：①②．步骤三：相减①-②得到：，括号内的部分是等比数列的前 项和，进一步计算得到：经典例题1. 已知单调递增的等比数列 满足 ，且 是 ， 的等差中项．（ 1 ）求数列 的通项公式；（ 2 ）设 ，求数列 的前 项和 ．2. 设数列 满足 ， ；数列 的前 项和为 ，且 ．（ 1 ）求数列 和 的通项公式．（ 2 ）若 ，求数列 的前 项和 ．巩固练习1. 已知数列 中， ， ．（ 1 ）（ 2 ）求数列 的通项公式．求数列 的前 项和．2. 已知数列 的前 项和（ 1 ）确定常数 ，并求 ．(其中)，且 的最大值为 ．（ 2 ）求数列 的前 项和 ．三、 裂项相消法求和（1）裂项相消法的基本思想是将数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，进而求得数列的前 项和．（2）裂项相消法的难点有两个：一是如何对数列的通项公式进行拆解，使之成为有规律的两项之差；二是理清抵消的规律，准确判断消去项与保留项．常见的裂项技巧① （ 是等差数列，且 ）② （ 是等差数列，且 ）③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧经典例题1. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 的前 项和为（ ）．A. B. C. D.2. 已知数列 ，求它的前 项和 ．3.公差不为零的等差数列 的首项为 ，且 ， ， 依次构成等比数列，则对一切正整数 ，的值可能为（ ）．A. B. C. D.4. 已知 ，求它的前 项和 .5. 数列 的通项公式为，则这个数列的前 项和．巩固练习1. 已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 项和为( )A. B. C. D.2. 设数列 满足： ， ．求数列 的前 项和 ．3. 已知数列 ， ，则 （ ）．A. B. C. D.4. 已知数列 ，求 前 项和 ．5. 数列 的通项公式 ，它的前 项和为 ，则 （ ）．A. B. C. D.6. 记数列 的前 项和为 ，已知点（ 1 ）求数列 的通项公式．在函数的图象上．（ 2 ）设 ，求数列 的前 项和．7. 数列 满足 ，对任意 都有 ，则 ( )A. B. C. D.四、 倒序相加法倒序相加法求和的使用前提如果一个数列 的前 项中首末两段等“距离”的两项之和相等或等于同一个常数，即满足，则此数列的前 项和可以用倒序相加法求得．即在使用倒序相加法之前，要验证数列是否满足上述条件．倒序相加法求和的步骤若数列 满足 （ 为常数），下面我们利用倒序相加法求其前 项和：，将 各项倒序重新排列，得：，将上面两式相加得到：进而得：经典例题已知 ，数列 满足 ，则．巩固练习已知，则实数的值为 ．五、 并项求和法求和在一个数列的前 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 ，可采用两项合并求解.例如:经典例题1. 数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （ ）．A. B. C. D.2. 已知函数 ，且 ，则 ．巩固练习1. 若，则数列 的前 项和．2. 已知数列 中， ， ；数列 的前 项和 ．（ 1 ）求数列 ， 的通项公式．（ 2 ）求数列 的前 项和．思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测1. 数列 且为奇数 ，若 为数列 的前 项和，则为偶数．2. 已知等差数列 的前 项和 满足（ 1 ）求 的通项公式；．（ 2 ）求数列 的前 项和．3. 设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ．已知 ， ， ，（ 1 ）．求数列 ， 的通项公式．（ 2 ）当 时，记 ，求数列 的前 项和 ．学习目标掌握五种基本的数列求和方法并能求解指定数列的前n项和．六、 分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.经典例题巩固练习七、 错位相减法求和错位相减法的使用前提若数列 是公差不为 的等差数列，数列 是公比不为 的等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列 ，当求该数列的前 项和时，常常采用将 的各项乘以公比 ，并项后错位一项与的同次项对应相减，即转化为特殊数列的求和问题，所以这种数列求和的方法称为错位相减法.错位相减法的具体步骤记 ，则求和步骤为：步骤一：乘公比将上式两边同时乘以等比数列的公比 ，得到：步骤二：错位比较两式中的元素，将其幂指数对齐，得到：①②．步骤三：相减①-②得到：，括号内的部分是等比数列的前 项和，进一步计算得到：经典例题巩固练习八、 裂项相消法求和（1）裂项相消法的基本思想是将数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，进而求得数列的前 项和．（2）裂项相消法的难点有两个：一是如何对数列的通项公式进行拆解，使之成为有规律的两项之差；二是理清抵消的规律，准确判断消去项与保留项．常见的裂项技巧①（ 是等差数列，且）② （ 是等差数列，且 ）③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧经典例题巩固练习九、 倒序相加法倒序相加法求和的使用前提如果一个数列 的前 项中首末两段等“距离”的两项之和相等或等于同一个常数，即满足，则此数列的前 项和可以用倒序相加法求得．即在使用倒序相加法之前，要验证数列是否满足上述描述条件．倒序相加法求和的步骤若数列 满足 （ 为常数），下面我们利用倒序相加法求其前 项和：，将 各项倒序重新排列，得：，将上面两式相加得到：进而得：经典例题巩固练习十、 并项求和法求和在一个数列的前 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 ，可采用两项合并求解.例如:经典例题巩固练习思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测11