人教A版（2019）高中数学选修二讲义03 数列求通项问题

这是一份人教A版（2019）高中数学选修二讲义03 数列求通项问题，文件包含数列求通项问题教师版docx、数列求通项问题学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共45页， 欢迎下载使用。

数列求通项问题课堂目标1．掌握根据数列的递推公式求解数列的通项公式几种模型及求解步骤．2．掌握利用数列的前 项和求通项的方法步骤．3．掌握利用构造法求通项的几种类型并会求解．【备注】1．重点是掌握利用公式法、累加法、累乘法及构造法求解数列的通项公式;难点是利用构造法求解数列的通项公式．2．关联知识:等差数列、等比数列、数列求和．一、 公式法求数列的通项公式等差数列的通项公式： 或等比数列的通项公式： 或经典例题1.已知数列（ 1 ）求是一个等差数列，且的通项 ( 2 )Sn最大值，．【备注】本题考查等差数列的通项公式【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．【解析】（ 1 ）方法一： ，方法二：设 的公差为 ，由已知条件，，∴．，解出，．所以 ．（ 2 ）方法一：方法二：，∴时 最大值为 ．．所以 时， 取到最大值 ．【标注】【知识点】求等差数列前n项和的最值2. 等比数列 中， ， ，则数列 的通项 ．【备注】本题考查等比数列的通项公式【答案】【解析】【标注】，【知识点】等比数列求通项问题，解得，故．巩固练习已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ， ，则 等于（ ）．A. B. C. D.【答案】C【解析】因为 ， ，所以 ， ，因为 ，所以 ， ．【标注】【知识点】等比数列求通项问题二、 累加法形如,可求和求解方法:将递推公式变形为 ，对 进行连续赋值，可以得到：，，，……，．将上面 个等式左右分别叠加，得到：左边：右边：故，即．若 部分可以求出，那么就可以得到数列 的通项公式．这种求通项的方法叫做 累加法（叠加法） ，适用于 ．【备注】在用累加法求解的过程中，重点在于等号右边采取什么样的求和方法，是等差数列的求和、等比数列的求和、还是后面会讲到的分组求和、错位相减求和、裂项相消求和．经典例题1. 已知数列 中， ， （ ），求 的通项公式．【备注】本题是对上述累加法求通项的直接考查，题目中的式子通过变换后可得： ，右侧为等差数列求和【答案】 ．【解析】 时，由 ，得 ，于是，时， 满足上式，∴【标注】．【知识点】利用累加法求数列通项公式问题2. 已知数列 的首项为 ， 为等差数列，且 ，若 ， ，则．【备注】本题首先根据数列 是等差数列,求得数列 的首项与公差,再根据 形式,采用累加法求解即可【答案】【解析】因为为等差数列，，，所以公差 ，首项 ，∵ ，∴，数列 前 项和为 ，．故答案为： ．【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题；递推数列与递推方法巩固练习1. 在数列 中， ， ，则 = ．【答案】【解析】.【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题2. 已知数列 满足 ，且 （ ），求 ．【答案】 ．【解析】由题意知： ， ，…， ，各式两边分别相加得： ，于是 ，此式对 也成立，故 ．【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题三、 累乘法形如，可求和求解方法:将递推公式变形为 ，对 进行连续赋值，可以得到：，，，……，．将上面 个等式左右分别叠乘，得到：左边 ： ．右边： ． 故 ，即，若部分可以求出，那么就可以得到数列的通项公式．这种求通项的方法叫做 累乘法（叠乘法） ，适用于 ．【备注】这里要为学生说明，等式 中， 代表连续求积的意思，学生理解即可.经典例题1. 已知数列 满足 ，且 ，则 ．【备注】此题为累乘形式；所以采用累乘法求解【答案】【解析】由已知得 ， ， ， ， ， ，所以有，所以答案应为：．【标注】【知识点】利用累乘法求数列通项公式问题2. 已知数列 中， ，其中 ，求 ．【备注】在用累乘法求解的过程中，重点在于等号右边每项的分子分母是否可以依次序约分，当右边每项的分子分母数值相隔 ，且 时，会出现错位约分的情况，运算结果也会出现前面有t项后面有t项无法约分而保留的情况．【答案】【解析】【标注】【知识点】利用累乘法求数列通项公式问题巩固练习已知数列 满足： ， ，求数列 的通项公式．【答案】【解析】利用等式，求通项公式．法一：.∴ .法二：由 得： ( 且 )∴又当时，符合上式，∴【标注】.【知识点】利用累乘法求数列通项公式问题四、 构造法1. 形如（且满足）若数列 满足递推公式 ，则求通项公式的步骤为：①利用待定系数法，将递推公式变形为 ，此时 ；②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式等价于；③因此数列是公比为 的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式．经典例题已知数列（ 1 ）证明满足，是等比数列，并求．的通项公式．（ 2 ）证明:Sn<1.【备注】本题符合 （ 且满足 ）的形式，需要构造 为等比数列【答案】（ 1 ）证明见解析，（ 2 ）证明见解析．．【解析】（ 1 ）∵ ，∴可变形为 ．即 ．∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列，∴ ．（ 2 ）由（ ）可知 ，∴．∴．∵ ，∴【标注】．【知识点】裂项相消法求和；等比数列的判定与证明巩固练习已知数列（ 1 ）求证：满足，且是等比数列（ 2 ）求an.，．【答案】（ 1 ）见解析（ 2 ）【解析】（ 1 ）证明：由已知得：，因为 ，所以 ，所以（ 2 ）解：由 知，是以 为首项， 为公比的等比数列．是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 ．【标注】【知识点】等比数列的判定与证明；构造数列求通项2. 形如 （ 且满足 ）若数列 满足递推公式 ，则求通项公式的步骤为：①将递推公式两边同时除以 ，变形为②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式变形为③若 ，即 ，此时 为 等差数列 或为可用 累加法 求解通项的数列，则 通项公式可求，进而求得 的通项公式；④若 ，则利用待定系数法，将递推公式变形为 ，此时 ；⑤设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式等价于 ；⑥因此数列 是公比为 的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，进而求出数列 的通项公式，最终求出数列 的通项公式．经典例题1. 已知 ， ，求 的通项公式．【备注】本题符合上述讲解中提到的 的情况，需要构造等比数列.【答案】【解析】是等比数列，∴ ，∴【标注】【素养】数学运算【方法】构造法【知识点】构造等比数列求通项2. 已知数列 满足 , ，求数列 的通项公式．【备注】本题由于 ，即 ，观察可利用累加法求解 的通项公式.【答案】【解析】．两边除以，得，则 ，故累加得 ，则【标注】．【知识点】利用累加法求数列通项公式问题3.已知数列（ 1 ）设中， ，，证明数列．是等差数列，并求数列的通项公式．（ 2 ）求Sn【备注】本题 ，即 ，通过构造 为等差数列【答案】（ 1 ）证明见解析； ．（ 2 ）【解析】（ 1 ）将．的两边同时除以，可得，即，又 ，故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，则 ．（ 2 ） ，①则 ，②①②相减得：，所以 ．【标注】【知识点】错位相减法求和；等差数列求通项问题；等差数列的判定（涉及新数列构造）4. 已知数列 满足 ， ．（ 1 ）判断数列 是否为等差数列，并说明理由．( 2 )求Sn【备注】本题针对上面的题型进行了变形;右侧等式加了一个常数项;所以虽然 ,但是通过构造,数列为等差数列【答案】（ 1 ）是，证明见解析．（ 2 ）．【解析】（ 1 ）∵ ，，∴数列 为公差为 的等差数列．（ 2 ）∵ ，∴ ，由（ ）可得：，∴ ，∴．【标注】【知识点】分组法求和巩固练习1. 已知数列 中， ， ， ，求数列的通项 ．【答案】 ．【解析】设 ，，则 ，【标注】，．【知识点】通项公式；等比数列的判定与证明；等比数列求通项问题2.在数列（ 1 ）设中，，，证明：数列．是等差数列．（ 2 ）求Sn的值.【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）【解析】（ 1 ）∵．等式两边同时除以 ，∴ ，∴ ，即 ，而 ，∴ ，∴（ 2 ）∵是等差数列．，∴，∴ ，∴ ，即 ，∴①，②，① ②得：，∴【标注】．【知识点】错位相减法求和3.在数列 中，（ 1 ）求证：数列，为等差数列；． （ 2 ） 求bn的值 【答案】（ 1 ）见解析（ 2 ）见解析【解析】（ 1 ）证明：(与 无关)，故数列为等差数列．（ 2 ）解：由 可知， ，故 ，所以【标注】【知识点】等差数列的判定（涉及新数列构造）3.．形如 （ ）若数列 满足递推公式 ，则求解步骤为：①两边取倒数法： ，②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式变为 ：③若 ，则 ，此时 为 等差数列 或为可用 累加法 求解通项的数列，则 通项公式可求，进而求得 的通项公式；④若 ，则利用待定系数法，将递推公式变形为 ，此时 ；⑤设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式等价于 ；⑥因此数列 是公比为 的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，进而求出数列 的通项公式，最终求出数列 的通项公式．经典例题1. 已知数列 满足： ， ．（ 1 ）求证：数列 是等比数列．（ 2 ）求an.【备注】本题考察的是变形后 的形式，需要构造等比【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ） ．【解析】（ 1 ）因为，又因为 ，所以 是等比数列．（ 2 ） ，．【标注】【知识点】数列与不等式综合；等比数列的判定与证明2. 数列 中， ，求 ．【备注】本题为以下情况：取倒数后，若 ，即 ，此时 为等差数列或为可用累加法求解通项的数列，则 通项公式可求，进而求得 的通项公式.【答案】 ．【解析】∴∴【标注】【知识点】利用累加法求数列通项公式问题3. 已知数列 满足（ 1 ）试判断数列，是否为等差数列，并求数列．的通项公式．【备注】这类题型的题干是“ （ 且满足 ）”的变形，等号两边同除【答案】（ 1 ）（ 2 ）证明见解析．．【解析】（ 1 ） ，，，，，，即 等差，，，，∴ 通项为 ．（ 2 ），下证 ，显然成立．∴成立．【标注】【知识点】裂项相消法求和；放缩法证明数列不等式巩固练习1. 已知数列满足，，（）．（ 1 ）证明：数列（ 2 ）求数列为等比数列．的前 项和．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）．【解析】（ 1 ）∵ ，∴ ，∴ ，又∵ ，∴（ 2 ）由（ ）知是以 为首项, 为公比的等比数列．，∴ ，∴故其前 项和为 ，∴数列 的前 项和为： ．【标注】【知识点】分组法求和；等比数列的判定与证明2. 已知数列 中， ， ，则数列通项 ．【答案】【解析】,是以 为首项，以 为公差的等差数列，,【标注】.【知识点】构造等差数列求通项4. 形如 （ 且满足 ）若数列 满足递推公式 ，求通项的步骤：①可变形为 ，与原递推公式比较可得方程组 ，②若方程组有实数解，则 是公比为 的等比数列，通项公式可求，进而转化为 与的递推公式．③若方程组无实数解，则为周期数列，利用题目给出的条件求出后续项可发现陷入循环．【备注】①对于方程组无解的情况，为何方程组无实数解会导致是周期数列，后期我们学习了复数之后再深度研究．②若递推公式 与 、 呈现线性关系，则我们采取方程组法来构造等比数列，再根据求解后 与 的递推公式的具体形式，选择针对性的方法解决问题．经典例题已知数列 中， ， ， ．（ 1 ）求证：数列（ 2 ）求数列是等比数列．的通项公式．【备注】本题考查的是上述类型变形后可以构造等比的情况,，在第一问中题目已给提示，可构造为等比数列.【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ） ．（ 3 ） ．【解析】（ 1 ）∵ ，∴ ，∴数列（ 2 ）∵，是等比数列．，∴，∴ 是以 为首项，公比为 的等比数列，∴ ，当 时，，∵ 适合上式，∴ ．（ 3 ）∵ ，∴ ，∴，∵，又∵ 在 上恒成立，所以 ，解得 ．【标注】【知识点】裂项相消法求和；数列中的恒成立问题巩固练习1. 数列（ 1 ）记满足：， ，，求证：是等比数列．．（ 2 ）求数列 的通项公式．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）．【解析】（ 1 ）∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，且 ，∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列．（ 2 ）由（ ）可知 ，所以，，，，以上式子相加，所以，∴，经检验， 时，符合，∴【标注】．【知识点】利用累加法求数列通项公式问题；等比数列的判定与证明2. 已知数列 满足 ， ， ．（ 1 ）求证：（ 2 ）求是等比数列．的通项公式．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）【解析】（ 1 ）已知数列．满足，则有 ，即 ，又由 ， ，则 ，则数列 以 为首项， 为公比的等比数列．（ 2 ）有（ ）有结论，数列 以 为首项, 为公比的等比数列，则 ，变形可得： ，又由 ，则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，则 ；即 的通项公式为 ．故答案为： ．【标注】【知识点】等比数列的判定与证明；构造等比数列求通项5. 形如 （ 且满足 ）若正项数列 满足递推公式 ，则求通项公式的步骤为：①两边取对数： ；②设数列 ，则 ，求出 ，此时递推公式变为 ；③所以数列 是以 为公比的等比数列，可根据等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，最终求出数列 的通项公式．【备注】若递推公式 与 呈现幂函数的关系，则我们采取取对数法来构造等比数列解决此类问题．经典例题1. 各项为正的数列 中， ， ，求 的通项公式．【备注】本题是对上述情况的直接考查【答案】见解析．【解析】对递推式两边取常用对数，得： ，设 ，则 ，故 是以 为首项， 为公比的等比数列，【标注】【知识点】通项公式，所以．2. ， ，求 的通项公式．【备注】本题是需要进行一步构造然后再取对数【答案】 ．【解析】，∴ ．，故 为等比数列，则 ，即 ，所以， ．【标注】【知识点】构造等比数列求通项巩固练习若数列 中， 且 （ 是正整数），则数列 的通项公式是 ．【答案】【解析】由题意知，将 两边取对数得 ，即 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以【标注】，即【知识点】构造等比数列求通项．五、 根据数列的前n项和求解数列的通项公式由 ，得 ，两式相减可以得出一个关于数列的通项公式与前 项和的重要关系式：利用这个关系式，可以在已知通项与前 项和之间关系（或前 项和与项数之间关系）的情况下求出数列的通项公式．注意：通过数列的前 项和求解数列的通项公式，重点在于所求的 是否满足 时所求的通项公式，如果满足则将 合并于通项公式，如果不满足则将数列的通项公式写成分段函数的形式．经典例题1. 已知数列 的前 项和 ，求 ．【备注】本题是对上述求解过程的直接考查；本题要注意的是第一项不符合其他项的通项公式，需要分开写【答案】 ．【解析】 ； ，故 ．故答案为： ．【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项2. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．（ 1 ）证明：数列 为等比数列．【备注】本题是对上述求解过程的直接考查【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）【解析】（ 1 ）数列．的前 项和为 ，且 ①．当 时，解得： ，当 时， ②．① ②得： ，整理得： （常数），所以：数列（ 2 ）由于：数列是以是以为首项， 为公比的等比数列．为首项, 为公比的等比数列，故： ，所以：，所以：，【标注】．【知识点】等比数列的判定与证明；裂项相消法求和；利用Sn与an的关系求通项3. 设数列 的前 项和是 ，且 ．（ 1 ）求证：数列 为等差数列．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ） ．（ 3 ）证明见解析．【解析】（ 1 ）当 时， ，即 ，即 ，当 时， ，又 ，两式相减可得 ，①将上式中的 换为 ，可得 ，②① ②可得 ，所以数列（ 2 ）设数列为首项为 的等差数列．的公差为 ，则 ， ，由于数列 也为等差数列，可得 ，即 ，解得 ，则 ， ，则 ．（ 3 ）由 ，且 恒成立，又 ，可得 ，整理可得 ，解得 ，由于 ，且 ，因此存在唯一的正整数 ，使得不等式 成立．【标注】【知识点】等差数列的判定（涉及新数列构造）；数列中的恒成立问题；数列的极限4.正数数列（ 1 ）的前 项和为 ，且的通项公式．，求【备注】有些题目通过数列的前 项和求解数列的通项公式的过程中，并不能直接求出数列的通项公式，而是转化为 与 的递推公式，此时需要根据数列的递推公式求解数列的通项公式的方法来找到 时的数列的通项公式，再结合 给出最终的通项公式．具体逻辑： →递推公式→【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．【解析】（ 1 ）根据题意，数列满足，当 时，有 ，解可得 ，将 两边平方得 ①，时， ②，① ②可得， ，变形可得： ，又由数列 为正数数列，则 ，则有 ，∴数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，∴有 ．（ 2 ） ，则，则 ，易知 随着 的增大而增大，则当 ，取最小值 ，则 ，故 ．【标注】【知识点】裂项相消法求和巩固练习1. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．（ 1 ）求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析.．【解析】（ 1 ）已知数列 满足 ，所以 ， 即 ，所以有 ，当 时， ，故 ，所以数列 是一个以 为首项， 为公比的等比数列， ，所以 ，当 时， ，满足条件，所以 的两通项公式（ 2 ）由（ ）可知数列，．所以由 即，所以 前 项和 ，即，故 得证．【标注】【知识点】数列与不等式综合；等比数列的判定与证明；数列的函数特性2.已知数列（ 1 ）设的前 项和为 ，且，求证：数列（为等差数列，并求出数列）．的通项公式．【答案】（ 1 ）证明见解析，（ 2 ）．．【解析】（ 1 ）由已知 （ ）①，时， ②，① ②得： ，故 ，即 （ ），又 时， ，则 ，故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，∴ ．（ 2 ）由 ，得 ，【标注】．【知识点】等差数列求通项问题；等差数列的判定（涉及新数列构造）；分组法求和思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！【备注】出门测1. 记 为数列（ 1 ）证明：的前 项和，已知为等比数列．，．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ） ， ， ， 成等差数列．【解析】（ 1 ）∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ， ，∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列．（ 2 ）由（ ）知， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴【标注】，即 ， ， 成等差数列．【知识点】分组法求和；等比数列的判定与证明2. 设数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．（ 1 ）证明：数列 为等差数列．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）．【解析】（ 1 ）由 ，得 ，， ，故数列（ 2 ）由（ ）知是首项为 ，公差为 的等差数列．，则 ，当 时， ；当 且 时， ，故 的通项公式为 ．【标注】【知识点】利用Sn与an的关系求通项；等差数列的判定（涉及新数列构造）3. 已知数列 的前 项和为 ， ， ．（ 1 ）证明：数列 为等比数列．【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析．【解析】（ 1 ），又∵ ，∴数列（ 2 ）由（ ）可得，为等比数列．，∴ ，即 ，又∵ ，∴，∴得证．【标注】【知识点】等比数列的判定与证明；数列与不等式综合；数列的函数特性33