人教A版（2019）高中数学选修二讲义05 数学归纳法与数列综合

这是一份人教A版（2019）高中数学选修二讲义05 数列综合，文件包含数学归纳法与数列综合教师版docx、数学归纳法与数列综合学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共45页， 欢迎下载使用。

数学归纳法与数列综合一、 数学归纳法1. 定义与步骤数学归纳法定义一般地，证明一个正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当 时命题成立；（2）（归纳递推）以 时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题从 开始的所有正整数 都成立，这种证明方法称为数学归纳法.对数学归纳法两个步骤的认识（1）数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 ，这个数 就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“ ”；（2）数学归纳法的实质在于递推，所以从“ ”到“ ”的过程中，必须把归纳假设“ ”作为条件来导出“ ”时的命题，在推导过程中，归纳假设至少要用一次.经典例题1. 用数学归纳法证明，则从 到 时，左边所要添加的项是（ ）．A. B. C. D.2. 用数学归纳法证明： 时，第二步证明由“ 到”时，左端增加的项数是（ ）．A. B. C. D.3. 在数列 中， 且 ．（ 1 ）求出 ， ， ．（ 2 ）归纳出数列 的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．14. 已知数列 ， ， ， ， ， ，其前 项和为 ．（ 1 ）计算 ， ， ．（ 2 ）猜想 的表达式，并给出证明．巩固练习1. 用数学归纳法证明不等式“ ”时的过程中，由 到A.B.时，不等式的左边（ ）．增加了一项增加了两项C.D.增加了两项增加了一项，又减少了一项，又减少了一项2. 已知数列 满足 ， ．（ 1 ）计算 ， ， ， 的值．（ 2 ）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．3. 在数列 中， ， （ ， ）．（ 1 ）求 ， ， ．（ 2 ）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．4. 设数列 满足 ，其前 项和为 ，满足 ．（ 1 ）求 ， ， ， 的值．（ 2 ）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明．2. 用数学归纳法证明恒等式应注意的问题（1）明确初始值 的取值并验证 时等式成立；（2）由 证明 时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.经典例题证明等式：．巩固练习证明：．3. 用数学归纳法证明不等式应注意的问题（1）当遇到正整数 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由 成立，推证 时也成立；（3）用数学归纳法证明不等式，推导 的结论时，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法及放缩法等，要灵活运用.经典例题1. 若 ，求证： ．2. 观察下列式子： ， ， ，（ 1 ）由此猜想一个一般性的结论．（ 2 ）用数学归纳法证明你的结论．巩固练习1. 求证：．2. 用数学归纳法证明： ．二、 数列的单调性（1）数列的单调性的判断①根据定义判断若 ，则 是单调递增数列；若 ，则 是单调递减数列；若 ，则 是常数列.②作差法若，则是单调递增数列；若 ，则 是单调递减数列；若 ，则 是常数列.③作商法若或，则是单调递增数列；若 或 ，则 是单调递减数列；若 ，则 是常数列.（2）数列的单调性的应用利用数列的单调性可以求数列中的最大（小）值问题，常用方法有：①利用当 时， 是数列中的最大项；当 时， 是数列中的最小项来求数列的最值.②首先构造函数，然后通过作差、作商等方法来确定数列的单调性，进一步求出数列中的最值问题.数列的单调性的解题思路：①利用数列的单调性来比较相邻项之间的大小关系，从而求解；②利用数列的函数性质来找出与单调性相关的解题方法．经典例题1. 数列 的通项公式 ，则（ ）．A. 是递增数列 B. 是递减数列C. 先增后减，有最大值 D. 先减后增，有最小值2. 若 （其中 为实数）， ，且数列 为单调递增数列，则实数 的取值范围是 ．3.在数列 中，（ 1 ）讨论数列（ 2 ）求数列的单调性．的最大项．．4. 已知数列 满足 ．若 是递增数列，则实数 的取值范围是（ ）．A. B. C. D.巩固练习1. 已知数列中，，，且是递增数列，则实数 的取值范围为．2. 设 ， ，若 是单调递减数列，则 的取值范围是 ．3.已知数列 中， ， ，数列 满足（ 1 ）求证：数列（ 2 ）求数列．是等差数列．中的最大项和最小项，并说明理由．三、 奇偶项分段数列问题若数列对于数列的通项公式形如的前 项和 来说：为奇数为偶数，则称数列为奇偶项的分段数列．①当 为偶数时，则 中有 个数对，每一个数对由相邻的一个奇数项和偶数项组成，此时的，其中 为前 个奇数项的和， 为前 个偶数项的和；②当 为奇数时，则 中有 个奇数项，有 个偶数项，此时的 ，其中 为前 个奇数项的和， 为前 个偶数项的和.对于奇偶分段数列的解题技巧，可以参考下面的几种思路：①根据分段数列，逐项代入求解；②分清项数，根据奇偶进行分组求解；③重新组合，构造新数列求解．经典例题1. 在数列 中， ， ，求数列 的通项公式．2.已知数列满足为奇数为偶数，若，则 的取值范围是（ ）．A. B. C. D.3.已知数列的通项公式为为奇数，则数列为偶数前 项和 的值为 ．4. 已知数列的通项公式为为奇数为偶数 ，求数列的前 项和 ．5. 已知数列（ 1 ）求数列中，，的通项公式．，．（ 2 ）求数列 的前 项和 ．巩固练习1. 已知数列中，为正偶数为正奇数，设的前 项的和为 ，则．2. 已知数列 的首项 ，若 ， ，则 ．3.已知函数）．， 为奇数， 为偶数且，则等于（A. B. C. D.4.已知等差数列 的前 项和为 ， 为等比数列，满足 ， ， ，．（ 1 ）求数列 和 的通项公式．（ 2 ）求为奇数，设数列为偶数的前 项和为 ，求 ．四、 含绝对值的等差数列求和问题若一个等差数列既有正数又有负数，当其每一项均取绝对值后则不再是等差数列，但是这个新数列的前项和仍然可以根据原等差数列的求和公式通过变形给出.含绝对值的等差数列求和的步骤：①令 ，求出 的范围（将原数列的正负项分开）；②用原等差数列的前 项和，将新数列的前 项和表示出来（根据上述 的范围分段表示）；③求出原等差数列的前 项和，并求出前面所有正项（原数列先正后负）或所有负项（原数列先负后正）的和；④利用所求出的数值，求出新数列的前 项和．经典例题1. 数列 中， ， ，且满足 ．（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）设，求 ．2. 在公差是整数的等差数列 中， ，且前 项和 ．（ 1 ）求数列 的通项公式 ．（ 2 ）令 ，求数列 的前 项和 ．巩固练习1. 已知等差数列（ 1 ）求等差数列的前三项的和为 ，前三项的积为的通项公式．．（ 2 ）若 为递增数列，求数列 的前 项和 ．2. 数列 是公差 的等差数列，且 ， ．（ 1 ）求（ 2 ）求数列的通项公式．的前 项和 ．思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测1. 若数列 满足 ， ， ，且 ，则 （ ）．A. B. C. D.2. 数列 满足 （ ）．（ 1 ）计算 ， ， ， 并由此猜想通项 的表达式；（ 2 ）用数学归纳法证明（1）中的猜想．11