人教A版普通高中数学一轮复习27课时练习含答案

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1．如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝( )
A．30° B．45°
C．60°D．75°
B 解析：依题意可得AD＝2010 m，AC＝305 m，
又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理的推论，得cs ∠CAD＝AC2+AD2-CD22AC·AD＝3052+20102-5022×305×2010＝6 0006 0002＝22．
又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
2．(2024·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)( )
A．7 350 mB．2 650 m
C．3 650 mD．4 650 m
B 解析：如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°.
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)，
由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，
则BC＝21 00012×sin 15°＝10 500(6-2)(m)．
因为CD⊥AB，
所以CD＝BC sin 45°＝10 500(6-2)×22＝10 500(3－1)≈7 350(m)，
所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350＝2 650(m)．
3．(数学与生活)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan ∠BPC＝13．已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是( )
A．2 km B．2 km
C．3 kmD．4 km
B 解析：(方法一)由题意得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.设PD＝x km，记∠PBD＝α，∠PCD＝β，
所以tan α＝x2，tan β＝x，
所以tan ∠BPC＝tan (β－α)＝x-x21+x·x2＝xx2+2＝13，解得x＝1或x＝2.
又在Rt△PDA中，有PD＞AD，所以x＝2，即PD＝2 km.
(方法二)由题意知BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD. 设PA＝x km，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.
由tan ∠BPC＝13，可得cs ∠BPC＝31010．
在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2+5·x2+2·31010，解得x2＝3，进而PD＝PA2+1＝2(km)．
4．(多选题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(a cs C＋c cs A)＝2b sin B，且∠CAB＝π3．若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是( )
A．△ABC的内角B等于π3
B．△ABC的内角C等于π3
C．△ACD的面积为334
D．四边形ABCD面积的最大值为532＋3
ABD 解析：因为3(a cs C＋c cs A)＝2b sin B，
由正弦定理得3(sin A cs C＋sin C cs A)＝2sin B sin B，
所以sin B＝32，所以B＝π3，故A正确；
又因为∠CAB＝π3，所以∠ACB＝π3，故B正确；
S△ACD＝12×1×3sin D＝32sin D，由于角D无法确定，故C不一定正确；
在等边三角形ABC中，设AC＝x，x＞0，
在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cs D，
将DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cs D，
所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝12x·x sin π3＋12×1×3sin D＝34x2＋32sin D＝34(10－6cs D)＋32sin D＝3sin D-π3＋532，
所以当D＝5π6时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为532＋3，故D正确．
5．甲船在A处发现乙船在其北偏东60°方向上的B处，乙船正在以a n mile/h的速度向北行驶，已知甲船的速度是3a n mile/h，则甲船应沿着 方向前进，才能最快与乙船相遇．
北偏东30° 解析：如图所示，设经过t h两船在C点相遇．
在△ABC中，BC＝at，AC＝3at，B＝180°－60°＝120°.
由正弦定理BCsin∠CAB＝ACsinB，得sin ∠CAB＝BCsinBAC＝at·sin120°3at＝12．
因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°，
所以∠DAC＝60°－30°＝30°，即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
6．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的平分线交BC于点D，则AD＝ ．
2 解析：在△ABC中，由余弦定理得cs 60°＝AC2+4-62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2AC sin 60°＝12×2AD sin 30°＋12AC·AD·sin 30°，所以AD＝23ACAC+2＝23×1+33+3＝2.
7．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝2，则△BCD的面积为 ．
16 解析：设BD＝x，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x.因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以cs ∠ADC＝－cs ∠BDC，由余弦定理可得9x2+2-2-3x22×2×3x＝－x2+2-2-x22×2×x，解得x＝13，故AD＝1，AC＝1，所以cs A＝AD2+AC2-CD22AD·AC＝0，所以∠A＝π2，所以△BCD的面积为12×13×1＝16．
8．如图，在100 m高的山顶B处，测得山下一塔顶D与塔底C的俯角分别为30°和60°，则塔高CD＝( )
A．4003 m B．40033 m
C．20033 mD．2003 m
D 解析：由题图可知，山高AB＝100 m，∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，所以∠BCA＝60°，∠CBD＝30°.
在Rt△ABC中，BC＝ABsin∠BCA＝10032＝2003 (m)，
在△BCD中，∠CBD＝∠BCD＝30°，则∠BDC＝120°，
由正弦定理CDsin30°＝BCsin120°，得CD＝12×200332＝2003(m)．
9．(多选题)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离126 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为123 海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的有( )
A．AD＝24
B．CD＝12
C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°
D．∠CDA＝60°
ABD 解析：如图，在△ABD中，B＝45°，
由正弦定理得ADsin45°＝ABsin60°，
则AD＝126×2232＝24，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC·AD·cs 30°，
因为AC＝123，AD＝24，
所以CD＝12，故B正确；
由正弦定理得CDsin30°＝ACsin∠CDA，
所以sin ∠CDA＝32，
故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，
因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，
所以∠CDA＝60°，故C不正确，D正确．
10．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝3π4，cs A＝17，则BC＝ ．
4(3－1) 解析：在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs A＝64，所以BD＝8，
所以cs ∠ABD＝AB2+BD2-AD22AB·BD＝12．
又因为AB⊥BC，所以sin ∠CBD＝cs ∠ABD＝12．
又∠CBD∈0，π4，
所以cs ∠CBD＝1-sin2∠CBD＝32，
所以sin∠BDC＝sin (∠BCD＋∠CBD)
＝sin ∠BCD cs ∠CBD＋cs ∠BCD sin ∠CBD
＝22×32－22×12＝6-24．
在△BCD中，由正弦定理得
BCsin∠BDC＝BDsin∠BCD＝822＝82，
所以BC＝82sin ∠BDC＝82×6-24＝4(3－1)．
11．如图，在△ABC中，AB＝2，3a cs B－b cs C＝c cs B，点D在线段BC上．
(1)若∠ADC＝3π4，求AD的长；
(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为423，求sin∠BADsin∠CAD的值．
解：(1)因为3a cs B－b cs C＝c cs B，
由正弦定理可得3sin A cs B＝sin B cs C＋cs B sin C＝sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A．
因为A∈(0，π)，则sin A＞0，故cs B＝13，则B为锐角，所以sin B＝1-cs2B＝223．
因为∠ADC＝3π4，所以∠ADB＝π4．
在△ABD中，由正弦定理得ADsinB＝ABsin∠ADB，所以AD223＝222，解得AD＝83．
(2)设CD＝t，则BD＝2t.因为S△ACD＝423，则S△ABC＝3S△ACD＝42，
即12×2×3t×223＝42，解得t＝2，故BC＝3t＝6.
在△ABC中，由余弦定理可得
AC＝AB2+BC2-2AB·BCcsB
＝4+36-2×2×6×13＝42，
在△ABD中，由正弦定理可得BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB，故sin ∠BAD＝2sin ∠ADB.
在△ACD中，由正弦定理可得CDsin∠CAD＝ACsin∠ADC，故sin ∠CAD＝24sin ∠ADC.
因为sin ∠ADB＝sin (π－∠ADC)＝sin ∠ADC，
所以sin∠BADsin∠CAD＝2sin∠ADB24sin∠ADC＝42.
12．(2024·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a＋c)·cs (A＋C)＋b＝2b cs2C2．
(1)求B；
(2)如图，若D为△ABC外一点，且∠BCD＝7π12，AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，求AC的长．
解：(1)由(2a＋c)cs(A＋C)＋b＝2b cs2C2，
得(2a＋c)cs(π－B)＝b2cs2C2-1，
即－(2a＋c)csB＝b cs C.
由正弦定理得－(2sin A＋sin C)cs B＝sin B cs C，
整理得－2sin A cs B＝sin C cs B＋sin B cs C，
所以－2sin A cs B＝sin (B＋C)＝sin A．
又A∈(0，π)，所以sin A＞0，所以cs B＝－12．
又B∈(0，π)，所以B＝2π3．
(2)如图，连接BD.
因为AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，
所以BD＝AB2+AD2＝12+32＝2，tan ∠ABD＝ADAB＝3，
所以∠ABD＝π3，所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝π3．
又∠BCD＝7π12，所以∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝π12．
在△BCD中，由正弦定理可得BDsin∠BCD＝BCsin∠BDC，即2sin7π12＝BCsinπ12，
所以BC＝2sinπ12sin7π12＝2sinπ3-π4sinπ3+π4＝4－23.
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cs ∠ABC＝12＋(4－23)2－2×1×(4－23)×cs 2π3＝33－183，
所以AC＝33-183.