人教A版普通高中数学一轮复习24课时练习含答案

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1．(2024·广州模拟)如果函数y＝3cs (2x＋φ)的图象关于点4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( )
A．π6 B．π4
C．π3 D．π2
A 解析：由题意得3cs 2×4π3+φ＝3cs 2π3+φ+2π＝3cs 2π3+φ＝0，
所以2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，
所以φ＝kπ－π6(k∈Z)．
取k＝0，得|φ|的最小值为π6．
2．已知函数f (x)的图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝sin π2xB．f (x)＝cs π2x
C．f (x)＝sin π4xD．f (x)＝cs π4x
B 解析：对于A，f (x)＝sin π2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin π2x的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cs π2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f (2)＝cs π＝－1，所以函数f (x)＝cs π2x的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数f (x)＝sin π4x和f (x)＝cs π4x的最小正周期均为2ππ4＝8，均不符合题意，故排除C，D.
3．(多选题)已知函数f (x)＝3sin 2x-π3，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的最大值为3
B．f (x)的最小正周期为π
C．f x-π12为奇函数
D．f (x)的图象关于直线x＝11π12对称
ABD 解析：因为函数f (x)＝3sin 2x-π3，
所以f (x)的最大值为3，故A正确；
最小正周期为2π2＝π，故B正确；
f x-π12＝3sin 2x-π12-π3＝3sin 2x-π2＝－3cs 2x为偶函数，故C错误；
f (x)的图象的对称轴满足2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝11π12，故D正确．
4．函数y＝sin2x＋22csx的定义域为-3π4，α，值域为-32，22，则α的取值范围是( )
A．0，3π4B．[0，π]
C．-π4，0D．π2，π
A 解析：由y＝sin2x＋22csx＝1－cs2x＋22csx＝－(cs x－2)2＋3，
令t＝cs x，得y＝－(t－2)2＋3，
显然当t＝cs -3π4＝－22时，y＝－32，
令－(t－2)2＋3＝22，得t＝1.
可知cs x∈-22，1．
又x∈-3π4，α，要使函数的值域为-32，22，
所以有0≤α≤3π4，
所以α的取值范围是0，3π4．
5．(2024·泸州诊断)写出一个具有下列性质①②③的函数f (x)＝ ．
①定义域为R；②函数f (x)是奇函数；③f (x＋π)＝f (x)．
解析：由③f (x＋π)＝f (x)知所求函数的周期为π，再结合性质①②，故所求的函数可以是f (x)＝sin 2x，答案不唯一．
6．设函数f (x)＝cs ωx-π6(ω＞0)，若f (x)≤f π4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
23 解析：因为f (x)≤f π4对任意的实数x都成立，所以f π4为f (x)的最大值，
所以π4ω－π6＝2kπ(k∈Z)，
所以ω＝8k＋23(k∈Z)．
因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值为23．
7．已知函数f (x)＝sin 12x+φ(0≤φ≤π)在π2，π上单调递减，则φ的取值范围是 ．
π4≤φ≤π 解析：当x∈π2，π时，12x＋φ
∈φ+π4，φ+π2，
又因为函数f (x)＝sin 12x+φ(0≤φ≤π)在π2，π上单调递减，
所以φ+π4，φ+π2⊆π2，3π2，
所以φ+π4≥π2，φ+π2≤3π2，解得π4≤φ≤π.
8．(2024·海淀模拟)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)ω＞0，φ＜π2的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个：
条件①：f (x)的图象关于点π3，0对称；
条件②：f (x)的图象关于直线x＝π12对称．
(1)请写出你选择的条件，并求f (x)的解析式；
(2)当x∈-π4，m时，若(1)中所求函数f (x)的值域为[－1，2]，求出m的一个合适数值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)因为f (x)＝2sin (ωx＋φ)ω＞0，φ＜π2的最小正周期为π，
所以T＝2πω＝π，得ω＝2，所以f (x)＝2sin (2x＋φ)．
若选条件①，因为f (x)的图象关于点π3，0对称，则f π3＝0，
即f π3＝2sin 2π3+φ＝0，所以2π3＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－2π3，k∈Z.
因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，
所以f (x)＝2sin 2x+π3．
若选条件②，因为f (x)的图象关于直线x＝π12对称，
所以f π12＝±2，即f π12＝2sin π6+φ＝±2，
所以π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得φ＝π3＋kπ，k∈Z.
因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，
所以f (x)＝2sin 2x+π3．
(2)因为x∈-π4，m，所以－π6≤2x＋π3≤2m＋π3．
因为当x∈-π4，m时，函数f (x)的值域为[－1，2]，
所以π2≤2m＋π3≤7π6，得π12≤m≤5π12，
所以m的一个值可以为π3(答案不唯一)．
9．(2024·昆明模拟)已知函数f (x)＝sin ωx-π4(ω＞0)，x∈0，π2的值域是-22，1，则ω的取值范围是( )
A．0，32B．32，3
C．3，72D．52，72
B 解析：因为ω＞0，所以当x∈0，π2时，ωx－π4∈-π4，ωπ2-π4．
因为函数f (x)＝sin ωx-π4(ω＞0)，x∈0，π2的值域是-22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3.
10．(多选题)(2024·青岛模拟)设函数f (x)＝sin ωx＋3cs ωx，x∈R，其中ω＞0，在曲线y＝f (x)与直线y＝3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6，则( )
A．f (x)的最大值为1
B．ω＝2
C．f (x)图象的对称轴方程为x＝kπ2＋π12，k∈Z
D．f (x)的一个单调递增区间为-5π12，π12
BCD 解析：由题意可得f (x)＝sin ωx＋3cs ωx＝212sinωx+32csωx＝2sin ωx+π3，易知f (x)的最大值为2，A错误；由2sin ωx+π3＝3，可得sin ωx+π3＝32，得到ωx＋π3＝2kπ＋π3或ωx＋π3＝2kπ＋2π3(k∈Z)，令k＝0，可得x1＝0，x2＝π3ω，由|x1－x2|＝π6，可得π3ω＝π6，解得ω＝2，B正确；易得f (x)＝2sin 2x+π3，令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，C正确；令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，可得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z，令k＝0，得－5π12≤x≤π12，D正确．
11．已知函数f (x)＝1x-1＋3sin πx，则函数f (x)在[－1，3]上的所有零点的和为( )
A．2B．4
C．2πD．4π
B 解析：令f (x)＝1x-1＋3sin πx＝0，
则1x-1＝－3sin πx，
所以函数f (x)的零点就是函数y＝1x-1与函数y＝－3sin πx的图象交点的横坐标．
因为y＝1x-1的图象关于点(1，0)对称，函数y＝－3sin πx的周期为2，其图象关于点(1，0)对称，画出两函数在区间[－1，3]上的图象如图所示．
由图象可知，两函数图象在[－1，3]上共有4个交点，且这4个点关于点(1，0)对称，
所以其横坐标的和为4，
所以函数f (x)在[－1，3]上的所有零点的和为4.
12．(多选题)(数学与生活)声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是y＝A sin ωt，其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大，音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐．我们平时听到的音乐函数是y＝sin x ＋12sin 2x ＋13sin 3x ＋14sin 4x ＋…，某声音函数f (x)＝sin x ＋12sin 2x ＋13sin 3x，下列说法正确的是( )
A．函数f (x)在区间-π6，π6单调递增
B．函数f (x)的最小正周期为2π
C．函数f (x)的声音比纯音g(x) ＝sin 2x的尖锐
D．函数f (x)的响度比纯音g(x) ＝sin 2x的响度大
ABD 解析：对于A，当x∈-π6，π6时，函数y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x均单调递增，
所以当x∈-π6，π6时， f (x)＝sin x ＋12sin 2x＋13sin 3x单调递增，故A正确；
对于B，y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x的最小正周期分别为2π，π，2π3， 则函数f (x)的最小正周期为2π，故B正确；
对于C，函数f (x)的周期为2π，频率为12π，
函数g(x)的周期为π，频率为1π，
由12π＜1π，可得函数f (x)的声音比纯音g(x)＝sin 2x的低沉，故C错误；
对于D，g(x) ＝sin 2x的振幅为1，
f π3＝sin π3＋12sin 2×π3＋13sin 3×π3＝32＋34＝334＞1，
则函数f (x)的振幅大于g(x)的振幅，
则函数f (x)的响度比纯音g(x) ＝sin 2x的响度大，故D正确．故选ABD.
13．已知函数f (x)＝2sin x+π3，且函数y＝g(x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于直线x＝π4对称．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若存在x∈0，π2，使[g(x)]2－mg(x)＋2＝0成立，求实数m的取值范围；
(3)若当x∈-π3，2π3时，不等式12f (x)－ag(－x)＞a－2恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为函数y＝g(x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于直线x＝π4对称，则g(x)＝f π2-x，所以g(x)＝2sin π2-x+π3＝2sin π-x+π6＝2sin x+π6．
(2)由(1)知，g(x)＝2sin x+π6，当x∈0，π2时，x＋π6∈π6，2π3，则1≤g(x)≤2.
令g(x)＝t，则1≤t≤2.
若存在x∈0，π2，使[g(x)]2－mg(x)＋2＝0成立，
即存在t∈[1，2]，使t2－mt＋2＝0成立，
即存在t∈[1，2]，使m＝t＋2t成立．
而函数m＝t＋2t在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增，
当t＝2时，mmin＝22，当t＝1或t＝2时，mmax＝3，
所以实数m的取值范围为[22，3].
(3)由(1)知，不等式12f (x)－ag(－x)＞a－2等价于sin x+π3＋2a sin x-π6＞a－2，
当x∈-π3，2π3时，0≤x＋π3≤π，－π2≤x－π6≤π2．
若a＝0，因为0≤sin x+π3≤1，
即sin x+π3＞－2恒成立；
若a＞0，因为函数y＝sin x-π6在-π3，2π3上单调递增，则当x＝－π3时，sin x+π3＋2a sin x-π6 取得最小值，
原不等式恒成立可转化为sin -π3+π3＋2a sin -π3-π6＞a－2恒成立，
即－2a＞a－2，因此0＜a＜23；
若a＜0，由上可知，当x＝2π3时，
sin x+π3＋2a sin x-π6取得最小值，
原不等式恒成立可转化为sin 2π3+π3＋2a sin 2π3-π6＞a－2恒成立，
即a＞－2，因此－2＜a＜0.
综上所述，a的取值范围是-2，23．