人教A版普通高中数学一轮复习26课时练习含答案

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1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，b＝6，B＝π3，则A＝( )
A．π6B．π4
C．π4或3π4D．π6或5π6
B 解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得sin A＝asinBb＝2×326＝22．
因为a＜b，所以A＜B，则A＝π4．
2．(数学与生活)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6 000密位，写成“60-00”，578密位写成“5-78”．若在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且有a2－c2＋b2＝ab，则角C用密位制表示正确的是( )
A．2-50B．5-00
C．10-00D．20-00
C 解析：因为a2－c2＋b2＝ab，
所以cs C＝a2+b2-c22ab＝ab2ab＝12．
因为C为三角形的内角，所以C＝60°.
因为1周角等于6 000密位，写成“60-00”，
所以C＝16×6 000＝1 000(密位)，即角C用密位制表示为10-00.
3．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a cs B－b cs A＝c，且C＝π5，则B＝( )
A．π10B．π5
C．3π10D．2π5
C 解析：由题意结合正弦定理可得sin A cs B－sin B cs A＝sin C，
即sin A cs B－sin B cs A＝sin (A＋B)
＝sin A cs B＋sin B cs A，
整理可得sin B cs A＝0.
由于B∈(0，π)，故sin B＞0，据此可得cs A＝0，A＝π2，
则B＝π－A－C＝π－π2－π5＝3π10．
4．(2024·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于( )
A．2393B．2633
C．833D．23
A 解析：由三角形的面积公式可得S△ABC＝12bc sin A＝34c＝3，解得c＝4.
由余弦定理可得a＝b2+c2-2bccsA＝13.
设△ABC的外接圆半径为r，
由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2r，
所以a+b+csinA+sinB+sinC＝2rsinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC＝2r＝asinA＝1332＝2393．
5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＋b＝10，c＝5，sin 2B＋sin B＝0.则下列结论正确的是( )
A．a＝3B．b＝7
C．B＝60°D．sin C＝5314
ABD 解析：由sin 2B＋sin B＝0，得
2sin B cs B＋sin B＝0.
因为在△ABC中，sin B≠0，得cs B＝－12，所以B＝120°.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cs B，得b2＝a2＋52－2×a×5×-12．
因为b＝10－a，所以(10－a)2＝a2＋52－2×a×5×-12，解得a＝3，所以b＝7.
由B＝120°，得sin B＝32．
由正弦定理得sin C＝csin Bb＝5×327＝5314．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若S△ABC＝32a2sin A，且b＋c＝72a，则cs A＝ ．
78 解析：因为S△ABC＝32a2sin A，
所以由三角形面积公式可得S△ABC＝12bc·sin A＝32a2sin A．
因为A为三角形的内角，sin A≠0，所以3a2＝bc.
又b＋c＝72a，所以cs A＝b2+c2-a22bc＝b+c2-2bc-a22bc＝494a2-6a2-a26a2＝78．
7．(2024·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若3a sin B＝b cs A，且b＝23，c＝2，则a的值为 ．
2 解析： 由已知及正弦定理得3sin A sin B＝sin B cs A且sin B≠0，可得tan A＝33．
又0＜A＜π，所以A＝π6．
又b＝23，c＝2，
所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cs A＝16－12＝4，解得a＝2.
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
233 解析：因为b sin C＋c sin B＝4a sin B·sin C，sin B sin C＞0，
结合正弦定理可得sin B sin C＋sin C sin B＝4sin A sin B sin C，所以sin A＝12．
因为b2＋c2－a2＝8，可得cs A＞0，所以A为锐角，即A＝π6，所以cs A＝32，从而求得bc＝833，所以△ABC的面积为S＝12bc·sin A＝12×833×12＝233．
9．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解：(1)因为A＋B＝3C，
所以π－C＝3C，即C＝π4．
又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)，
所以2sin A cs C－2cs A sin C＝sin A cs C＋cs A sin C，
所以sin A cs C＝3cs A sin C，
所以sin A＝3cs A，
即tan A＝3，所以0＜A＜π2，
所以sin A＝31010．
(2)由(1)知，cs A＝1010，
由sin B＝sin (A＋C)＝sin A cs C＋cs A sin C＝22×31010+1010＝255，
由正弦定理ABsinC＝ACsinB，可得AC＝5×25522＝210.
设AB边上的高为h，
所以12AB·h＝12AB·AC·sin A，
所以h＝AC·sin A＝210×31010＝6.
10．(数学与生活)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是( )
A．－1725B．－42125
C．－35D．－825
A 解析：由题意得当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，
因为B为AD′的中点，所以AB＝AC＝12AD′＝20(cm)．
当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，则BD＝20 cm.
在△ABD中，cs ∠BAD＝AB2+AD2-BD22AB·AD＝400+256-4002×20×16＝25，
所以cs ∠BAC＝cs 2∠BAD＝2cs2∠BAD－1＝2×425－1＝－1725．
11．(2024·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2csB(a cs C＋c cs A)＝b，lg sin C＝12lg 3－lg 2，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
C 解析：因为2cs B(a cs C＋c cs A)＝b，
由正弦定理得2cs B(sin A cs C＋sin C cs A)＝sin B，
所以2cs B sin (A＋C)＝sin B，
即2cs B sin B＝sin B.
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cs B＝12，所以B＝π3．
因为lg sin C＝12lg 3－lg 2，
所以lg sin C＝lg 32，所以sin C＝32．
因为C∈(0，π)，所以C＝π3或2π3．
因为B＝π3，所以C≠2π3，所以C＝π3，
所以A＝B＝C＝π3，即△ABC为等边三角形．
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cs B－c－b2＝0，a2＝72bc，b＞c，则bc＝ ．
2 解析：由a cs B－c－b2＝0及正弦定理可得sin A cs B－sin C－sinB2＝0.
因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cs B＋cs A sin B，
所以－sinB2－cs A sin B＝0.
因为sin B≠0，所以cs A＝－12，即A＝2π3．
由余弦定理得a2＝72bc＝b2＋c2＋bc，
即2b2－5bc＋2c2＝0.
又b＞c，所以bc＝2.
13．(2024·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs A＋3sin A＝b+ac．
(1)求角C；
(2)设BC的中点为D，且AD＝3，求a＋2b的取值范围．
解：(1)由cs A＋3sin A＝b+ac及正弦定理知，sin C(cs A＋3sin A)＝sin B＋sin A．
因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cs C＋cs A sin C，
所以sin C(cs A＋3sin A)＝sin A cs C＋cs A sin C＋sin A，
所以3sin A sin C＝sin A cs C＋sin A．
因为sin A≠0，所以3sin C＝cs C＋1，
即3sin C－cs C＝1，
所以2sin C-π6＝1，即sin C-π6＝12．
因为C∈(0，π)，所以C－π6＝π6，即C＝π3．
(2)设∠ADC＝α，则α∈0，2π3．
在△ACD中，由正弦定理知，ADsinC＝ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，
所以3sinπ3＝bsinα＝12asinα+π3＝2，
所以a＝4sin α+π3，b＝2sin α，
所以a＋2b＝4sin α+π3＋4sin α＝6sin α＋23cs α＝43sin α+π6．
因为α∈0，2π3，所以α＋π6∈π6，5π6，
所以sin α+π6∈12，1，
所以a＋2b的取值范围为(23，43].