人教A版普通高中数学一轮复习30课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习30课时练习含答案，共8页。
1．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2B．－1
C．1D．2
C 解析：由|a－2b|＝3，
可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9.
又|a|＝1，|b|＝3，所以代入得a·b＝1.
2．已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为( )
A．－5eB．5e
C．－2eD．2e
C 解析：设a与b所成的角为θ，
则cs θ＝a·bab＝−635＝－255，
故a在b上的投影向量为(|a|cs θ)e＝－2e.
3．(多选题)已知向量m，n满足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，则下列说法正确的是( )
A．m·n＝－1
B．m与n的夹角为2π3
C．|m－n|＝7
D．(m＋n)⊥(m－n)
ABC 解析：因为|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，所以|m|2＋|n|2＋2m·n＝3，
即1＋4＋2m·n＝3，解得m·n＝－1，故A正确；
因为cs 〈m，n〉＝m·nmn＝－12，且0≤〈m，n〉≤π，
所以〈m，n〉＝2π3，故B正确；
因为|m－n|2＝|m|2＋|n|2－2m·n＝1＋4＋2＝7，所以|m－n|＝7，故C正确；
因为(m＋n)·(m－n)＝|m|2－|n|2＝1－4＝－3≠0，故D错误．
4．(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于( )
A．－6B．－5
C．5D．6
C 解析：由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，
即a·cac＝b·cbc，
即25+3t5＝3＋t，解得t＝5.
5．(2024·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝1534，则AB边上的中线长为( )
A．49B．7
C．494D．72
D 解析：由S△ABC＝12ab sin C＝12×3×b×32＝1534，得b＝5.
不妨设AB的中点为M，则CM＝12(CA+CB)，
故|CM|＝12CA+CB2
＝12CA2+CB2+2CACBcs60°
＝1225+9+2×5×3×12＝72，
即AB边上的中线长为72．
6．已知|a|＝4，b＝(－1，0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为 ．
2π3 解析：由b＝(－1，0)，得|b|＝1.
因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，
即a·b＋2b2＝0，
所以|a||b|cs 〈a，b〉＋2|b|2＝0.
因为|a|＝4，所以4cs 〈a，b〉＋2＝0，所以cs 〈a，b〉＝－12．
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π3．
7．已知AB＝(cs23°，cs67°)，BC＝(2cs68°，2cs22°)，则△ABC的面积为 ．
22 解析：根据题意知AB＝(cs23°，cs67°)，
所以BA＝(－cs23°，－sin23°)，则|BA|＝1.
又因为BC＝(2cs68°，2cs22°)＝(2cs68°，2sin68°)，
所以|BC|＝2.
由BA·BC＝－2cs23°cs68°－2sin23°·sin 68°＝－2(cs23°cs68°＋sin23°·sin68°)＝－2×cs45°＝－2，
得csB＝BA·BCBABC＝－22，所以B＝135°.故S△ABC＝12|BA||BC|sinB＝12×1×2×22＝22．
8．在平面直角坐标系中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(AB−tOC)·OC＝0，求t的值．
解：(1)由题意可得AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，
则AB+AC＝(2，6)，AB−AC＝(4，4)，
所以|AB+AC|＝210，|AB−AC|＝42，
故所求的两条对角线的长分别为210，42.
(2)由题意可得，OC＝(－2，－1)，
AB−tOC＝(3＋2t，5＋t)．
由(AB−tOC)·OC＝0，
得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
即－6－4t－5－t＝0，
从而5t＝－11，解得t＝－115．
9．(多选题)(数学与文化)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有( )
A．OA·OD＝－22
B．OB+OH＝－2OE
C．AH·HO＝BC·BO
D．AH·AB＝1－2
ABD 解析：对于A，OA·OD＝1×1×cs3π4＝－22，故正确；
对于B，OB+OH＝2OA＝－2OE，故正确；
对于C，|AH|＝|BC|，|HO|＝|BO|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立，故错误；
对于D，AH·AB＝|AB|2cs3π4，由余弦定理可得|AB|2＝2－2，所以AH·AB＝(2－2)×−22＝1－2，故正确．
10．(多选题)已知O为坐标原点，点A(1，0)，P1(cs α，sin α)，P2(cs β，sin β)，P3(cs (α－β)，sin (α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP2|＝|P1P3|
C．OA·OP1＝OP2·OP3
D．OA·OP3＝OP1·OP2
ABD 解析：由题意OA＝(1，0)，OPi的坐标等于Pi的坐标(i＝1，2，3)，
|OP1|＝|OP2|＝1，A正确；
|AP2|＝csβ−12+sinβ−02＝2−2csβ，
|P1P3|＝csα−β−csα2+sinα−β−sinα2＝2−2csαcsα−β+sinαsinα−β
＝2−2csβ，
所以|AP2|＝|P1P3|，B正确；
OA·OP1＝cs α，OP2·OP3＝cs βcs (α－β)＋sin βsin (α－β)＝cs (2β－α)，C错误；
OA·OP3＝cs (α－β)，OP1·OP2＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs (α－β)，D正确．
11．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·PB的取值范围是( )
A．[－5，3]B．[－3，5]
C．[－6，4]D．[－4，6]
D 解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4)．
设P(x，y)，则x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，
所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝x−322＋(y－2)2－254．
又x−322＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上的点到点32，2距离的平方，圆心(0，0)到点32，2的距离为52，所以PA·PB的最小值为52−12－254＝－4，PA·PB的最大值为52+12－254＝6，
即PA·PB∈[－4，6].故选D.
12．(数学与生活)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则PM·PN的取值范围是( )
A．[1，2]B．[2，3]
C．32，4D．32，3
B 解析：如图所示，取AF的中点Q，连接OA，OF，OQ，OP.根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝3.
又PM·PN＝(PO+OM)·(PO+ON)＝|PO|2＋PO·ON+PO·OM+OM·ON＝|PO|2＋PO·(ON+OM)－1＝|PO|2－1.
根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为3，此时|PO|2－1＝2.
当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时|PO|2－1＝3.
故PM·PN的取值范围是[2，3].
13．在△ABC中，AB＝(3sin x，sin x)，AC＝(－sin x，cs x)．
(1)设f(x)＝AB·AC，若f(A)＝0，求角A的值；
(2)若对任意的实数t，恒有|AB−tAC|≥|BC|，求△ABC面积的最大值．
解：(1)f(x)＝AB·AC＝－3sin2x＋sinx cs x＝－3× 1−cs2x2＋sin2x2＝sin 2x+π3－32．
因为f(A)＝0，所以sin 2A+π3＝32．
又因为A∈(0，π)，所以2A＋π3∈π3，7π3，
所以2A＋π3＝2π3，所以A＝π6．
(2)如图，设AD＝tAC，
则AB−tAC＝DB，
即|DB|≥|BC|恒成立，
所以AC⊥BC.
因为|AB|＝4sin2x＝2−2cs2x|AC|＝1，
所以|BC|＝AB2−AC2≤3.
所以△ABC的面积为S＝12BC·AC≤32．
当且仅当cs 2x＝－1，
即x＝π2＋kπ，k∈Z时等号成立．
所以△ABC面积的最大值为32．