人教A版普通高中数学一轮复习28课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习28课时练习含答案，共10页。试卷主要包含了下列说法，正确的为等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于( )
A．2B．－2
C．－12D．12
C 解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在实数k(k≠0)，使得ka＝b，
所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.
因为向量e1，e2是两个不共线的向量，
所以2k=1，-k=λ，解得λ＝－12．
2．(多选题)(2024·济宁模拟)已知A，B，C是三个不同的点，OA＝a－b，OB＝2a－3b，OC＝3a－5b，则下列结论正确的是( )
A．AC＝2ABB．AB＝BC
C．AC＝3BCD．A，B，C三点共线
ABD 解析：由题可得AB＝OB-OA＝a－2b，AC＝OC-OA＝2a－4b，BC＝OC-OB＝a－2b，所以AC＝2AB，故A正确；
AB＝BC，故B正确；
AC＝2BC，故C错误；
由AC＝2AB可得AC∥AB.又A为公共点，所以A，B，C三点共线，故D正确．
3．若向量OA＝3OB－2OC(O，A，B，C互不重合)，则ACBC＝( )
A．2B．23
C．32D．3
D 解析：由已知可得OA-OB＝2(OB-OC)，即BA＝2CB.
因为CA＝CB+BA，所以CA＝3CB，则ACBC＝3.
4．已知平面内一点P及△ABC，若PA+PB+PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
C 解析：由PA+PB+PC＝AB，得PA+PB+PC＝PB-PA，即PC＝－2PA，故点P在线段AC上．
5．(2024·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xAB＝AM，yAC＝AN，则1x＋1y的值为( )
A．3B．4
C．5D．6
A 解析：延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点．
因为G为△ABC的重心，所以AG＝23AH＝23×12(AB+AC)＝13(AB+AC)＝131xAM+1yAN＝13xAM＋13yAN.
因为M，G，N三点共线，
所以13x＋13y＝1，即1x＋1y＝3.
6．已知A，B，C三点共线，且AC＝3BC，若AB＝λCB，则λ＝ ．
－2 解析：已知点A，B，C三点共线，且AC＝3BC，所以BC-BA＝3BC，即－BA＝2BC，故AB＝－2CB，所以λ＝－2.
7．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为 ．
13 解析：因为向量ta＋b与a＋3b平行，
所以存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)．
因为向量a，b不平行，
所以t=k，1=3k，解得t＝k＝13．
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝35AB＋25AC，则△ABM与△ABC的面积之比为 ．
2∶5 解析： 因为AM＝35AB＋25AC，
所以AM-AB＝25(AC-AB)，
即BM＝25BC.
所以点M在边BC上，
且|BM|＝25|BC|.
故S△ABMS△ABC＝BMBC＝25，
所以△ABM与△ABC的面积之比为2∶5.
9．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA+nOB(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则OP＝mOA＋(1－m)OB
＝OB＋m(OA-OB)，
所以OP-OB＝m(OA-OB)，
即BP＝mBA，所以BP与BA共线．
又因为BP与BA有公共点B，
则A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使得BP＝λBA，
所以OP-OB＝λ(OA-OB)，
所以OP＝λOA＋(1－λ)OB①.
又OP＝mOA+nOB②，
所以由①②得λOA＋(1－λ)OB＝mOA+nOB.
因为OA，OB不共线，
所以λ=m， 1-λ=n，所以m＋n＝1.
10．(多选题)(2024·石家庄模拟)下列说法，正确的为( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，若2OA+OB＋3OC＝0，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6
C.两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向
D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb
BC 解析：对于A，若a∥b，b∥c，则a∥c不成立，比如b＝0，a，c可以不共线，故错误；
对于B，若2OA+OB＋3OC＝0，延长OA到A′，使得OA′＝2OA，延长OC到C′，使得OC′＝3OC，可得O为△BA′C′的重心．
设△AOC，△BOA，△BOC的面积分别为x，y，z，
则△A′OB的面积为2y，△C′OB的面积为3z，△A′OC′的面积为6x.
由三角形的重心的性质可得2y＝3z＝6x.
则S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，正确；
对于C，两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则|a－b|2＝(|a|＋|b|)2，|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cs 〈a，b〉＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，整理得cs 〈a，b〉＝－1，
所以a与b共线且反向，正确；
对于D，若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb，不正确，比如a≠0，b＝0，不存在实数λ.
11．(数学与生活)图1是世界最高桥－－贵州北盘江斜拉桥，图2是根据图1作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别)．在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝8 m，BO＝16 m，PO＝12 m，PB⊥PC.根据物理学知识得12(PA+PB)＋12(PC+PD)＝2PO，则CD＝( )

A．28 mB．20 m
C．31 mD．22 m
D 解析：因为PB⊥PC，又PO⊥BC，所以PO2＝BO·OC.
因为BO＝16 m，PO＝12 m，所以OC＝9 m.
设线段AB的中点为M，线段CD的中点为N.
因为12(PA+PB)＋12(PC+PD)＝2PO，
所以PM+PN＝2PO，所以O为线段MN的中点．
因为AB＝8 m，所以MO＝20 m，即ON＝20 m，所以CD＝22 m．
12．(多选题)(数学与文化)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设在△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是( )
A．GH＝2OG
B．GA+GB+GC＝0
C．设BC边的中点为D，则有AH＝3OD
D．OA＝OB＝OC
AB 解析： 由题意作图，如图所示．
对于A，根据欧拉线定理知，O，G，H三点共线，且GH＝2OG，所以GH＝2OG，故A正确．
对于B，取BC的中点D，由题意得GB+GC＝2GD＝－GA，
所以GA+GB+GC＝0，故B正确．
对于C，由题意知AG＝2GD，
又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，
所以|AH|＝2|OD|.
因为OD⊥BC，AH⊥BC，所以AH∥OD.
所以AH＝2OD，故C错误．
对于D，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，故D错误．
13．(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若BM＝13BC，则AM＝13AC＋23AB
B．若AM＝2AC－3AB，则点M，B，C三点共线
C．若点M是△ABC的重心，则MA+MB+MC＝0
D．若AM＝xAB+yAC且x＋y＝13，则△MBC的面积是△ABC面积的23
ACD 解析：对于A，AM＝AB+BM＝AB＋13BC＝AB＋13(AC-AB)＝13AC＋23AB，A正确；
对于B，假设点M，B，C三点共线，则MB＝λBC，即AB-AM＝λ(AC-AB)，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)·AB，当λ＝－2时，AM＝2AC-AB，与条件中的AM＝2AC－3AB不一致，所以点M，B，C三点不共线，B错误；
对于C，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，所以－2MH＝MA.又MB+MC＝2MH，所以MA+MB+MC＝0，C正确；
对于D，由于AM＝xAB+yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB＋3yAC，其中3x＋3y＝1.不妨设AQ＝3AM，则点Q在直线BC上．由于△MBC与△ABC同底，而高之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的23，D正确．
14．如图，在▱ABCD中，BM＝23BC，AN＝14AB，AB＝a，AD＝b.
(1)试用向量a，b来表示DN，AM；
(2)AM交DN于点O，若AO＝λOM，求λ的值．
解：(1)因为DN＝AN-AD，AN＝14AB，
所以DN＝14AB-AD＝14a－b.
因为AM＝AB+BM，BM＝23BC，
所以AM＝AB＋23BC＝a＋23b.
(2)因为D，O，N三点共线，
所以存在实数k，使得DO＝kDN＝14ka－kb，所以AO＝AD+DO＝b＋14ka－kb＝14ka＋(1－k)b①.
因为A，O，M三点共线，所以存在实数m，
使得AO＝mAM＝ma＋23mb②.
由①②得14k=m， 1-k=23m，解得m＝314．
所以AO＝314AM，AO＝311OM，即λ＝311．
15．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m＞0，n＞0，求m＋n的最小值．
解：设OA＝a，OB＝b.
由题意知OG＝23×12(OA+OB)＝13(a＋b)，
PQ＝OQ-OP＝nb－ma，
PG＝OG-OP＝13-ma＋13b.
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，
使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ13-ma＋13λb，
则有-m=λ13-m，n=13λ， 消去λ得1n＋1m＝3.
于是m＋n＝131m+1n(m＋n)
＝132+nm+mn≥13(2＋2)＝43．
当且仅当m＝n＝23时，m＋n取得最小值为43．