人教A版普通高中数学一轮复习69课时练习含答案

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(1)若p1＝12，p2＝23，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率．
(2)已知p1＋p2＝65，则：
①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率．
②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？
解：(1)每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，
则可能的情况有：①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次．
因为p1＝12，p2＝23，
所以他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为C21·122×232＋122×C21×23×13＋122×232＝49．
(2)①由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率P＝C21×p1×1-p1×p22+p12×C21×p2×1-p2+p12×p22＝2p1p2p1+p2-3p12p22，
因为p1＋p2＝65，所以P＝125p1p2-3p12p22，
又0≤p1≤1，0≤p2≤1，则15≤p1≤1，
令m＝p1p2＝-p12＋65p1＝－p1-35 2＋925，
则m∈15，925，
令P＝f(m)＝125m－3m2＝－3m-252＋1225，
所以f(m)＝125m－3m2在15，925上单调递增，则Pmax＝f925＝297625，此时p1＝p2＝35．
②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ～Bn，297625，
所以np＝297，则n＝297297625＝625，
所以平均要进行625轮游戏．
2．某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型α1和α2.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为45和23．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂α1和α2合格的种类数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0＜p＜1)且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为f(p)，若当p＝p0时，f(p)最大，求p0的值．
解：(1)试剂α1合格的概率为34×45＝35，
试剂α2合格的概率为35×23＝25．
由题意知X的所有可能取值为0，1，2.
则P(X＝0)＝1-35×1-25＝625，P(X＝1)＝1-35×25＋35×1-25＝1325，P(X＝2)＝35×25＝625，则X的分布列为
数学期望E(X)＝0×625＋1×1325＋2×625＝1.
(2)检测3人确定“感染高危户”的概率为(1－p)2p，
检测4人确定“感染高危户”的概率为(1－p)3p，
则f(p)＝(1－p)2p＋(1－p)3p＝(1－p)2p(2－p)．
令x＝1－p，因为0＜p＜1，所以0＜x＜1，
原函数可化为g(x)＝x2(1－x2)(0＜x＜1)．
因为x2(1－x2)≤x2+1-x224＝14，
当且仅当x2＝1－x2，即x＝22时，等号成立．
此时p＝1－22，所以p0＝1－22．
3．(2024·济南模拟)某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12 000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望．
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2＝362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k＝1，2，…，n)；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？
附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3；362≈19.
解：(1)预赛成绩在[60，80)范围内的样本量为0.012 5×20×100＝25，
预赛成绩在[80，100)范围内的样本量为0.007 5×20×100＝15，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，
则P(X≥1)＝C151C25+1C152C402＝813，
又P(X＝0)＝C252C402＝513，P(X＝1)＝C151C251C402＝2552，P(X＝2)＝C152C402＝752，则X的分布列为
故E(X)＝0×513＋1×2552＋2×752＝34．
(2)μ＝x＝(10×0.005＋30×0.01＋50×0.015＋70×0.012 5＋90×0.007 5)×20＝53，
σ2＝362，则σ≈19，所以Z～N(53，362)，
故P(Z≥91)＝P(Z≥μ＋2σ)＝12[1－P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)]≈0.022 75，
故全市参加预赛的学生中，成绩不低于91分的有120 000×0.022 75＝273(人)，
因为273＜300，故小明有资格参加复赛．
(3)设学生甲答对的题目数为ξ，复赛成绩为Y，则ξ～B(n，0.8)，故E(ξ)＝0.8n，
Y＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2ξ，
故E(Y)＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2E(ξ)＝－110n2＋3n2＋100＝－110n-1522＋8458．
因为n∈N*，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩．
4．老年公寓是一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求．某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示．
(1)若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
(2)记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的m(m＞2且m∈N*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ.记询问的某组被标为Ⅱ的概率为p.
①试用含m的代数式表示p；
②若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为Ⅱ的概率，试求g(p)的最大值及此时m的值．
解：(1)因为单人间、双人间、三人间入住人数比为36∶60∶24，即3∶5∶2，
所以这10人中，入住单人间、双人间、三人间的人数分别为10×310＝3，10×510＝5，10×210＝2，
所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝C74C104＝16，P(ξ＝1)＝C31C73C104＝12，
P(ξ＝2)＝C32C72C102＝310，P(ξ＝3)＝C33C71C104＝130，
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65．
(2)①从m＋2人中任选2人，有Cm+22种选法，其中入住房间类型相同的有Cm2+C22种选法，
所以询问的某组被标为Ⅱ的概率为p＝1－Cm2+C22Cm+22＝1－m2-m+2m2+3m+2＝4mm2+3m+2．
②由题意，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率g(p)＝C53p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)，
所以g′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(p－1)·(5p－3)，
所以当p∈0，35时，g′(p)＞0，g(p)单调递增，
当p∈35，1时，g′(p)＜0，g(p)单调递减，
所以当p＝35时，g(p)取得最大值，最大值为g35＝C53×353×1-352＝216625．
由p＝4mm2+3m+2＝35，且m∈N*，得m＝3.
所以当m＝3时，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率最大，且g(p)的最大值为216625．X
0
1
2
P
625
1325
625
X
0
1
2
P
513
2552
752
入住房间的类型
单人间
双人间
三人间
人数
36
60
24
ξ
0
1
2
3
P
16
12
310
130