人教A版普通高中数学一轮复习25课时练习含答案

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1．为了得到函数y＝3sin 12x+π5的图象，只需把y＝3cs x2图象上的所有点( )
A．向右平移3π5个单位长度
B．向右平移2π5个单位长度
C．向左平移2π5个单位长度
D．向左平移3π5个单位长度
A 解析：为了得到函数y＝3sin 12x+π5＝3cs 12x+π5-π2＝3cs 12x-3π10＝3cs 12x-3π5的图象，只需把y＝3cs x2图象上的所有点向右平移3π5个单位长度即可．
2．(2024·烟台模拟)函数f (x)＝sin 2x-π3的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ0＜φ＜π2个单位长度得到的．若gπ3＝－f π3，则φ的值为( )
A．π3 B．π4
C．π6D．π12
A 解析：因为函数f (x)＝sin 2x-π3的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ0＜φ＜π2个单位长度得到，所以g(x)＝sin 2x-φ-π3＝sin 2x-π3-2φ．
因为gπ3＝－f π3，所以sin π3-2φ＝－32，
故可得π3－2φ＝2kπ－π3，k∈Z或π3－2φ＝2kπ－2π3，k∈Z.
又0＜φ＜π2，所以φ＝π3．
3．(多选题)(数学与生活)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋20sin π6t+π3，则下列选项中正确的是( )
A．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升
B.当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D.当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
ABD 解析：由已知，对于A，当天早晨6～7点，则t∈[0，1]，π3≤π6t＋π3≤π2，所以函数p(t)在[0，1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；
对于B，当t＝3时，p(t)＝115＋20sin 5π6＝125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg，故该选项正确；
对于C，D，因为函数p(t)的最大值为115＋20＝135，最小值为115－20＝95＞90，所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，因此陈华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故选项C错误，选项D正确．
4．已知函数f (x)＝－sin2ωx(ω＞0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位长度，所得图象关于直线x＝π3对称，则实数a的最小值为( )
A．πB．π3
C．3π4 D．π4
B 解析：函数f (x)＝－sin2ωx＝cs2ωx-12＞0)的最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，
所以f (x)＝cs2x-12．
若将其图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位长度，可得y＝cs2x-2a-12的图象，
再根据所得图象关于直线x＝π3对称，可得2×π3－2a＝kπ，k∈Z，故a＝π3－kπ2．
令k＝0，可得实数a的最小值为π3．
5．已知函数f (x)＝2sin x+π6，将函数y＝f (x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0，2π]上的单调递减区间为 ．
π6，7π6 解析：将函数y＝f (x)的图象向左平移π6个单位长度，得f x+π6＝2sin x+π3，即g(x)＝2sin x+π3．由x∈[0，2π]，得π3≤x＋π3≤7π3，令π2≤x＋π3≤3π2，得π6≤x≤7π6．
6．函数y＝sin (2x＋φ)φ＜π2的图象向右平移π6个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝ ．
－π6 解析：由y＝sin (2x＋φ)的图象向右平移π6个单位长度后，可得f (x)＝sin 2x-π6+φ＝sin 2x-π3+φ的图象．因为f (x)＝sin 2x-π3+φ的图象关于y轴对称，所以－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝kπ＋5π6，k∈Z.因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6．
7．(2024·南昌模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)A＞0，ω＞0，φ＜π2的部分图象如图所示．若x1，x2∈-π6，π3，且f (x1)＝f (x2)，则f (x1＋x2)＝ ．
32 解析：根据题图可得A＝1，周期T＝2π3--π6＝π，所以ω＝2.
又函数的图象过点-π6，0，
即2×-π6＋φ＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝π3＋2kπ，k∈Z.
又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x)＝sin 2x+π3．
因为π3+-π62＝π12，所以图中最高点的坐标为π12，1．
又x1，x2∈-π6，π3，且f (x1)＝f (x2)，
所以x1＋x2＝π12×2＝π6，
所以f (x1＋x2)＝sin 2×π6+π3＝32．
8．(2024·杭州模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，M，N是直线y＝－1与曲线y＝f (x)的两个交点，且|MN|＝2π9，则f (π)的值为( )
A．2B．－1
C．－2D．－3
D 解析：由函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象知A＝2，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x2＞x1)，
由|MN|＝2π9，可得x2－x1＝2π9，
令2sin (ωx＋φ)＝－1，即sin (ωx＋φ)＝－12，
结合图象可得ωx1＋φ＝－5π6，ωx2＋φ＝－π6，
作差得ω(x2－x1)＝2π3，
即ω×2π9＝2π3，所以ω＝3.
把-4π9，0代入f (x)＝2sin (3x＋φ)，
即2sin -4π3+φ＝0，
所以φ＝(2k－1)π＋4π3，k∈Z，
则f (π)＝2sin 3π+2k-1π+4π3＝2sin 4π3＝－3.
9．(多选题)已知函数f (x)＝cs 2x-π3，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移2π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)的最小正周期是4π
B．g(x)的最小值为－2
C．g(x)在(0，π)上单调递增
D．g(x)的图象关于点π2，0对称
AC 解析：由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝cs 12x-π3的图象，
再将所得图象向右平移2π3个单位长度得
y＝cs 12x-2π3-π3＝cs 12x-2π3的图象，
所以g(x)＝cs 12x-2π3，其最小正周期为4π，最小值为－1，故A正确，B错误；
令－π＋2kπ≤12x－2π3≤2kπ(k∈Z)，解得x∈-2π3+4kπ，4π3+4kπ(k∈Z)，令k＝0，则g(x)在-2π3，4π3上是单调递增的，故C正确；
令12x－2π3＝－π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝π3＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点π3+2kπ，0(k∈Z)对称，故D错误．
10．函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋bA＞0，ω＞0，φ＜π2的图象如图，则S＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)的值为 ．
2 024 解析：由图象知T=2πω=4，A+b=32，-A+b=12，
所以ω＝π2，b＝1，A＝12，
所以f (x)＝12sin π2x+φ＋1.
由f (x)的图象过点1，32得12sin π2+φ＋1＝32，
所以φ＝2kπ，k∈Z.
又|φ|＜π2，则φ＝0.
所以f (x)＝12sin π2x＋1，
所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝12sin0+1＋12sinπ2+1＋12sinπ+1＋12sin3π2+1＝4.
又2 024＝4×506，所以S＝4×506＝2 024.
11．(2024·深圳模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f (x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x＝π3处取到最小值－2.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若将函数f (x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈0，9π8上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意知函数f (x)的最小正周期为2×π4＝2πω，解得ω＝4，
所以f (x)＝A sin (4x＋φ)．
又函数f (x)在x＝π3处取到最小值－2，
所以A＝2，且f π3＝－2，
即4π3＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z.
令k＝0，可得φ＝π6，所以f (x)＝2sin 4x+π6．
(2)函数f (x)＝2sin 4x+π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝2sin 2x+π6的图象，
再向左平移π6个单位长度可得
g(x)＝2sin 2x+π6+π6＝2cs 2x的图象，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得－π2＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
所以g(x)的单调递增区间为-π2+kπ，kπ(k∈Z)．
(3)因为方程g(x)＝m＋2在x∈0，9π8上有两个不同的实根，
函数g(x)＝2cs 2x，x∈0，9π8的图象如图所示．
由图可知－2＜m＋2≤2或m＋2＝2，
解得－4＜m≤2－2或m＝0.
所以实数m的取值范围为(－4，2－2]∪{0}．