人教A版普通高中数学一轮复习68课时练习含答案

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(1)计算x的值；
(2)采用按比例分层随机抽样的方法从成绩在[80，90)，[90，100]的两组中共抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记X为这3人中成绩落在[80，90)的人数，求X的分布列和期望．
解：(1)由题图可知0.005×10＋0.010×10＋0.015×10＋10x＋0.040×10＝1，所以x＝0.030.
(2)由题可知，7人中成绩在[80，90)，[90，100]的人数分别为3，4，所以X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝C43C73＝435，P(X＝1)＝C31C42C73＝1835，P(X＝2)＝C32C41C73＝1235，P(X＝3)＝C33C73＝135，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97．
2．(2024·深圳模拟)某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设xi表示第i天的平均气温，yi表示第i天参与活动的人数，i＝1，2，…，20，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：
eq \i\su(i＝1,20, )(xi－ eq \x\t(x))2＝80， eq \i\su(i＝1,20, )(yi－ eq \x\t(y))2＝9 000， eq \i\su(i＝1,20, )(xi－ eq \x\t(x))(yi－ eq \x\t(y))＝800.
(1)根据所给数据，用相关系数r判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；(精确到0.01)
(2)现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为310，B家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为13，14，16，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白兔价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？
附：相关系数r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\r(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))2\i\su(i＝1,n, )(yi－\x\t(y))2))．
解：(1)由题意可知，
r＝ eq \f(\i\su(i＝1,20, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\r(\i\su(i＝1,20, )(xi－\x\t(x))2\i\su(i＝1,20, )(yi－\x\t(y))2))
＝ eq \f(800,\r(80×9 000))
＝223≈0.94，
故可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)设A家庭中套中小白兔的人数为X1，则X1～B3，310，
所以E(X1)＝3×310＝910．
设A家庭的盈利为X2元，则X2＝40X1－60，
所以E(X2)＝40E(X1)－60＝－24.
设B家庭中套中小白兔的人数为Y1，
则Y1的所有可能取值为0，1，2，3，
P(Y1＝0)＝23×34×56＝512，
P(Y1＝1)＝13×34×56＋23×14×56＋23×34×16＝3172，
P(Y1＝2)＝13×14×56＋13×34×16＋23×14×16＝536，
P(Y1＝3)＝13×14×16＝172，
所以E(Y1)＝0×512＋1×3172＋2×536＋3×172＝34．
设B家庭的盈利为Y2元，则Y2＝40Y1－60，
所以E(Y2)＝40E(Y1)－60＝40×34－60＝－30.
因为－24＞－30，所以B家庭的损失较大．
3．某学校共有3 000名学生，其中男生1 800人，为了解该校学生在校的月消费情况，采取比例分配的分层随机抽样的方式抽取100名学生进行调查，先统计他们某月的消费金额，然后按“男生、女生”分成两组，再分别将两组学生的月消费金额(单位：元)分成5组：[300，400)，[400，500)，[500，600)，[600，700)，[700，800]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)将月消费金额不低于600元的学生称为“高消费群”．请你根据已知条件完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析该校学生属于“高消费群”是否与性别有关．
单位：人
(2)用样本估计总体，将调查所得到的频率视为概率，现从该校中每次随机抽取1名学生，共抽取4次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的4名学生中属于“高消费群”的人数为X，求X的均值E(X)和方差D(X)．
解：(1)由题意可得，抽取的100人中有男生60人，女生40人．根据题意及频率分布直方图可得2×2列联表如下：
单位：人
零假设为H0：该校学生属于“高消费群”与性别无关．
由列联表中数据得χ2＝100×15×20-45×20260×40×35×65＝60091≈6.593＞3.841＝x0.05，
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校学生属于“高消费群”与性别有关，该推断犯错误的概率不大于0.05.
(2)用样本估计总体，则从学校中随机抽取1名学生是“高消费群”的概率为35100＝720，所以X～B4，720，
所以E(X)＝4×720＝75，D(X)＝4×720×1-720＝91100．
4．(2024·福州模拟)某网红店推出A，B两种不同风味的饮品．为了研究消费者性别和饮品偏好的关联性，店主调查了首次到店的消费者，整理得到如下列联表：
单位：人
(1)请画出等高堆积条形图，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断首次到店消费者的性别与饮品风味偏好是否有关联．如果结论是性别与饮品风味偏好有关联，请解释它们之间如何相互影响．
(2)店主进一步调查发现：女性消费者若前一次选择A饮品，则下一次选择A，B两种饮品的概率分别为13，23；若前一次选择B饮品，则下一次选择A，B两种饮品的概率分别为23，13；如此循环下去，求女性消费者前三次选择A，B两种饮品的数学期望，并解释其实际含义．
解：(1)对于A饮品：女性消费者的频率为60100＝0.6，男性消费者的频率为40100＝0.4，
对于B饮品：女性消费者的频率为40100＝0.4，男性消费者的频率为60100＝0.6，
可得等高堆积条形图，如下图所示．
零假设为H0：首次到店消费者的性别与饮品风味偏好无关．
由列联表中数据得χ2＝200×60×60-40×402100×100×100×100＝8＞6.635＝x0.01，
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为首次到店消费者的性别与饮品风味偏好有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
可知首次到店消费者中女性消费者更青睐于A饮品，男性消费者更青睐于B饮品．
(2)由题意可知，女性消费者第一次选择A，B两种饮品的概率分别为60100＝35，40100＝25．
设前三次选择A饮品的次数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
因为P(X＝0)＝25×13×13＝245，
P(X＝1)＝35×23×13＋25×23×23＋25×13×23＝25，
P(X＝2)＝35×13×23＋35×23×23＋25×23×13＝2245，
P(X＝3)＝35×13×13＝115，
所以X的分布列为
所以X的期望E(X)＝0×245＋1×25＋2×2245＋3×115＝7145．
设前三次选择B饮品的次数为Y，则Y＝3－X，所以Y的期望E(Y)＝3－E(X)＝3－7145＝6445，
即女性消费者前三次中，平均有7145次选择A饮品，有6445次选择B饮品．
X
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135
性别
是否属于“高消费群”
合计
属于
不属于
男
女
合计
性别
是否属于“高消费群”
合计
属于
不属于
男
15
45
60
女
20
20
40
合计
35
65
100
性别
种类
合计
A饮品
B饮品
女
60
40
100
男
40
60
100
合计
100
100
200
X
0
1
2
3
P
245
25
2245
115