人教A版普通高中数学一轮复习22课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习22课时练习含答案，共8页。试卷主要包含了若cs ＝－12，则等内容，欢迎下载使用。

1．(多选题)若cs (π－α)＝－12，则( )
A．sin (－α)＝32
B．sin π2+α＝－32
C．cs (π＋α)＝－12
D．cs (α－π)＝－12
CD 解析：由cs (π－α)＝－12，得cs α＝12，则sin α＝±32．
A．sin (－α)＝－sin α＝±32，所以不正确．
B．sin π2+α＝cs α＝12，所以不正确．
C．cs (π＋α)＝－cs α＝－12，所以正确．
D．cs (α－π)＝cs (π－α)＝－12，所以正确．
故选CD.
2．(2024·冀州模拟)若sin 5π2+α＝15，则cs (π＋α)＝( )
A．－25 B．－15
C．15D．25
B 解析：因为sin 5π2+α＝sin 2π+π2+α＝sin π2+α＝cs α＝15，
所以cs (π＋α)＝－cs α＝－15．
3．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，若sin A+B−C2＝sin A−B+C2，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
C 解析：因为sin A+B−C2＝sin A−B+C2，A＋B＋C＝π，
所以sin π−2C2＝sin π−2B2，可得cs C＝cs B.
又因为B，C∈(0，π)，
所以C＝B，c＝b，则△ABC一定是等腰三角形．
4．(多选题)(2024·青岛模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝15，则下列结论正确的是( )
A．sin θ＝45B．cs θ＝－35
C．tan θ＝－34D．sin θ－cs θ＝75
ABD 解析：由题意知sin θ＋cs θ＝15，
所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝125，
所以2sin θcs θ＝－2425＜0.
又因为θ∈(0，π)，所以π2＜θ＜π，
所以sin θ－cs θ＞0，
所以sin θ－cs θ＝1−2sinθcsθ＝1−−2425＝4925＝75，所以sin θ＝45，cs θ＝－35．所以tan θ＝－43．故A，B，D正确．
5．已知sin 3π2−α＋cs (π－α)＝sin α，则2sin2α－sinαcs α等于( )
A．2110B．32
C．32D．2
D 解析：由诱导公式可得sin α＝sin 3π2−α＋cs (π－α)＝－2cs α，所以tan α＝－2，所以2sin2α－sinαcs α＝2sin2α−sinαcsαsin2α+cs2α2tan2α−tanαtan2α+1105＝2.
6．已知sinπ2+α＝－45，那么tan α·sin α＝ ．
－920 解析：因为sin π2+α＝－45，所以cs α＝－45，sin2α＝1－cs2α＝1－1625＝925，所以tanα·sin α＝sin2αcsα925−45＝－920．
7．已知sin −π2−αcs −7π2+α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝ ，cs α＝ ．
35 45 解析：sin −π2−αcs −7π2+α＝－cs α·(－sin α)＝sin αcs α＝1225．因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cs α.又因为sin2α＋cs2α＝1，所以sinα＝35，cs α＝45．
8．(2024·长沙模拟)已知sin π4−α＝35，且π4－α为第二象限角，则sin α−13π4＋sin α+21π4＝ ．
75 解析：因为sin π4−α＝35，且π4－α为第二象限角，所以cs π4−α＝－45，
所以sin α−13π4＋sin α+21π4
＝sin α+3π4＋sin α−3π4
＝sin π4−α－cs π4−α
＝35－−45＝75．
9．已知α为第三象限角，f (α)＝sinα−π2·cs3π2+α·tanπ−αtan−α−π·sin−α−π．
(1)化简f (α)；
(2)若cs α−3π2＝15，求f (α)的值．
解：(1)f (α)＝sinα−π2·cs3π2+α·tanπ−αtan−α−π·sin−α−π
＝−csα·sinα·−tanα−tanα·sinα＝－cs α.
(2)因为cs α−3π2＝15，
所以－sin α＝15，
从而sin α＝－15．
又α为第三象限角，
所以cs α＝－1−sin2α＝－265，
所以f (α)＝－csα＝265．
10．(2024·郑州模拟)已知角α∈−π2，0，且tan2α－3tanαsin α－4sin2α＝0，则sin(α＋2 023π)等于( )
A．154B．14
C．－34D．－154
A 解析：因为tan2α－3tanαsin α－4sin2α＝0，所以(tanα－4sin α)(tan α＋sin α)＝0.因为α∈−π2，0，所以tan α＜0且sin α＜0，所以tan α－4sin α＝0，即sinαcsα＝4sin α，所以cs α＝14，所以sin α＝－1−cs 2α＝－154，
所以sin (α＋2 023π)＝－sin α＝154．
11．(数学与生活)黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上的工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”．如果把这个数字设为a，则sin aπ2+π6等于( )
A．12 B．－12
C．32D．－32
D 解析：根据数字黑洞的定义，任取数字2 021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123……
所以数字黑洞为123，即a＝123，
所以sin aπ2+π6＝sin 123π2+π6
＝－cs π6＝－32．
12．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝154B．cs (π＋β)＝14
C．tan β＝15D．tan β＝155
AC 解析：因为sin (π＋α)＝－sin α＝－14，
所以sin α＝14，cs α＝±154．若α＋β＝π2，则β＝π2－α.
A中，sin β＝sin π2−α＝cs α＝±154，故A符合条件；
B中，cs (π＋β)＝－cs π2−α＝－sin α＝－14，故B不符合条件；
C中，tan β＝15，即sin β＝15cs β，又sin2β＋cs2β＝1，故sinβ＝±154，故C符合条件；
D中，tan β＝155，即sin β＝155cs β，又sin2β＋cs2β＝1，故sinβ＝±64，故D不符合条件．
13．(2023·全国乙卷)若θ∈0，π2，tan θ＝12，则sin θ－cs θ＝ ．
－55 解析：因为θ∈0，π2，则sin θ＞0，cs θ＞0.
又因为tan θ＝sinθcsθ＝12，则cs θ＝2sin θ，
所以cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sin θ＝－55(舍去)，
所以sin θ－cs θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55．
14．是否存在α∈−π2，π2，β∈(0，π)使等式sin (3π－α)＝2cs π2−β，3cs (－α)＝－2cs (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得sinα=2sinβ①，3csα=2csβ②，
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2，
所以sin2α＝12，所以sinα＝±22．
因为α∈−π2，π2，所以α＝±π4．
当α＝π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立；
当α＝－π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝π4，β＝π6使等式同时成立．
15．已知f (x)＝cs2nπ+x·sin2nπ−xcs22n+1π−x(n∈Z)．
(1)化简f (x)的表达式；
(2)求f π2018＋f 504π1 009的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f (x)＝cs22kπ+x·sin22kπ−xcs22×2k+1π−x
＝cs2x·sin2−xcs2π−x＝cs2x·−sinx2−csx2＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f (x)＝cs22k+1π+x·sin22k+1π−xcs22×2k+1+1π−x
＝cs22kπ+π+x·sin22kπ+π−xcs22×2k+1π+π−x
＝cs2π+x·sin2π−xcs2π−x
＝−csx2sin2x−csx2
＝sin2x.
综上可得f (x)＝sin2x.
(2)由(1)得f π2018＋f 504π1 009
＝sin2π2018＋sin21008π2 018
＝sin2π2018＋sin2π2−π2018
＝sin2π2018＋cs2π2018＝1.