人教A版普通高中数学一轮复习23课时练习含答案

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1．(2024·海口模拟)若tan α·tan β＝2，则csα−βcsα+β的值为( )
A．－3B．－13
C．13D．3
A 解析：由题意，得csα−βcsα+β＝csαcsβ+sinαsinβcsαcsβ−sinαsinβ＝1+tanαtanβ1−tanαtanβ＝1+21−2＝－3.
2．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点P12，32，现将角α的终边按逆时针方向旋转π3，记此时角α的终边与单位圆交于点Q，则点Q的坐标为( )
A．−32，12B．−12，32
C．(1，0)D．(0，1)
B 解析：由三角函数的定义知，sin α＝32，cs α＝12，将角α的终边按逆时针方向旋转π3所得的角为α＋π3，故点Q的横坐标为cs α+π3＝cs αcs π3－sin αsin π3＝－12，
点Q的纵坐标为sin α+π3＝sin αcs π3＋cs αsin π3＝32，故点Q的坐标为−12，32．
3．(数学与文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若4m2＋n＝16，则mn2cs227°−1的值为( )
A．1B．2
C．4D．8
C 解析：因为m＝2sin18°，
由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cs218°，
所以mn2cs227°−1＝2sin18°·4cs18°cs54°4sin36°cs54°＝4cs54°cs54°＝4.
4．已知α，β∈π3，5π6，若sin α+π6＝45，cs β−5π6＝513，则sin (α－β)的值为( )
A．1665 B．3365
C．5665 D．6365
A 解析：由题意可得α＋π6∈π2，π，β－5π6∈−π2，0，所以cs α+π6＝－35，sin β−5π6＝－1213，
所以sin (α－β)＝－sin α+π6−β−5π6＝－45×513＋−35×−1213＝1665．
5．(多选题)(2024·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
A．cs (－15°)＝6−24
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝18
C．cs (α－35°)cs (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝－12
D．2sin 18°cs 36°＝12
BD 解析：对于A，cs (－15°)＝cs 15°＝cs (45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝6+24，所以A错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°·cs 15°＝12sin 15°cs 15°＝14sin 30°＝18，所以B正确；
对于C，cs (α－35°)cs (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝cs [(α－35°)－(25°＋α)]＝cs (－60°)＝cs 60°＝12，所以C错误；
对于D，2sin 18°cs 36°＝2cs 72°cs 36°＝2×sin144°2sin72°×sin72°2sin36°＝sin36°2sin36°＝12，所以D正确．
6．sin12°2cs212°−13−tan12°＝ ．
18 解析：因为sin12°2cs 212°−13−tan12°＝sin12°cs12°cs24°3cs12°−sin12°＝14sin48°2sin48°＝18．
7．(2024·威海模拟)已知α∈π，3π2，若tan α+π3＝－2，则cs α+π12＝ ．
－1010 解析：因为α∈π，3π2，则α＋π3∈4π3，11π6．又tan α+π3＝－2＜0，故α＋π3∈3π2，11π6，则cs α+π3＝55，sin α+π3＝－255，
故cs α+π12＝cs α+π3−π4＝cs α+π3·cs π4＋sin α+π3sin π4＝55×22＋−255×22＝－1010．
8．已知sin α＝210，cs β＝31010，且α，β为锐角，则α＋2β＝ ．
π4 解析：因为sin α＝210，且α为锐角，所以cs α＝1−sin2α＝1−2100＝7210．因为csβ＝31010，且β为锐角，所以sin β＝1−cs2β＝1−90100＝1010，那么sin2β＝2sin βcs β＝2×1010×31010＝35，cs 2β＝1－2sin2β＝1－2×10102＝45，所以cs(α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β＝7210×45－210×35＝22．因为α∈0，π2，β∈0，π2，所以2β∈(0，π)，所以α＋2β∈0，3π2，故α＋2β＝π4．
9．已知2sin α＝2sin2α2－1.
(1)求sin αcs α＋cs 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈0，π2，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值．
解：(1)由已知得2sin α＝－cs α，所以tan α＝－12，则sin αcs α＋cs 2α＝sinαcsα+cs2α−sin2αsin2α+cs2α＝tanα+1−tan2αtan2α+115．
(2)由tan2β－6tanβ＝1，可得tan 2β＝2tanβ1−tan2β＝－13，则tan(α＋2β)＝tanα+tan2β1−tanαtan2β＝−12−131−−12×−13＝－1.
因为β∈0，π2，所以2β∈(0，π)．
又tan 2β＝－13＞－33，则2β∈5π6，π．
因为α∈(0，π)，tan α＝－12＞－33，则α∈5π6，π，则α＋2β∈5π3，2π，所以α＋2β＝7π4．
10．(数学与生活)所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作cs (A，B)，余弦距离为1－cs (A，B)．已知P(cs α，sin α)，Q(cs β，sin β)，R(cs α，－sin α)，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，则tan α·tan β＝( )
A．17 B．14
C．4D．7
A 解析：由OP＝(cs α，sin α)，OQ＝(cs β，sin β)，OR＝(cs α，－sin α)，
得cs (P，Q)＝OP·OQOPOQ＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs (α－β)，
cs (Q，R)＝OQ·OROQOR＝cs αcs β－sin αsin β＝cs (α＋β)，
所以1−csα−β=13，1−csα+β=12，故csα−β=23，csα+β=12，
则csα−βcsα+β＝csαcsβ+sinαsinβcsαcsβ−sinαsinβ＝1+tanαtanβ1−tanαtanβ＝43，整理得tan αtan β＝17．
11．(2024·1月九省适应性测试)已知θ∈3π4，π，tan 2θ＝－4tan θ+π4，则1+sin2θ2cs2θ+sin2θJY]( )
A．14 B．34
C．1D．32
A 解析：由tan 2θ＝－4tan θ+π4，
得2tanθ1−tan2θ＝−4tanθ+11−tanθ－4(tan θ＋1)2＝2tan θ，
即(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0，解得tan θ＝－2或tan θ＝－12．
因为θ∈3π4，π，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－12，
故1+sin2θ2cs2θ+sin2θsin2θ+cs2θ+2sinθcsθ2cs2θ+2sinθcsθtan^2 θ+1+2tanθ)/(2+2tan θ)〗＝14+1−12−1＝14．
故选A．
12．(多选题)(2024·武汉模拟)下列结论正确的是( )
A．sin (α－β)sin (β－γ)－cs (α－β)cs (γ－β)＝cs (α－γ)
B．315sin x＋35cs x＝35sin x+π6
C．f (x)＝sin x2＋cs x2的最大值为2
D．sin 50°(1＋3tan 10°)＝1
CD 解析：对于A，左边＝－[cs (α－β)·cs (β－γ)－sin (α－β)sin (β－γ)]＝－cs [(α－β)＋(β－γ)]＝－cs (α－γ)，故A错误；
对于B，315sin x＋35cs x＝65·32sinx+12csx＝65sin x+π6，故B错误；
对于C，f (x)＝sin x2＋cs x2＝2sin x2+π4，
所以f (x)的最大值为2，故C正确；
对于D，由sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·1+3×sin10°cs10°＝sin 50°·cs10°+3sin10°cs10°＝2sin50°cs50°cs10°＝sin100°cs10°＝cs10°cs10°＝1，故D正确．
13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴的非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝55，点B的横坐标是－7210．
(1)求cs (α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)由题意知，OA＝OM＝1，
则有S△OAM＝12OA·OM·sin α＝55，解得sin α＝255．
又α为锐角，则cs α＝1−sin2α＝55．
因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是－7210，则csβ＝－7210，sin β＝1−cs2β＝210，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝55×−7210＋255×210＝－1010．
(2)由(1)知sin α＝255，cs α＝55，sin β＝210，cs β＝－7210，
则sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
＝255×−7210－55×210＝－31010，
从而sin (2α－β)＝sin [α＋(α－β)]
＝sin αcs (α－β)＋cs αsin (α－β)
＝255×−1010＋55×−31010＝－22．
因为α为锐角，sin α＝255＞22，则有α∈π4，π2，2α∈π2，π．
又β∈π2，π，因此2α－β∈−π2，π2，所以2α－β＝－π4．
14．已知△ABC不是直角三角形，且在△ABC中，sin A sin B sin (C－θ)＝λsin2C，其中tanθ＝340＜θ＜π2．
(1)若tan C＝2，λ＝1，求1tanA＋1tanB的值．
(2)是否存在λ，使得1tanA＋1tanB＋2tanC为定值？若存在，求出λ的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由tan θ＝340＜θ＜π2，可得sin θ＝35，cs θ＝45．
由λ＝1，得sin A sin B sin (C－θ)＝sin2C，则sinA sin B·45sinC−35csC＝sin2C.由tanC＝2，可得sin C＝ 255，
所以sin A sin B＝tanCsinC45tanC−35＝455，
所以1tanA＋1tanB＝csAsinA＋csBsinB＝sinCsinAsinB＝12．
(2)存在．由(1)得sin A sin B·45sinC−35csC＝λsin2C，即1λ45sinC−35csC＝sin2CsinAsinB．又由1tanA＋1tanB＋2tanC＝sinCsinAsinB＋2csCsinC＝sin2CsinAsinsinC＋2csCsinC＝1sinC×1λ·45sinC−35csC＋2csCsinC＝1λ×45－1λ×35×csCsinC＋2csCsinC＝k(令其定值为k)，
即4sin C－3cs C＋10λcs C＝5λk sin C恒成立，可得4=5λk，3=10λ，解得k＝83，λ＝310．
故存在λ＝310，使得1tanA＋1tanB＋2tanC为定值，其定值为83．