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第14章 统计 章末题型归纳总结
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第14章 统计 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：抽样方法的选取及应用经典题型二：频率分布直方图经典题型三：用样本的取值规律估计总体的取值规律经典题型四：百分位数经典题型五：统计图表经典题型六：用样本的集中趋势、离散程度估计总体模块三：数学思想与方法①分类与整合思想②等价转换思想③函数与方程思想模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题经典题型一：抽样方法的选取及应用例1．（2024·高一·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（ ）41792 71635 86089 32157 95620 92109 2914574955 82835 98378 83513 47870 20799 32122A．29 B．21 C．14 D．09【答案】A【解析】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去），95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29.故最终取得的第6个数字为29.故选：A例2．（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）庚子新春，病毒肆虐，某老师为了了解某班50个同学在家学习期间上课、休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，，50．利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（ ）7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 1 9 83 1 0 4 9 2 3 1 4 9 3 5 8 2 0 9 3 6 2 4 4 8 6 9 6 9 3 8 7 4 8 1A．25 B．24 C．29 D．19【答案】C【解析】从随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为25，第二个数为30，第三个数为24，第四个数为29.故选：C.例3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）A．①②都采用简单随机抽样B．①②都采用分层随机抽样C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样【答案】C【解析】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样.故选：C.例4．（2024·高一·河南驻马店·期末）我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ）A．50 B．60 C．70 D．80【答案】B【解析】应抽取一年级的人数为人.故选：B例5．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）为了调查某校学生的视力情况，在全校1700名学生中随机抽取了150名学生，下列说法正确的是（ ）A．此次调查属于全面调查 B．样本容量是150C．1700名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体【答案】B【解析】对于A，此次调查是调查某校学生的视力情况，不属全面调查，A错误；对于B，样本容量是150，B正确；对于C，全校1700名学生的视力情况是总体，C错误；对于D，被抽取的每一名学生的视力情况为个体，D错误.故选：B例6．（2024·高一·江西·阶段练习）某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（ ）A．90 B．120 C．140 D．150【答案】D【解析】解法一：设该地区老年艺术团的总人数为x，由分层抽样知识可知，，解得，故选：D．解法二：抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，故所求总人数为，故选：D．例7．（2024·高二·山西·学业考试）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ ）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【解析】根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为，故选：B．经典题型二：频率分布直方图例8．（2024·高一·全国·专题练习）某单位名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.(1)补全表格中的数据（不需要写过程）；(2)现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，求从第组分别抽取的人数；【解析】（1）由频率分步直方图可知，，两组的人数与组的人数相等，均为人，第3组的人数是第一组人数的4倍，为人，第4组的人数是第一组人数的3倍，为人所以，表格中的数据为：第2组的人数为20人，第3组的人数为80人，第4组的人数为60人，第5组的人数为20人.（2）由频率分布表和频率分布直方图知：第1组的频率为，第2组的频率为，第3组的频率为，第组的人数比为，要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，所以，年龄第组人数分别是1人，1人，4人.例9．（2024·高一·全国·随堂练习）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表；(2)估计数据落在中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表（2），所以数据落在中的概率约为0.47.（3）设水库中鱼的总条数约为条，则，即，所以水库中鱼的总条数约为2000条.例10．（2024·高一·全国·课时练习）随机抽取的20名学生一周内的跑步累计千米数，在各区间内的频数记录如下表：(1)一周内的跑步累计千米数大于25.5的学生占据了学生总人数的比例大致是______；(2)如果全校有1000名学生，那么有大约______名同学一周内的跑步累计千米数不足20.5；(3)画出学生一周内的跑步累计千米数的频率分布直方图和频率分布折线图．【解析】（1）由频数分布表可得一周内的跑步累计千米数大于的学生占据了学生总人数的比例大致是；（2）样本中一周内的跑步累计千米数不足的有，占样本的，所以估计全校名学生中大约有人一周内的跑步累计千米数不足；（3）依题意可得内的频率为，内的频率为，内的频率为，内的频率为，内的频率为，内的频率为，内的频率为；所以可画图如下：例11．（2024·高一·全国·单元测试）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：(1)完成频率分布表，并估计纤度落在中的占比及纤度小于1.40的占比；(2)在给定的坐标系中画出频率分布直方图．（请自行标注纵坐标）【解析】（1）由已知频数求各组对应频率，得频率直方表如下：纤度落在中的占比为，纤度小于1.40的占比．（2）频率分布直方图如下：例12．（2024·高二·河南郑州·阶段练习）某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组:[20，30），[30，40）…，[90，100]，整理得到如下频率分布直方图：(1)求图中a的值；(2)已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为4：3，求总体中男生人数和女生人数.【解析】（1）依题意，，解得.（2）样本中，分数不低于的人数为人，其中男生人，女生人.所以，样本中男生人数为人，女生为人.所以总体中，男生人数为人，女生人数为人.例13．（2024·高一·全国·课时练习）如图所示的是总体的一个样本频率直方图，且在内的频数为8．(1)求样本在内的频率；(2)求样本容量；(3)若在内的小矩形面积为0.06，求样本在内的频数．【解析】（1）由题中样本频率直方图可知组距为3；由题中样本频率直方图得样本在内的频率为；（2）样本在内的频数为8，频率为，∴样本容量为 ；（3）∵在内的小矩形面积为0.06，∴样本在内的频率为0.06，故样本在内的频数为，又在内的频数为8，∴在内的频数为；综上，样本在内的频率为 ，样本容量为50，在内的频数为39.例14．（2024·高三·全国·专题练习）新能源共享汽车入驻某地一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解新能源共享汽车使用者的年龄段､使用频率､满意度三个方面的信息，在全市范围内发放5000份调查问卷.现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段､26~35岁使用者的使用频率､26~35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表（一）表（二）表（三）(1)依据上述表格完成下列三个统计图形；(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26~35岁之间，每月使用新能源共享汽车在7~14次的人数.【解析】（1）根据表中数据得：（2）由题中表（一），知样本中26~35岁使用者的人数为40人，占总抽取人数的一半，所以，用样本估计总体，该城区30万人口中在26~35岁的人数约（万人）；又样本中在26~35岁使用者每月使用新能源共享汽车在7~14次的有10人，占总抽取人数的，所以，用样本估计总体，该城区26~35岁的15万人中每月使用新能源共享汽车7~14次的约有（万人）.所以，估计该城区26~35岁常住人口中每月使用新能源共享汽车7~14次的人数约为3.75万.经典题型三：用样本的取值规律估计总体的取值规律例15．（2024·高一·湖南长沙·期末）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b.(1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值．【解析】（1）由题意可得 .解得，.由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为吨.（2）因为前6组的频率和为，前5组的频率和为.所以，由，解得，所以估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．例16．（2024·高一·河南·期末）某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：(1)补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；(2)根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；(3)根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.【解析】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：（2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为；样本数据分布在之间的频率为.设样本数据的中位数为，则，且有，解得，即样本数据的中位数约为29.2.（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元.例17．（2024·高二·四川成都·阶段练习）九洪某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示： (1)估计这组数据的平均数；(2)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香瓜以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?【解析】（1）故这组数据的平均数估计为克.（2）方案①收入：（元）；方案②收入：（元）；由于，所以选择方案②获利更多.例18．（2024·高一·全国·课堂例题）某公司全体职工的月工资如下：(1)试求出该公司月工资数据中的众数、中位数和平均数．(2)你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的工资水平？(3)对于职工月工资数据的平均数、中位数和众数，你认为该公司总经理、普通员工及应聘者将分别关注哪一个？说说你的理由．【解析】（1）在上述80个数据中，2000出现了22次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是2000．把这80个数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数是2000，2500，因此这组数据的中位数是．这组数据的平均数为．我们把这组数据的众数、中位数、平均数表示在图6.4-1中．（2）由于大多数员工的月工资达不到平均数3115，显然用平均数作为该公司员工月工资的代表值并不合适；众数2000及中位数2250在一定程度上代表了大多数人的工资水平，较能反映月工资水平的实际情况．（3）公司总经理最关心的是月工资的总额，所以他关注的是平均数；普通员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入处于什么样的水平；应聘者最想知道公司发给大多数员工的工资数额，这也是一般应聘者将会拿到的工资，因此应聘者关注的是该公司月工资的众数．例19．（2024·高一·云南文山·期末）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉.在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如图所示频率分布直方图. (1)求出直方图中的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个.【解析】（1）由，得（2）平均数，（3）由频率分布直方图可知，100个口罩中二等品， ，一等品有60个由分层抽样可知，设抽取的5个口罩中一等品个，则，得,二等品2个,所以一等品和二等品分别有3个和2个.例20．（2024·高一·云南文山·期末）某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图估计该市50%的居民年用水量不超过m吨（保留整数），求m的值(2)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少?（每组数据以所在区间的中点值为代表）．【解析】（1）在200户居民年用水量频率分布直方图中，前5组频率之和为0.03＋0.08＋0.15＋0.22＋0.24＝0.72，前4组频率之和为0.03＋0.08＋0.15＋0.22＝0.48，所以40＜m＜50，由，解得．（2）由题可知区间，，，内的居民年用水量分别取55，65，75，85为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，则（元），所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元．例21．（2024·高一·宁夏·期末）某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励．图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图． (1)请根据频率分布直方图，求m的值，并求出该天运动步数不少于15000步的人数；(2)估计全体职工在该天运动步数的众数、平均数和中位数；(3)如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．【解析】（1）由图可知，解得；所以该天运动步数不少于15000的人数为（人）；（2）众数是（千步）；全体职工在该天的平均步数为：（千步）由于前两组频率之和为，前三组频率之和为，故设中位数为x，则，即中位数是：（千步）（3）因为，，假设甲的步数为千步，乙的步数为千步，由频率分布直方图可得：，解得（千步），，解得（千步），所以可得出是星期二的频率分布直方图．例22．（2024·高一·河南安阳·期末）某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数．(1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 74812976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 23228303 9822 5888 2410 1158 2729 6443 2943(2)已知甲班的样本平均数为，方差为，两班总的样本平均数为，方差为．（i）求乙班的样本平均数和方差；（ii）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．（如果，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异）【解析】（1）根据分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为，在随机数表中依次读取的编号为，48，38，29，34，13，28，41，42，24，19，编号从小到大依次为，13，19，24，28，29，34，38，41，42，48，所以抽出的学生编号的中位数为．（2）（i）依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由分层随机抽样的平均数和方差的公式，得，因此，，即，解得，所以，.（ii）因为，因此，所以两班学生的英语成绩有明显差异．例23．（2024·高一·辽宁·期末）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将20只小鼠均分为两组：对照组（不加药物）和实验组（加药物）.测得20只小鼠体重（单位：）如下：对照组：实验组：对照组和实验组的小鼠体重的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.(1)求；(2)判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用（若，则认为该药物对小鼠的生长有显著的抑制作用，否则不认为有显著的抑制作用）.【解析】（1），（2）依题意，，，所以该药物对小鼠的生长没有显著的抑制作用.例24．（2024·高一·陕西渭南·期末）数字乡村是乡村振兴的战略方向，也是建设数字中国的重要内容.从乡村民宿到旅游演艺，新技术应用带来了乡村文化旅游新体验.某平台为了助力数字乡村发展，决定从100名员工中挑选30名员工组建“数字乡村发展部”，对这100名员工的各项素质进行综合评分，得到如下频数分布表：(1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图，(2)估计这100名员工各项素质分数的平均数与方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(3)若该平台准备挑选成绩较好的员工组建“数字乡村发展部”，则被挑选的员工分数不低于多少？【解析】（1）由题知，频率分布表为所以频率直方图如图，（2）由题知，平均数为，方差为，（3）因为从100名员工中挑选30名员工组建“数字乡村发展部”，又准备挑选成绩较好的员工组建“数字乡村发展部”，所以应选成绩为70百分位数及其后的分数的员工，设70百分位数为，由，得到，所以被挑选的员工分数不低于.例25．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．(1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；(2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差．【解析】（1）依题意，，得，各组的频率依次为，平均数为分，中位数为分．（2）分数在区间内的人数为，分数在区间内的人数为，所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分，方差为.例26．（2024·高二·四川成都·阶段练习）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；(2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则）【解析】（1）设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则， 解得．（2）记抽取的总样本的平均数为，可得，所以抽取的总样本的平均数为．男生样本的平均数为，样本方差为；女生样本的平均数为，样本方差为；记总样本的样本方差为，则所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16．例27．（2024·高二·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图：(1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；(2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好.【解析】（1）由题：甲厂轮胎宽度的平均值为：；乙厂轮胎宽度的平均值为：；所以甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194.（2）由题，甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：，其平均数为：，其方差为：；乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：，其平均数为：，其方差为：；从平均数上来看：乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定.例28．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个.为挑选优秀团队，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个.(1)应从大三团队中抽取多少个团队？(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差，并分析应选择哪一组参赛，理由是什么？【解析】（1）由题意知，大三团队个数占总团队个数的，则应从大三中抽取 (个)团队．（2）甲组成绩的平均数，乙组成绩的平均数，甲组数据的方差 ，乙组数据的方差，选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但，由此可以估计甲组比乙组成绩稳定；选乙组理由：，在比赛中，估计获胜的可能性大．例29．（2024·高三·陕西榆林·期中）（1）已知甲乙两名同学的某次体育项目测试成绩分别为：甲：10，13，12，14，16.乙：13，14，12，12，14.求甲乙两人成绩的平均数与方差，比较谁的成绩更稳定.（2）某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差.【解析】（1）设甲同学的平均分为，方差为；乙同学的平均分为，方差为；，，，，因为，所以乙同学的成绩较稳定.（2）由题意，样本平均数为，所以样本方差为：.经典题型四：百分位数例30．（2024·高二·上海·期末）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的序号为 .（写出全部正确的序号）①中位数为90，平均数为89；②极差为30，方差为58.③70百分位数为92；④去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小【答案】①②④【解析】对于①,10个分数从小到大进行排列后，第5个和第6个数的平均值为，即中位数为90，这10个数的平均值为，故①正确；对于②，这10个数的极差为，方差为故②正确；对于③，由于，所以70百分位数是第7个数和第8个数的平均数，即，故③错误；对于④，去掉一个最低分和一个最高分的平均数为，平均数变大，方差为，方差变小，故④正确，故答案为：①②④.例31．（2024·高三·广东·学业考试）已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，则数据的第50百分位数是 ．【答案】31【解析】一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31， 故 = 31，解得．，数据的第50百分位数是.故答案为：.例32．（2024·高二·黑龙江大庆·阶段练习）互不相等的4个正整数从小到大排序为，，，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的上四分位数为 .【答案】【解析】这组数据的极差，中位数为，据题意得，即，又它们的和为12，所以，解得，.因为，，为正整数且互不相等，所以，，.所以排列顺序为：1,2,3,6；，所以上四分位数为：.故答案为：例33．（2024·云南昭通·模拟预测）军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）【答案】8（答案不唯一）【解析】设第8次射击的结果是x环，依题意，，解得，当时，8次射击的结果由小到大排列为，由，得8次射击环数的75%分位数为，显然符合题意，即，当时，8次射击的结果由小到大排列为，8次射击环数的75%分位数为，由，解得，无解，所以，此人第8次射击的结果可能是8环.故答案为：8例34．（2024·高一·全国·专题练习）某校从参加高一物理期末考试的学生中随机抽出60名，将其物理成绩（均为整数）分成六组：，并绘制成如下的频率分布直方图.由此估计此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为 . 【答案】82【解析】前4组的小矩形的面积和为，前5组的小矩形的面积和为，设第75百分位数为，此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为.故答案为：82.例35．（2024·高一·云南昆明·期末）从某地随机抽取100户居民进行月用电量调查，每户居民的月用电量都在至之间，分组后画出频率分布直方图如下，则根据直方图估计该地居民月用电量的第80百分位数为 . 【答案】220【解析】依题意，由频率分布直方图可知该地居民月用电量在和的频率和为：，则前三组频率和为：，所以样本第80百分位数在区间中，则.故答案为：220例36．（2024·高一·湖北·期末）一组数据23，76，45，37，58，16，28，15，20的第25百分位数是 ．【答案】20【解析】先将数据从小到大排列为：15，16，20，23，28，37，45，58，76.共9个数据.，因不是整数，大于的毗邻整数为3，故第3个数据20为第25百分位数.故答案为：20例37．（2024·高三·河北邯郸·期末）近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识.2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修.教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划.为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是 .【答案】9【解析】设5个数据分别为.由题意可得：.由于5个数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20.由解得：或4；由解得：或8，故样本数据为4,6,7,8,10.因为，所以样本数据的第80百分位数为.故答案为：9例38．（2024·高一·广东清远·期末）互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 .【答案】2【解析】这组数据的极差，中位数为，据题意得，即，又它们的和为12，所以，解得，.因为a1，a2，a3为正整数且互不相等，所以.因为，所以这4个数据的第40百分位数为.故答案为：2例39．（2024·高一·江苏徐州·期中）某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，17.则这组数据的90百分位数是 .【答案】17【解析】因为，所以90百分位数是第14个数据为17.故答案为：17.例40．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为 .【答案】350【解析】由题意可得，解得，由知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.故答案为：350经典题型五：统计图表例41．（多选题）（2024·全国·模拟预测）某商户收集并整理了其在2023年1月到8月线上和线下收入的数据，并绘制如图所示的折线图，则下列结论正确的是（ ）A．该商户这8个月中，月收入最高的是7月B．该商户这8个月的线上总收人低于线下总收入C．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月D．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是【答案】ACD【解析】对于A：该商户这8个月中，计算可得月收入分别为16万元，13.5万元，16万元，17万元，17万元，16万元，20万元，17.5万元，月收入最高的是7月，A正确； 对于B：该商户这8个月的线上总收入为72万元，线下总收入为61万元，B错误；对于C：根据折线图可看出线上、线下收入折线距离最近的时7月份，即该商户这8个月中线上、线下收入相差最小的是7月，C正确；对于D：根据A选项可知该商户这8个月中，月收入不少于17万元的有4个月，故所求频率为，D正确．故选：ACD例42．（多选题）（2024·高二·湖北·学业考试）随着我国高水平对外开放持续提速，2022年货物进出口再创新高，首次突破42万亿元．根据下图判断，下列说法正确的是（ ） A．从2018年开始，货物进口额逐年增大B．从2018年开始，货物进出口总额逐年增大C．从2018年开始，2020年的货物进出口总额增长率最小D．从2018年开始，2021年的货物进出口总额增长率最大【答案】BCD【解析】由图可知年的货物进口额小于年的货物进口额，故A错误；年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，所以从年开始，货物进出口总额逐年增大，故B正确；其中年的货物进出口总额增长率为，年的货物进出口总额增长率为，年的货物进出口总额增长率为，年的货物进出口总额增长率为，所以从年开始，年的货物进出口总额增长率最小，故C正确；从年开始，年的货物进出口总额增长率最大，故D正确；故选：BCD例43．（多选题）（2024·高三·河北秦皇岛·开学考试）下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营业总收入及增速统计情况：2017年到2022年6月国有企业营业总收入及增速统计图 根据图中的信息，下列说法错误的是（ ）A．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加B．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降C．2017-2021年中，我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年D．2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元【答案】ABD【解析】由图知.2022年下半年我国国有企业营业总收入及增速未知，故A、B错误；2017-2021年中，我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年，为，C正确；2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数小于630000亿元．D错误．故选：ABD．例44．（多选题）（2024·高一·全国·单元测试）CPI是居民消费价格指数的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图是根据国家统计局发布的2018年6月—2019年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比 ），根据该折线图，则下列结论错误的是（ ） A．2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌B．2019年2月至6月CPI只跌不涨C．2019年3月以来，CPI在缓慢增长D．2018年8月与同年12月相比较，8月环比更大【答案】ABC【解析】A选项，2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI均是上涨的，故A错误；B选项，2019年2月CPI是增长的，故B错误；C选项，2019年3月以来，CPI是下跌的，故C错误；D选项，2018年8月CPI环比增长0.4%，12月环比增长0.3%，故D正确．故选：ABC.例45．（多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为，2019年居民消费价格月度涨跌幅度如下图所示.（同比=，环比=）下列结论中正确的有（ ）A．2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B．2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C．2019年全年的居民消费价格比2018年涨了以上D．2019年3月份的居民消费价格全年最低【答案】ABC【解析】对A，由折线图知，从2019年每月的环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A正确；对B，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B正确；对C，从2019年每月的同比增长率看，，则2019年1～12月的同比数据均值超过，进而估计出2019年全年的居民消费价格比2018年涨了以上，故C正确；对D，不妨设1月份的居民消费价格为，故可得2月份的居民消费价格为，同理可得3月份的居民消费价格， 而4月份的居民消费价格为，5月份的居民消费价格和4月份的居民消费价格相同，6月份的居民消费价格为，而后面每个月都是增长的，即1月份的居民消费价格是最低的，故D错误.故选：ABC.例46．（多选题）（2024·高一·河南安阳·期末）某商店为了解该店铺商品的销售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析，绘制了折线统计图，如图．下列结论正确的有（ ） A．该产品的年销量逐年增加B．该产品各年的月销量高峰期大致都在8月C．该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加D．该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳【答案】ABD【解析】对于A，产品销量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确;对于B，由折线统计图可知，各年的产品销量高峰期大致都在8月，故B正确;对于C，2019年8月至9月该产品月销量呈下降趋势，故C错误;对于D，由折线统计图可知，该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月，波动性更小、变化更平稳，故D正确．故选：ABD．例47．（多选题）（2024·高一·广东佛山·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元【答案】ACD【解析】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例，故A正确由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的不到五成，B错误由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为，周岁以上参保人数最少比例为，周岁以上人群人均参保费用,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D正确故选：ACD．经典题型六：用样本的集中趋势、离散程度估计总体例48．（2024·高一·全国·随堂练习）为了解两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）：轮胎；轮胎．(1)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的平均数和中位数；(2)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的极差和标准差；(3)根据以上数据，你认为哪种轮胎性能更加稳定？【解析】（1）轮胎行驶的最远里程的平均数为：, 中位数为：； 轮胎行驶的最远里程的平均数为：, 中位数为：.（2）轮胎行驶的最远里程的极差为：， 标准差为： 轮胎行驶的最远里程的极差为：， 标准差为：（3）由于和的最远行驶里程的平均数相同，而轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以轮胎性能更加稳定.例49．（2024·高一·山西吕梁·阶段练习）某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.(1)求，，，；(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由.【解析】（1），，，.（2）由可得，两个品种平均产量相等，又，则品种产量较稳定，故选择品种.例50．（2024·高三·广东江门·阶段练习）在一个文艺比赛中,由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组,给参赛选手打分.打分均采用100分制,下面是三组评委对选手小明的打分:(1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值;(2)你能依据(1)的度量值判断小组A,B与C中哪一个更象是由专业人士组成的吗？(3)已知选手小华专业评审得分的平均数和方差分别为,,媒体评审得分的平均数和方差分别为,,大众评审得分的平均数和方差分别为,,将这30名评审的平均分作为最终得分,求该选手最终的得分和方差.【解析】（1）（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性,方差越小,相似程度越高.小组的平均数,小组的方差,小组B的平均数,小组B的方差,小组C的平均数,小组C的方差.（2）由于专业评委给分更符合专业规则,相似程度应该高,即方差小,因而C组评委更像是专业人士组成的.（3）小华的得分分.方差,,.模块三：数学思想方法分类与整合思想例51．（2024·广东广州·高二统考期末）为了解学生体育锻炼情况，某学校随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数据统计，得到如下折线图：下列说法正确的是（ ）A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大【答案】A【解析】对这两个班级一周内每天的人均体育锻炼时间分别排列（单位：分钟）.将班级甲的数据由小到大排列为；将班级乙的数据由小到大排列为.对于A，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差为，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差为，故A正确；对于B，根据以上排序可知班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B错误；对于C，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，故C错误；对于D，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数为，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的平均数为，所以班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的小，故D错误.故选:A例52．（2024·陕西·高考真题）某商场有四类食品，其中粮食类､植物油类､动物性食品类以及果蔬类分别有40种､10种､30种､20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选：C.例53．（2024·广东清远·高二校考期中）某校现有高一学生630人，高二学生810人，高三学生900人，学校用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n个学生进行视力情况的调查，如果已知从高二的学生中抽取的人数为90人，那么样本容量（ ）A．180 B．260 C．300 D．320【答案】B【解析】由题知，高一，高二，高三的学生人数之比为，故选：例54．（2024·高一课时练习）为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.下面有四个推断：①这200名学生阅读量的平均数可能是26本；②这200名学生阅读量的分位数在区间内；③这200名学生的初中生阅读量的中位数一定在区间内；④ 这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.所有合理推断的序号是__________.【答案】②③④【解析】在①中,这200名学生阅读量的平均数为: ，所以这200名学生阅读量的平均数不可能是26本，故①错误;在②中，，阅读量在的人数有人，在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的分位数在区间内，故②正确；在③中，设在区间内的初中生人数为，则，当时，初中生总人数为人，，此时区间内有25人，区间内有36人，所以中位数在内，当时，初中生总人数为人，，区间内有人，区间内有36人，所以中位数在内，所以当区间内人数取最小值和最大值时，中位数都在内，所在这200名学生的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故③正确；在④中，设在区间内的初中生人数为，则，当时，初中生总人数为116人，，此时区间有25人，区间有36人，所以分位数在内，当时，初中生总人数为131人，，区间有人，所以分位数在内，所以这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内，故④正确.故答案为：② ③④例55．（2024·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）互不相等的5个正整数从小到大排序为1，，，，，若它们的和为18，且其分位数是分位数的2倍，则的值为_________．【答案】【解析】因为，所以这组数据的分位数为，同理可知这组数据的分位数为，据题意有，若，则这5个数为1，3，，6，，由，，，知，不满足题意，所以，则这5个数为1，2，，4，，由，，知，由，知．故答案为：.例56．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期中）某手机网络研发公司为解决各种技术问题成了一个专业技术研发团队，该团队中数学专业毕业与物理专业毕业的人数之比为，按分层抽样的方法从团队中随机抽取了60人进行问卷调查.进行统计后将这60人按数学专业、物理专业分为两组，再将每组人员每天使用手机进行测试的时间（单位：分钟）分为，，，，5组，得到如图所示的频率分布直方图（假设所抽取的人员每天使用手机进行测试的时间均不超过50分钟）.（1）求出数学专业组频率分布直方图中的值；（2）求抽取的60人中每天使用手机进行测试的时间不少于30分钟的人数.【解析】（1）由题意得，数学专业组频率分布直方图中所有组的频率和为1，所以则有，解得.（2）60人中数学专业人数为、物理专业人数为，则根据图中计算出的频率可得抽取的60人中每天使用手机进行测试的时间不少于30分钟的人数为.即抽取的60人中每天使用手机进行测试的时间不少于30分钟的人数为25.等价转换思想例57．（2024·江苏宿迁·高一统考期末）已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为（ ）A．12，8 B．12，4 C．6，8 D．6，4【答案】A【解析】不妨，则，且，，所以数据极差为12.数据的方差为：=8.故选：A.例58．（2024·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考阶段练习）李大伯承包了一个果园，种植了棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为（ ）A．千克，元 B．千克，元C．千克，元 D．千克，元【答案】C【解析】由题意，知此果园平均每棵树所产樱桃的质量是：（千克），所以棵樱桃树所产樱桃的质量是：（千克），又樱桃的批发价格为每千克元，所以千克的樱桃所得的总收入为：（元）.故选：C.例59．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，若且，则（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，，所以，即，故A正确；由，所以，B选项正确；由，，又，，所以所以，故D选项正确，C错误.故选：ABD.例60．（2024·上海·高三校联考阶段练习）某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是___．【答案】8.5【解析】党员人数一共有，，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16和17个数分别为8，9，所以第40百分位数是，故答案为：8.5例61．（2024·山西·高二统考学业考试）如图是甲､乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是______.①若甲､乙射击成绩的平均数分别为，则②若甲､乙射击成绩的方差分别为，则③乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数④乙比甲的射击成绩稳定【答案】③④【解析】由图可知甲的射击成绩为9、10、6、7、9、8，乙的射击成绩为6、7、5、5、7、7.甲､乙射击成绩的平均数分别，则，，所以，所以①错误；从甲、乙射击成绩看，甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，即，所以②错误；甲的射击成绩从小到大排序为6、7、8、9、9、10，则中位数为8.5，乙的射击成绩从小到大排序为5、5、6、7、7、7，则中位数为6.5，所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数，所以③正确；因为乙的成绩比较集中，所以乙比甲的射击成绩稳定，所以④正确.故答案为：③④函数与方程思想例62．（2024·陕西渭南·统考二模）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，…，共个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”应是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意得：由于所以是关于的二次函数，因此当即时，取得最小值.故选：A.例63．（2024·全国·高一专题练习）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（ ）A．320石 B．160石 C．80石 D．60石【答案】B【解析】依题意，设这批米内所夹的谷有石，则，解得，所以估计这批米内所夹的谷有石.故选：B.例64．（2024·河南·高三校联考开学考试）某班统计某次数学测验的平均分与方差（成绩不完全相同），计算完后才发现有位同学的分数录入了两次，只好重算一次．已知第一次计算所得平均分和方差分别为，，第二次计算所得平均分和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】设这个班有个同学，分数分别是，，，…，，假设第个同学的成绩录入了两次，第一次计算时，总分是，方差为；第二次计算时，，方差为．故有，．故选：B例65．（2024·天津河北·统考二模）某班同学进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p，a的值分别为（ ）A．，20 B．，40C．，60 D．，80【答案】C【解析】第一组人数为人，由频率分布直方图可得第一组频率为，所以，所以第三组200人，第四组人，第五组100人，第六组50人，所以第二组300人，.故选：C例66．（2024·全国·高三开学考试）十九大首次将“劳”写入社会主义教育方针之中．唐中为了深入贯彻“五育”（德智体美劳）精神，分批组织学生去西夏区某工厂进行劳动实践活动．该工厂主要生产内径为的汽车配件，厂技术员提供给学生50个样本数据如下：（单位：） 这里用表示有n件尺寸为的零件．（1）求这50件零件内径尺寸的平均数；（2）设这50件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在内的件数．（参考数据：取）【解析】（1）法一：；法二：即：.（2）因为，所以，则，所以这50件零件内径尺寸在内的件数为，故该厂1000件零件中其内径尺寸在内的件数约为． 区间人数20分组频率0.050.200.280.300.150.02区间频数1235432分组频数频率4253029102合计100分组频数频率40.04250.25300.3290.29100.120.02合计1001使用者年龄段25岁及以下26岁~35岁36岁~45岁46岁及以上人数20401010使用频率0~6次/月7~14次/月15~22次/月23~31次/月人数510205满意度非常满意（9~10）满意（8~9）一般（7~8）不满意（6~7）人数1510105单量/单人数100120130180220150603010日单量/单类別普通骑手精英骑手王牌骑手装备价格/元250040004800月工资/元18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126分数频数10304020分数频数频率频率/组距100.10.01300.30.03400.40.04200.20.02（单位）55505060708080808590（单位）45606080755580807095小组A85918793888497949586小组B84879296899592919490小组C95899596979392908994序号质量/千克党史学习时间（小时）7891011党员人数610987
第14章 统计 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：抽样方法的选取及应用经典题型二：频率分布直方图经典题型三：用样本的取值规律估计总体的取值规律经典题型四：百分位数经典题型五：统计图表经典题型六：用样本的集中趋势、离散程度估计总体模块三：数学思想与方法①分类与整合思想②等价转换思想③函数与方程思想模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题经典题型一：抽样方法的选取及应用例1．（2024·高一·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（ ）41792 71635 86089 32157 95620 92109 2914574955 82835 98378 83513 47870 20799 32122A．29 B．21 C．14 D．09【答案】A【解析】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去），95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29.故最终取得的第6个数字为29.故选：A例2．（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）庚子新春，病毒肆虐，某老师为了了解某班50个同学在家学习期间上课、休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，，50．利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（ ）7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 1 9 83 1 0 4 9 2 3 1 4 9 3 5 8 2 0 9 3 6 2 4 4 8 6 9 6 9 3 8 7 4 8 1A．25 B．24 C．29 D．19【答案】C【解析】从随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为25，第二个数为30，第三个数为24，第四个数为29.故选：C.例3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）A．①②都采用简单随机抽样B．①②都采用分层随机抽样C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样【答案】C【解析】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样.故选：C.例4．（2024·高一·河南驻马店·期末）我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ）A．50 B．60 C．70 D．80【答案】B【解析】应抽取一年级的人数为人.故选：B例5．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）为了调查某校学生的视力情况，在全校1700名学生中随机抽取了150名学生，下列说法正确的是（ ）A．此次调查属于全面调查 B．样本容量是150C．1700名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体【答案】B【解析】对于A，此次调查是调查某校学生的视力情况，不属全面调查，A错误；对于B，样本容量是150，B正确；对于C，全校1700名学生的视力情况是总体，C错误；对于D，被抽取的每一名学生的视力情况为个体，D错误.故选：B例6．（2024·高一·江西·阶段练习）某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（ ）A．90 B．120 C．140 D．150【答案】D【解析】解法一：设该地区老年艺术团的总人数为x，由分层抽样知识可知，，解得，故选：D．解法二：抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，故所求总人数为，故选：D．例7．（2024·高二·山西·学业考试）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ ）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【解析】根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为，故选：B．经典题型二：频率分布直方图例8．（2024·高一·全国·专题练习）某单位名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.(1)补全表格中的数据（不需要写过程）；(2)现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，求从第组分别抽取的人数；【解析】（1）由频率分步直方图可知，，两组的人数与组的人数相等，均为人，第3组的人数是第一组人数的4倍，为人，第4组的人数是第一组人数的3倍，为人所以，表格中的数据为：第2组的人数为20人，第3组的人数为80人，第4组的人数为60人，第5组的人数为20人.（2）由频率分布表和频率分布直方图知：第1组的频率为，第2组的频率为，第3组的频率为，第组的人数比为，要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，所以，年龄第组人数分别是1人，1人，4人.例9．（2024·高一·全国·随堂练习）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表；(2)估计数据落在中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表（2），所以数据落在中的概率约为0.47.（3）设水库中鱼的总条数约为条，则，即，所以水库中鱼的总条数约为2000条.例10．（2024·高一·全国·课时练习）随机抽取的20名学生一周内的跑步累计千米数，在各区间内的频数记录如下表：(1)一周内的跑步累计千米数大于25.5的学生占据了学生总人数的比例大致是______；(2)如果全校有1000名学生，那么有大约______名同学一周内的跑步累计千米数不足20.5；(3)画出学生一周内的跑步累计千米数的频率分布直方图和频率分布折线图．【解析】（1）由频数分布表可得一周内的跑步累计千米数大于的学生占据了学生总人数的比例大致是；（2）样本中一周内的跑步累计千米数不足的有，占样本的，所以估计全校名学生中大约有人一周内的跑步累计千米数不足；（3）依题意可得内的频率为，内的频率为，内的频率为，内的频率为，内的频率为，内的频率为，内的频率为；所以可画图如下：例11．（2024·高一·全国·单元测试）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：(1)完成频率分布表，并估计纤度落在中的占比及纤度小于1.40的占比；(2)在给定的坐标系中画出频率分布直方图．（请自行标注纵坐标）【解析】（1）由已知频数求各组对应频率，得频率直方表如下：纤度落在中的占比为，纤度小于1.40的占比．（2）频率分布直方图如下：例12．（2024·高二·河南郑州·阶段练习）某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组:[20，30），[30，40）…，[90，100]，整理得到如下频率分布直方图：(1)求图中a的值；(2)已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为4：3，求总体中男生人数和女生人数.【解析】（1）依题意，，解得.（2）样本中，分数不低于的人数为人，其中男生人，女生人.所以，样本中男生人数为人，女生为人.所以总体中，男生人数为人，女生人数为人.例13．（2024·高一·全国·课时练习）如图所示的是总体的一个样本频率直方图，且在内的频数为8．(1)求样本在内的频率；(2)求样本容量；(3)若在内的小矩形面积为0.06，求样本在内的频数．【解析】（1）由题中样本频率直方图可知组距为3；由题中样本频率直方图得样本在内的频率为；（2）样本在内的频数为8，频率为，∴样本容量为 ；（3）∵在内的小矩形面积为0.06，∴样本在内的频率为0.06，故样本在内的频数为，又在内的频数为8，∴在内的频数为；综上，样本在内的频率为 ，样本容量为50，在内的频数为39.例14．（2024·高三·全国·专题练习）新能源共享汽车入驻某地一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解新能源共享汽车使用者的年龄段､使用频率､满意度三个方面的信息，在全市范围内发放5000份调查问卷.现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段､26~35岁使用者的使用频率､26~35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表（一）表（二）表（三）(1)依据上述表格完成下列三个统计图形；(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26~35岁之间，每月使用新能源共享汽车在7~14次的人数.【解析】（1）根据表中数据得：（2）由题中表（一），知样本中26~35岁使用者的人数为40人，占总抽取人数的一半，所以，用样本估计总体，该城区30万人口中在26~35岁的人数约（万人）；又样本中在26~35岁使用者每月使用新能源共享汽车在7~14次的有10人，占总抽取人数的，所以，用样本估计总体，该城区26~35岁的15万人中每月使用新能源共享汽车7~14次的约有（万人）.所以，估计该城区26~35岁常住人口中每月使用新能源共享汽车7~14次的人数约为3.75万.经典题型三：用样本的取值规律估计总体的取值规律例15．（2024·高一·湖南长沙·期末）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b.(1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值．【解析】（1）由题意可得 .解得，.由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为吨.（2）因为前6组的频率和为，前5组的频率和为.所以，由，解得，所以估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．例16．（2024·高一·河南·期末）某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：(1)补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；(2)根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；(3)根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.【解析】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：（2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为；样本数据分布在之间的频率为.设样本数据的中位数为，则，且有，解得，即样本数据的中位数约为29.2.（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元.例17．（2024·高二·四川成都·阶段练习）九洪某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示： (1)估计这组数据的平均数；(2)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香瓜以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?【解析】（1）故这组数据的平均数估计为克.（2）方案①收入：（元）；方案②收入：（元）；由于，所以选择方案②获利更多.例18．（2024·高一·全国·课堂例题）某公司全体职工的月工资如下：(1)试求出该公司月工资数据中的众数、中位数和平均数．(2)你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的工资水平？(3)对于职工月工资数据的平均数、中位数和众数，你认为该公司总经理、普通员工及应聘者将分别关注哪一个？说说你的理由．【解析】（1）在上述80个数据中，2000出现了22次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是2000．把这80个数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数是2000，2500，因此这组数据的中位数是．这组数据的平均数为．我们把这组数据的众数、中位数、平均数表示在图6.4-1中．（2）由于大多数员工的月工资达不到平均数3115，显然用平均数作为该公司员工月工资的代表值并不合适；众数2000及中位数2250在一定程度上代表了大多数人的工资水平，较能反映月工资水平的实际情况．（3）公司总经理最关心的是月工资的总额，所以他关注的是平均数；普通员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入处于什么样的水平；应聘者最想知道公司发给大多数员工的工资数额，这也是一般应聘者将会拿到的工资，因此应聘者关注的是该公司月工资的众数．例19．（2024·高一·云南文山·期末）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉.在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如图所示频率分布直方图. (1)求出直方图中的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个.【解析】（1）由，得（2）平均数，（3）由频率分布直方图可知，100个口罩中二等品， ，一等品有60个由分层抽样可知，设抽取的5个口罩中一等品个，则，得,二等品2个,所以一等品和二等品分别有3个和2个.例20．（2024·高一·云南文山·期末）某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图估计该市50%的居民年用水量不超过m吨（保留整数），求m的值(2)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少?（每组数据以所在区间的中点值为代表）．【解析】（1）在200户居民年用水量频率分布直方图中，前5组频率之和为0.03＋0.08＋0.15＋0.22＋0.24＝0.72，前4组频率之和为0.03＋0.08＋0.15＋0.22＝0.48，所以40＜m＜50，由，解得．（2）由题可知区间，，，内的居民年用水量分别取55，65，75，85为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，则（元），所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元．例21．（2024·高一·宁夏·期末）某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励．图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图． (1)请根据频率分布直方图，求m的值，并求出该天运动步数不少于15000步的人数；(2)估计全体职工在该天运动步数的众数、平均数和中位数；(3)如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．【解析】（1）由图可知，解得；所以该天运动步数不少于15000的人数为（人）；（2）众数是（千步）；全体职工在该天的平均步数为：（千步）由于前两组频率之和为，前三组频率之和为，故设中位数为x，则，即中位数是：（千步）（3）因为，，假设甲的步数为千步，乙的步数为千步，由频率分布直方图可得：，解得（千步），，解得（千步），所以可得出是星期二的频率分布直方图．例22．（2024·高一·河南安阳·期末）某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数．(1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 74812976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 23228303 9822 5888 2410 1158 2729 6443 2943(2)已知甲班的样本平均数为，方差为，两班总的样本平均数为，方差为．（i）求乙班的样本平均数和方差；（ii）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．（如果，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异）【解析】（1）根据分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为，在随机数表中依次读取的编号为，48，38，29，34，13，28，41，42，24，19，编号从小到大依次为，13，19，24，28，29，34，38，41，42，48，所以抽出的学生编号的中位数为．（2）（i）依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由分层随机抽样的平均数和方差的公式，得，因此，，即，解得，所以，.（ii）因为，因此，所以两班学生的英语成绩有明显差异．例23．（2024·高一·辽宁·期末）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将20只小鼠均分为两组：对照组（不加药物）和实验组（加药物）.测得20只小鼠体重（单位：）如下：对照组：实验组：对照组和实验组的小鼠体重的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.(1)求；(2)判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用（若，则认为该药物对小鼠的生长有显著的抑制作用，否则不认为有显著的抑制作用）.【解析】（1），（2）依题意，，，所以该药物对小鼠的生长没有显著的抑制作用.例24．（2024·高一·陕西渭南·期末）数字乡村是乡村振兴的战略方向，也是建设数字中国的重要内容.从乡村民宿到旅游演艺，新技术应用带来了乡村文化旅游新体验.某平台为了助力数字乡村发展，决定从100名员工中挑选30名员工组建“数字乡村发展部”，对这100名员工的各项素质进行综合评分，得到如下频数分布表：(1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图，(2)估计这100名员工各项素质分数的平均数与方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(3)若该平台准备挑选成绩较好的员工组建“数字乡村发展部”，则被挑选的员工分数不低于多少？【解析】（1）由题知，频率分布表为所以频率直方图如图，（2）由题知，平均数为，方差为，（3）因为从100名员工中挑选30名员工组建“数字乡村发展部”，又准备挑选成绩较好的员工组建“数字乡村发展部”，所以应选成绩为70百分位数及其后的分数的员工，设70百分位数为，由，得到，所以被挑选的员工分数不低于.例25．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．(1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；(2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差．【解析】（1）依题意，，得，各组的频率依次为，平均数为分，中位数为分．（2）分数在区间内的人数为，分数在区间内的人数为，所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分，方差为.例26．（2024·高二·四川成都·阶段练习）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；(2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则）【解析】（1）设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则， 解得．（2）记抽取的总样本的平均数为，可得，所以抽取的总样本的平均数为．男生样本的平均数为，样本方差为；女生样本的平均数为，样本方差为；记总样本的样本方差为，则所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16．例27．（2024·高二·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图：(1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；(2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好.【解析】（1）由题：甲厂轮胎宽度的平均值为：；乙厂轮胎宽度的平均值为：；所以甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194.（2）由题，甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：，其平均数为：，其方差为：；乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：，其平均数为：，其方差为：；从平均数上来看：乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定.例28．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个.为挑选优秀团队，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个.(1)应从大三团队中抽取多少个团队？(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差，并分析应选择哪一组参赛，理由是什么？【解析】（1）由题意知，大三团队个数占总团队个数的，则应从大三中抽取 (个)团队．（2）甲组成绩的平均数，乙组成绩的平均数，甲组数据的方差 ，乙组数据的方差，选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但，由此可以估计甲组比乙组成绩稳定；选乙组理由：，在比赛中，估计获胜的可能性大．例29．（2024·高三·陕西榆林·期中）（1）已知甲乙两名同学的某次体育项目测试成绩分别为：甲：10，13，12，14，16.乙：13，14，12，12，14.求甲乙两人成绩的平均数与方差，比较谁的成绩更稳定.（2）某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差.【解析】（1）设甲同学的平均分为，方差为；乙同学的平均分为，方差为；，，，，因为，所以乙同学的成绩较稳定.（2）由题意，样本平均数为，所以样本方差为：.经典题型四：百分位数例30．（2024·高二·上海·期末）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的序号为 .（写出全部正确的序号）①中位数为90，平均数为89；②极差为30，方差为58.③70百分位数为92；④去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小【答案】①②④【解析】对于①,10个分数从小到大进行排列后，第5个和第6个数的平均值为，即中位数为90，这10个数的平均值为，故①正确；对于②，这10个数的极差为，方差为故②正确；对于③，由于，所以70百分位数是第7个数和第8个数的平均数，即，故③错误；对于④，去掉一个最低分和一个最高分的平均数为，平均数变大，方差为，方差变小，故④正确，故答案为：①②④.例31．（2024·高三·广东·学业考试）已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，则数据的第50百分位数是 ．【答案】31【解析】一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31， 故 = 31，解得．，数据的第50百分位数是.故答案为：.例32．（2024·高二·黑龙江大庆·阶段练习）互不相等的4个正整数从小到大排序为，，，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的上四分位数为 .【答案】【解析】这组数据的极差，中位数为，据题意得，即，又它们的和为12，所以，解得，.因为，，为正整数且互不相等，所以，，.所以排列顺序为：1,2,3,6；，所以上四分位数为：.故答案为：例33．（2024·云南昭通·模拟预测）军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）【答案】8（答案不唯一）【解析】设第8次射击的结果是x环，依题意，，解得，当时，8次射击的结果由小到大排列为，由，得8次射击环数的75%分位数为，显然符合题意，即，当时，8次射击的结果由小到大排列为，8次射击环数的75%分位数为，由，解得，无解，所以，此人第8次射击的结果可能是8环.故答案为：8例34．（2024·高一·全国·专题练习）某校从参加高一物理期末考试的学生中随机抽出60名，将其物理成绩（均为整数）分成六组：，并绘制成如下的频率分布直方图.由此估计此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为 . 【答案】82【解析】前4组的小矩形的面积和为，前5组的小矩形的面积和为，设第75百分位数为，此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为.故答案为：82.例35．（2024·高一·云南昆明·期末）从某地随机抽取100户居民进行月用电量调查，每户居民的月用电量都在至之间，分组后画出频率分布直方图如下，则根据直方图估计该地居民月用电量的第80百分位数为 . 【答案】220【解析】依题意，由频率分布直方图可知该地居民月用电量在和的频率和为：，则前三组频率和为：，所以样本第80百分位数在区间中，则.故答案为：220例36．（2024·高一·湖北·期末）一组数据23，76，45，37，58，16，28，15，20的第25百分位数是 ．【答案】20【解析】先将数据从小到大排列为：15，16，20，23，28，37，45，58，76.共9个数据.，因不是整数，大于的毗邻整数为3，故第3个数据20为第25百分位数.故答案为：20例37．（2024·高三·河北邯郸·期末）近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识.2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修.教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划.为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是 .【答案】9【解析】设5个数据分别为.由题意可得：.由于5个数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20.由解得：或4；由解得：或8，故样本数据为4,6,7,8,10.因为，所以样本数据的第80百分位数为.故答案为：9例38．（2024·高一·广东清远·期末）互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 .【答案】2【解析】这组数据的极差，中位数为，据题意得，即，又它们的和为12，所以，解得，.因为a1，a2，a3为正整数且互不相等，所以.因为，所以这4个数据的第40百分位数为.故答案为：2例39．（2024·高一·江苏徐州·期中）某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，17.则这组数据的90百分位数是 .【答案】17【解析】因为，所以90百分位数是第14个数据为17.故答案为：17.例40．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为 .【答案】350【解析】由题意可得，解得，由知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.故答案为：350经典题型五：统计图表例41．（多选题）（2024·全国·模拟预测）某商户收集并整理了其在2023年1月到8月线上和线下收入的数据，并绘制如图所示的折线图，则下列结论正确的是（ ）A．该商户这8个月中，月收入最高的是7月B．该商户这8个月的线上总收人低于线下总收入C．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月D．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是【答案】ACD【解析】对于A：该商户这8个月中，计算可得月收入分别为16万元，13.5万元，16万元，17万元，17万元，16万元，20万元，17.5万元，月收入最高的是7月，A正确； 对于B：该商户这8个月的线上总收入为72万元，线下总收入为61万元，B错误；对于C：根据折线图可看出线上、线下收入折线距离最近的时7月份，即该商户这8个月中线上、线下收入相差最小的是7月，C正确；对于D：根据A选项可知该商户这8个月中，月收入不少于17万元的有4个月，故所求频率为，D正确．故选：ACD例42．（多选题）（2024·高二·湖北·学业考试）随着我国高水平对外开放持续提速，2022年货物进出口再创新高，首次突破42万亿元．根据下图判断，下列说法正确的是（ ） A．从2018年开始，货物进口额逐年增大B．从2018年开始，货物进出口总额逐年增大C．从2018年开始，2020年的货物进出口总额增长率最小D．从2018年开始，2021年的货物进出口总额增长率最大【答案】BCD【解析】由图可知年的货物进口额小于年的货物进口额，故A错误；年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，所以从年开始，货物进出口总额逐年增大，故B正确；其中年的货物进出口总额增长率为，年的货物进出口总额增长率为，年的货物进出口总额增长率为，年的货物进出口总额增长率为，所以从年开始，年的货物进出口总额增长率最小，故C正确；从年开始，年的货物进出口总额增长率最大，故D正确；故选：BCD例43．（多选题）（2024·高三·河北秦皇岛·开学考试）下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营业总收入及增速统计情况：2017年到2022年6月国有企业营业总收入及增速统计图 根据图中的信息，下列说法错误的是（ ）A．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加B．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降C．2017-2021年中，我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年D．2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元【答案】ABD【解析】由图知.2022年下半年我国国有企业营业总收入及增速未知，故A、B错误；2017-2021年中，我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年，为，C正确；2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数小于630000亿元．D错误．故选：ABD．例44．（多选题）（2024·高一·全国·单元测试）CPI是居民消费价格指数的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图是根据国家统计局发布的2018年6月—2019年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比 ），根据该折线图，则下列结论错误的是（ ） A．2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌B．2019年2月至6月CPI只跌不涨C．2019年3月以来，CPI在缓慢增长D．2018年8月与同年12月相比较，8月环比更大【答案】ABC【解析】A选项，2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI均是上涨的，故A错误；B选项，2019年2月CPI是增长的，故B错误；C选项，2019年3月以来，CPI是下跌的，故C错误；D选项，2018年8月CPI环比增长0.4%，12月环比增长0.3%，故D正确．故选：ABC.例45．（多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为，2019年居民消费价格月度涨跌幅度如下图所示.（同比=，环比=）下列结论中正确的有（ ）A．2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B．2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C．2019年全年的居民消费价格比2018年涨了以上D．2019年3月份的居民消费价格全年最低【答案】ABC【解析】对A，由折线图知，从2019年每月的环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A正确；对B，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B正确；对C，从2019年每月的同比增长率看，，则2019年1～12月的同比数据均值超过，进而估计出2019年全年的居民消费价格比2018年涨了以上，故C正确；对D，不妨设1月份的居民消费价格为，故可得2月份的居民消费价格为，同理可得3月份的居民消费价格， 而4月份的居民消费价格为，5月份的居民消费价格和4月份的居民消费价格相同，6月份的居民消费价格为，而后面每个月都是增长的，即1月份的居民消费价格是最低的，故D错误.故选：ABC.例46．（多选题）（2024·高一·河南安阳·期末）某商店为了解该店铺商品的销售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析，绘制了折线统计图，如图．下列结论正确的有（ ） A．该产品的年销量逐年增加B．该产品各年的月销量高峰期大致都在8月C．该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加D．该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳【答案】ABD【解析】对于A，产品销量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确;对于B，由折线统计图可知，各年的产品销量高峰期大致都在8月，故B正确;对于C，2019年8月至9月该产品月销量呈下降趋势，故C错误;对于D，由折线统计图可知，该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月，波动性更小、变化更平稳，故D正确．故选：ABD．例47．（多选题）（2024·高一·广东佛山·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元【答案】ACD【解析】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例，故A正确由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的不到五成，B错误由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为，周岁以上参保人数最少比例为，周岁以上人群人均参保费用,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D正确故选：ACD．经典题型六：用样本的集中趋势、离散程度估计总体例48．（2024·高一·全国·随堂练习）为了解两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）：轮胎；轮胎．(1)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的平均数和中位数；(2)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的极差和标准差；(3)根据以上数据，你认为哪种轮胎性能更加稳定？【解析】（1）轮胎行驶的最远里程的平均数为：, 中位数为：； 轮胎行驶的最远里程的平均数为：, 中位数为：.（2）轮胎行驶的最远里程的极差为：， 标准差为： 轮胎行驶的最远里程的极差为：， 标准差为：（3）由于和的最远行驶里程的平均数相同，而轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以轮胎性能更加稳定.例49．（2024·高一·山西吕梁·阶段练习）某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.(1)求，，，；(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由.【解析】（1），，，.（2）由可得，两个品种平均产量相等，又，则品种产量较稳定，故选择品种.例50．（2024·高三·广东江门·阶段练习）在一个文艺比赛中,由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组,给参赛选手打分.打分均采用100分制,下面是三组评委对选手小明的打分:(1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值;(2)你能依据(1)的度量值判断小组A,B与C中哪一个更象是由专业人士组成的吗？(3)已知选手小华专业评审得分的平均数和方差分别为,,媒体评审得分的平均数和方差分别为,,大众评审得分的平均数和方差分别为,,将这30名评审的平均分作为最终得分,求该选手最终的得分和方差.【解析】（1）（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性,方差越小,相似程度越高.小组的平均数,小组的方差,小组B的平均数,小组B的方差,小组C的平均数,小组C的方差.（2）由于专业评委给分更符合专业规则,相似程度应该高,即方差小,因而C组评委更像是专业人士组成的.（3）小华的得分分.方差,,.模块三：数学思想方法分类与整合思想例51．（2024·广东广州·高二统考期末）为了解学生体育锻炼情况，某学校随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数据统计，得到如下折线图：下列说法正确的是（ ）A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大【答案】A【解析】对这两个班级一周内每天的人均体育锻炼时间分别排列（单位：分钟）.将班级甲的数据由小到大排列为；将班级乙的数据由小到大排列为.对于A，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差为，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差为，故A正确；对于B，根据以上排序可知班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B错误；对于C，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，故C错误；对于D，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数为，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的平均数为，所以班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的小，故D错误.故选:A例52．（2024·陕西·高考真题）某商场有四类食品，其中粮食类､植物油类､动物性食品类以及果蔬类分别有40种､10种､30种､20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选：C.例53．（2024·广东清远·高二校考期中）某校现有高一学生630人，高二学生810人，高三学生900人，学校用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n个学生进行视力情况的调查，如果已知从高二的学生中抽取的人数为90人，那么样本容量（ ）A．180 B．260 C．300 D．320【答案】B【解析】由题知，高一，高二，高三的学生人数之比为，故选：例54．（2024·高一课时练习）为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.下面有四个推断：①这200名学生阅读量的平均数可能是26本；②这200名学生阅读量的分位数在区间内；③这200名学生的初中生阅读量的中位数一定在区间内；④ 这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.所有合理推断的序号是__________.【答案】②③④【解析】在①中,这200名学生阅读量的平均数为: ，所以这200名学生阅读量的平均数不可能是26本，故①错误;在②中，，阅读量在的人数有人，在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的分位数在区间内，故②正确；在③中，设在区间内的初中生人数为，则，当时，初中生总人数为人，，此时区间内有25人，区间内有36人，所以中位数在内，当时，初中生总人数为人，，区间内有人，区间内有36人，所以中位数在内，所以当区间内人数取最小值和最大值时，中位数都在内，所在这200名学生的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故③正确；在④中，设在区间内的初中生人数为，则，当时，初中生总人数为116人，，此时区间有25人，区间有36人，所以分位数在内，当时，初中生总人数为131人，，区间有人，所以分位数在内，所以这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内，故④正确.故答案为：② ③④例55．（2024·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）互不相等的5个正整数从小到大排序为1，，，，，若它们的和为18，且其分位数是分位数的2倍，则的值为_________．【答案】【解析】因为，所以这组数据的分位数为，同理可知这组数据的分位数为，据题意有，若，则这5个数为1，3，，6，，由，，，知，不满足题意，所以，则这5个数为1，2，，4，，由，，知，由，知．故答案为：.例56．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期中）某手机网络研发公司为解决各种技术问题成了一个专业技术研发团队，该团队中数学专业毕业与物理专业毕业的人数之比为，按分层抽样的方法从团队中随机抽取了60人进行问卷调查.进行统计后将这60人按数学专业、物理专业分为两组，再将每组人员每天使用手机进行测试的时间（单位：分钟）分为，，，，5组，得到如图所示的频率分布直方图（假设所抽取的人员每天使用手机进行测试的时间均不超过50分钟）.（1）求出数学专业组频率分布直方图中的值；（2）求抽取的60人中每天使用手机进行测试的时间不少于30分钟的人数.【解析】（1）由题意得，数学专业组频率分布直方图中所有组的频率和为1，所以则有，解得.（2）60人中数学专业人数为、物理专业人数为，则根据图中计算出的频率可得抽取的60人中每天使用手机进行测试的时间不少于30分钟的人数为.即抽取的60人中每天使用手机进行测试的时间不少于30分钟的人数为25.等价转换思想例57．（2024·江苏宿迁·高一统考期末）已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为（ ）A．12，8 B．12，4 C．6，8 D．6，4【答案】A【解析】不妨，则，且，，所以数据极差为12.数据的方差为：=8.故选：A.例58．（2024·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考阶段练习）李大伯承包了一个果园，种植了棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为（ ）A．千克，元 B．千克，元C．千克，元 D．千克，元【答案】C【解析】由题意，知此果园平均每棵树所产樱桃的质量是：（千克），所以棵樱桃树所产樱桃的质量是：（千克），又樱桃的批发价格为每千克元，所以千克的樱桃所得的总收入为：（元）.故选：C.例59．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，若且，则（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，，所以，即，故A正确；由，所以，B选项正确；由，，又，，所以所以，故D选项正确，C错误.故选：ABD.例60．（2024·上海·高三校联考阶段练习）某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是___．【答案】8.5【解析】党员人数一共有，，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16和17个数分别为8，9，所以第40百分位数是，故答案为：8.5例61．（2024·山西·高二统考学业考试）如图是甲､乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是______.①若甲､乙射击成绩的平均数分别为，则②若甲､乙射击成绩的方差分别为，则③乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数④乙比甲的射击成绩稳定【答案】③④【解析】由图可知甲的射击成绩为9、10、6、7、9、8，乙的射击成绩为6、7、5、5、7、7.甲､乙射击成绩的平均数分别，则，，所以，所以①错误；从甲、乙射击成绩看，甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，即，所以②错误；甲的射击成绩从小到大排序为6、7、8、9、9、10，则中位数为8.5，乙的射击成绩从小到大排序为5、5、6、7、7、7，则中位数为6.5，所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数，所以③正确；因为乙的成绩比较集中，所以乙比甲的射击成绩稳定，所以④正确.故答案为：③④函数与方程思想例62．（2024·陕西渭南·统考二模）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，…，共个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”应是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意得：由于所以是关于的二次函数，因此当即时，取得最小值.故选：A.例63．（2024·全国·高一专题练习）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（ ）A．320石 B．160石 C．80石 D．60石【答案】B【解析】依题意，设这批米内所夹的谷有石，则，解得，所以估计这批米内所夹的谷有石.故选：B.例64．（2024·河南·高三校联考开学考试）某班统计某次数学测验的平均分与方差（成绩不完全相同），计算完后才发现有位同学的分数录入了两次，只好重算一次．已知第一次计算所得平均分和方差分别为，，第二次计算所得平均分和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】设这个班有个同学，分数分别是，，，…，，假设第个同学的成绩录入了两次，第一次计算时，总分是，方差为；第二次计算时，，方差为．故有，．故选：B例65．（2024·天津河北·统考二模）某班同学进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p，a的值分别为（ ）A．，20 B．，40C．，60 D．，80【答案】C【解析】第一组人数为人，由频率分布直方图可得第一组频率为，所以，所以第三组200人，第四组人，第五组100人，第六组50人，所以第二组300人，.故选：C例66．（2024·全国·高三开学考试）十九大首次将“劳”写入社会主义教育方针之中．唐中为了深入贯彻“五育”（德智体美劳）精神，分批组织学生去西夏区某工厂进行劳动实践活动．该工厂主要生产内径为的汽车配件，厂技术员提供给学生50个样本数据如下：（单位：） 这里用表示有n件尺寸为的零件．（1）求这50件零件内径尺寸的平均数；（2）设这50件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在内的件数．（参考数据：取）【解析】（1）法一：；法二：即：.（2）因为，所以，则，所以这50件零件内径尺寸在内的件数为，故该厂1000件零件中其内径尺寸在内的件数约为． 区间人数20分组频率0.050.200.280.300.150.02区间频数1235432分组频数频率4253029102合计100分组频数频率40.04250.25300.3290.29100.120.02合计1001使用者年龄段25岁及以下26岁~35岁36岁~45岁46岁及以上人数20401010使用频率0~6次/月7~14次/月15~22次/月23~31次/月人数510205满意度非常满意（9~10）满意（8~9）一般（7~8）不满意（6~7）人数1510105单量/单人数100120130180220150603010日单量/单类別普通骑手精英骑手王牌骑手装备价格/元250040004800月工资/元18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126分数频数10304020分数频数频率频率/组距100.10.01300.30.03400.40.04200.20.02（单位）55505060708080808590（单位）45606080755580807095小组A85918793888497949586小组B84879296899592919490小组C95899596979392908994序号质量/千克党史学习时间（小时）7891011党员人数610987
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