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必修 第二册15.1 随机事件和样本空间优秀课时练习
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这是一份必修 第二册15.1 随机事件和样本空间优秀课时练习，文件包含151随机事件和样本空间三大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、151随机事件和样本空间三大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
知识点01 随机试验
1、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randmexperiment），简称试验，常用字母E表示．
2、随机试验的特点
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
【即学即练1】（2024·高一·全国·课时练习）下列变化中是周期现象的是（ ）
A．月球到太阳的距离与时间的函数关系
B．某同学每天上学的时间
C．某交通路口每次绿灯通过的车辆数
D．某同学每天打电话的时间
【答案】A
【解析】球到太阳的距离与时间的函数关系是周期现象，某同学每天上学的时间是随机现象，
某交通路口每次绿灯通过的车辆数是随机现象，某同学每天打电话的时间也是随机现象，
故选：A.
知识点02 样本空间
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间．
【即学即练2】（2024·高一·全国·课后作业）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？
(4)“”这一事件包含哪几个样本点？“”呢？
【解析】（1）
（2）由（1）知，样本点的总数为16.
（3）由（1）知，事件“”包含以下4个样本点：；
事件“且”包含以下6个样本点：.
（4）由（1）知，事件 “”包含以下3个样本点：；
事件“”包含以下4个样本点：.
知识点03 随机事件
1、随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randmevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
2、必然事件，不可能事件
在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件．
【即学即练3】（2024·高一·全国·课时练习）对满足的非空集合、，有下列四个命题：
①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件；
③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件.
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题；
②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，
因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题；
③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，
因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题；
④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题．
因此①③④为真命题.
故选：B
知识点04 事件的关系与运算
（1）事件的包含关系：事件B发生必导致事件A发生，称事件A包含事件B(或事件B包含于事件A)，记作BA.
（2）事件的运算
【即学即练3】（2024·高二·新疆·期中）连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件，；
(2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？
【解析】（1）
由题意得，事件，
事件，
事件，
事件.
则，；
（2）由（1）知，事件，，
因为，
所以.
题型一：样本空间
【典例1-1】（2024·高一·全国·课时练习）做试验“从，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，为第1次取到的数字，为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出这个试验样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
【解析】（1）这个试验的样本空间．
（2）易知这个试验的样本点的总数是6．
（3）“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点为：，.
【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验样本点的总数；
（3）写出“第一象限内的点”所包含的样本点．
【解析】（1）Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，
(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}；
（2）试验样本点的总数是12；
（3）“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．
【变式1-1】（2024·高一·全国·课时练习）连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（与先后顺序有关）
（1）写出这个试验的样本空间及样本点的个数；
（2）写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示.
【解析】（1）这个试验的样本空间{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，样本点的个数是8.
（2）记事件“恰有两枚正面向上”为事件A，则{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.
【变式1-2】（2024·高一·全国·课时练习）求出下列各试验的样本空间，并指出其样本点的总数．
(1)从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；
(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1，2，3，4，5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验．
【解析】（1）从三个字母中任取两个字母的样本空间为，样本点的总数为3.
（2）从袋中取两个球的样本空间为：
球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5，样本点的总数为10.
【变式1-3】（2024·高一·全国·随堂练习）写出下列随机试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数；
(2)从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．
【解析】（1）连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数为0，1，2，3，4，5，样本空间是；
（2）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色只能是黑桃、红心、方块、梅花中的一个，样本空间是黑桃，红心，方块，梅花．
【方法技巧与总结】（写样本空间的注意事项）
在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
题型二：必然事件、不可能事件与随机事件的判断
【典例2-1】（2024·高一·全国·课时练习）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内
B．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内
C．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内
D．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内
【答案】C
【解析】利用随机事件的概念，结合题意写出所有的样本点即可得解．
当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件；
当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x∉(0，1)，所以C是随机事件；当∈(0，2)时，必有x∉(－1，0)，
所以D是不可能事件．
故选：C．
【典例2-2】（2024·高一·陕西渭南·期末）一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．以上选项均不正确
【答案】C
【解析】一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动是随机的等可能，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是随机事件.
故选：C.
【变式2-1】（2024·高一·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取，则，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.
故选：B
【变式2-2】（2024·高一·陕西渭南·期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.
A．①③B．③④C．①④D．②③
【答案】A
【解析】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
对于②，骰子最大的点数为6，2颗骰子的点数之和不可能为14，故②是不可能事件；
对于④，每年有12个月，13个人中至少有2个人的生日在同一个月，故④是必然事件.
故选：A.
【变式2-3】（2024·高一·河南南阳·期中）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①明天是阴天；②方程有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到；④一个三角形的大边对大角，小边对小角.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①③是随机事件；④是必然事件；
对②，，无实数根，②是不可能事件.
故选：B.
【变式2-4】（2024·高一·福建厦门·开学考试）有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（ ）
A．事件、都是随机事件B．事件、都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件D．事件是必然事件，事件是随机事件
【答案】C
【解析】判断事件、的类型，由此可得出结论.对于事件，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件为随机事件；
对于事件B，一年有天或天，由抽屉原理可知，人中至少有人生日相同，事件为必然事件.
故选：C.
【变式2-5】（2024·高二·四川巴中·期末）如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（ ）
A．A灯亮，B灯不亮B．A灯不亮，B灯亮
C．A，B两盏灯均亮D．A，B两盏灯均不亮
【答案】C
【解析】由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮.
故选：C.
【变式2-6】（2024·高一·全国·课时练习）掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子（如图），观察向上的ｰ面的点数，下列属必然事件的是（ ）
A．出现的点数是7B．出现的点数不会是0
C．出现的点数是2D．出现的点数为奇数
【答案】B
【解析】掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，
是不可能出现0的，
所以事件出现的点数不会是0为必然事件，B正确；
掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，
是不可能出现7的，
所以事件出现的点数是7为不可能事件，A错误；
掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，
可能出现2点，也可能不出现3点，
所以事件出现的点数是2和事件出现的点数为奇数都为随机事件，C，D错误，
故选：B.
【方法技巧与总结】：（判断事件类型的步骤）
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
题型三：事件的运算
【典例3-1】（2024·全国·高一专题练习）在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，请举出符合包含关系、相等关系的事件；
【解析】因为事件，，，发生，则事件必发生，
所以，，，．
所以事件包含事件，，，；
同理可得，事件E包含事件，，，，，；
事件包含事件，，；
事件F包含事件，，；
事件G包含事件，，．
因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
所以事件与事件相等，即．
【典例3-2】（2024·全国·高一专题练习）掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；
(2)，；
(3)记是事件的对立事件，求，，，．
【解析】（1），，，
，.
（2），，，
，．
（3），，，，.
，，
，，，．
【变式3-1】（2024·全国·高一专题练习）从一箱产品中随机地抽取出一件产品，设事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，试用A，B，C表示下列事件：
(1)事件D：抽到的是一等品或二等品；
(2)事件E：抽到的是二等品或三等品．
【解析】（1）∵事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，
又∵事件D：抽到的是一等品或二等品，∴；
（2）∵事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，
又∵事件E：抽到的是二等品或三等品，∴．
【变式3-2】（2024·高一单元测试）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）A发生，B，C不发生；
（4）A，B都发生，C不发生；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生；
（6）A，B，C中恰好有两个发生.
【解析】（1）三个事件都发生表示为；
（2）三个事件至少有一个发生表示为；
（3）A发生，B，C不发生表示为；
（4）A，B都发生，C不发生表示为；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为；
（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为
【方法技巧与总结】：（事件运算的规律）
（1）利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
（2）利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算．
一、单选题
1．（2024·高一·全国·课时练习）一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有（ ）
A．3种B．4种
C．6种D．12种
【答案】C
【解析】设这部小说三册分别为1，2，3， 则共有
共6种．
故选：C.
2．（2024·高一·全国·课时练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间.
由题意得，，，，
则，，且.即ABC都正确；
又，.
.故D不正确.
故选：D.
3．（2024·高一·全国·课时练习）对满足的非空集合、，有下列四个命题：
①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件；
③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件.
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题；
②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，
因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题；
③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，
因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题；
④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题．
因此①③④为真命题.
故选：B
4．（2024·高一·全国·课时练习）一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的4个球中至少有一个是白球
B．摸出的4个球中至少有一个是黑球
C．摸出的4个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4个球中至少有两个是白球
【答案】B
【解析】因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，
所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况.
故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；
事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；
事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；
事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误.
故选：B.
5．（2024·高一·全国·课时练习）下列说法不正确的是（ ）
A．普查是要对所有的对象进行调查
B．样本不一定是从总体中抽取的，没抽取的个体也是样本
C．当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，则要耗费大量的人力、物力和财力
D．普查不是在任何情况下都能实现的
【答案】B
【解析】选项A：普查是为特定目的而专门组织的一次性全面调查，要对所有的对象进行调查，说法正确；
选项B：样本必须是从总体中抽取的，没抽取的个体不是样本，说法错误；
选项C：由于普查需要对所有对象进行调查，所以当调查对象较少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，则要耗费大量的人力、物力和财力，说法正确；
选项D：当调查对象很多，或调查具有破坏性时，不适合用普查，说法正确；
故选：B
6．（2024·高一·全国·课时练习）采用不放回抽取样本的方法，从一个含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，可能得到的样本共有（ ）
A．10种B．7种C．9种D．20种
【答案】A
【解析】假设5个个体分别记为，
容量为2的样本分别为共10种.
故选：A
7．（2024·高一·全国·课时练习）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ）
A．B．
C．表示向上的面的点数是1或2或3D．表示向上的面的点数是1或2或3
【答案】C
【解析】由题意可知，，，，，
所以，，2，，
则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确．
故选：C．
8．（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“B元件正常”，用分别表示A,B两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（ ）
①样本空间； ②事件；
③事件“电路是断路”可以用（或）表示；
④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含3样本点.
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为分别取值0和1，因此的取值为，①正确；
事件中，而任取，因此②正确；
事件“电路是断路”中，至少有一个取0，因此事件“电路是断路”，
，，，从而“电路是断路”可表示为，③错；
事件“电路是通路”中，两个都取1，因此事件“电路是通路”，
，从而“电路是通路”可表示为，其中只有一个样本点，④错．
正确的个数是2，
故选：B．
二、多选题
9．（2024·高一·全国·课时练习）（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（ ）
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3
D．取出的两球标号的和为8
【答案】ABC
【解析】对于A：取出的两球标号为3和7是样本点，故选项A正确；
对于B：取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是样本点，故选项B正确；
对于C：取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是样本点，故选项C正确；
对于D：取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确；
故选：ABC.
10．（2024·高一·全国·专题练习）(多选)给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若任取，则是必然事件
B．若任取，则是不可能事件
C．若任取，则是随机事件
D．若任取，则是必然事件
【答案】ACD
【解析】对于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正确；
对于B，若，则是有可能的，所以是可能事件，故B错误；
对于C，任取，则x不一定是A中的元素，所以是随机事件，故C正确；
对于D，若，则x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正确；
故选：ACD
11．（2024·高二·重庆北碚·阶段练习）某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，事件为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，
所以，故A正确；
对于B，事件表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，
所以，故B错误；
对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况，
所以，故C正确；
对于D，由C选项可知，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·高一·全国·课后作业）在总数为的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则的值为 .
【答案】150
【解析】∵对于总数为的一批零件，抽取一个容量为30的样本，
每个零件被抽到的可能性均为，
∴，
解得．
故答案为：．
13．（2024·高一·江西上饶·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米3285石，验得米内有夹谷，抽样取米一把，数得261粒米内有夹谷29粒，则这批米内夹谷约为 石.
【答案】365
【解析】设这批米内夹谷约为粒，则，解得，
则这批米内夹谷约为．
故答案为：．
14．（2024·辽宁抚顺·一模）“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，反之必有弊害.对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.
某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是 .如果其中共有260人回答为“是”，则由此可以估计这800名学生中，上学带手机的人数约为 .
【答案】 800 120
【解析】∵某次调查活动共有800名高中生参与了调查，
∴回答为“不是”的人数的最大值是800，
∵掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5，
∴回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400，
而学号为奇数和偶数的概率均为0.5，
则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人，
∵其中共有260人回答为“是”，
∴在回答问题（2）的400人中，回答“是”人数为260-200=60，
∴这800名学生中，上学带手机的人数约为120，
故答案为：800；120．
四、解答题
15．（2024·高一·江苏·专题练习）抛掷一颗骰子，下列事件：{出现奇数点}，{出现偶数点}，{点数小于3}，{点数不大于2}.求：
(1)，；
(2)，；
(3)，.
【解析】（1）事件包含的基本事件为{出现1,3,5点}，
事件包含的基本事件为{出现2,4,6点}，
事件包含的基本事件为{出现1,2点}，
故，{出现2点}；
（2）＝{出现1,2,3,4,5或6点}，
＝{出现1,2,4或6点}．
（3）＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
＝{出现1点}．
16．（2024·高一·全国·随堂练习）设A，B是同一试验的两个不同事件，用它们表示下列各事件：
(1)仅A发生；
(2)A，B都发生；
(3)A，B均不发生；
(4)A，B恰有一个发生；
(5)A，B至少有一个发生.
【解析】（1）
仅A发生时表示为.
（2）A，B都发生时表示为.
（3）A，B均不发生时表示为.
（4）A，B恰有一个发生时表示为.
（5）A，B至少有一个发生时表示为.
17．（2024·高三·福建厦门·阶段练习）凤梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有多年.龙眼干的级别按直径的大小分为四个等级，其中直径在区间为特级品，在的为一级品，在的为二级品，在的为三级品，某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了个龙眼干作为样本（直径分布在区间），统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下：
用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取个，其中一级品有个.
（1）求、的值，并估计这些龙眼干中特级品的比例；
（2）已知样本中的个龙眼干约克，该农场有千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：
方案A：以元/千克收购；
方案B：以级别分装收购，每袋个，特级品元/袋、一级品元/袋、二级品元/袋、三级品元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由.
【解析】（1），解得
所抽取的100个龙果干中特级品的频率为
这些龙眼干中特级品的比例为
（2）农场选择方案获得的收入为元
设农场选择方案获得的收入为元，则依题意得500千克龙眼干共可以1000袋
用样本的频率分布估计总体分布，则特级品有袋，一级品有袋，二级品有袋，三级品有袋
元
，农场应选择方案
课程标准
学习目标
（1）了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义.
（1）理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.
（2）理解事件的关系与运算．
定义
符号
图示
并事件(或和事件)
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，即为事件C发生
(或)
交事件(或积事件)
一般地，事件A与事件B同时发生，即为事件C发生
(或)
频数
1
29
7
知识点01 随机试验
1、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randmexperiment），简称试验，常用字母E表示．
2、随机试验的特点
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
【即学即练1】（2024·高一·全国·课时练习）下列变化中是周期现象的是（ ）
A．月球到太阳的距离与时间的函数关系
B．某同学每天上学的时间
C．某交通路口每次绿灯通过的车辆数
D．某同学每天打电话的时间
【答案】A
【解析】球到太阳的距离与时间的函数关系是周期现象，某同学每天上学的时间是随机现象，
某交通路口每次绿灯通过的车辆数是随机现象，某同学每天打电话的时间也是随机现象，
故选：A.
知识点02 样本空间
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间．
【即学即练2】（2024·高一·全国·课后作业）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？
(4)“”这一事件包含哪几个样本点？“”呢？
【解析】（1）
（2）由（1）知，样本点的总数为16.
（3）由（1）知，事件“”包含以下4个样本点：；
事件“且”包含以下6个样本点：.
（4）由（1）知，事件 “”包含以下3个样本点：；
事件“”包含以下4个样本点：.
知识点03 随机事件
1、随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randmevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
2、必然事件，不可能事件
在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件．
【即学即练3】（2024·高一·全国·课时练习）对满足的非空集合、，有下列四个命题：
①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件；
③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件.
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题；
②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，
因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题；
③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，
因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题；
④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题．
因此①③④为真命题.
故选：B
知识点04 事件的关系与运算
（1）事件的包含关系：事件B发生必导致事件A发生，称事件A包含事件B(或事件B包含于事件A)，记作BA.
（2）事件的运算
【即学即练3】（2024·高二·新疆·期中）连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件，；
(2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？
【解析】（1）
由题意得，事件，
事件，
事件，
事件.
则，；
（2）由（1）知，事件，，
因为，
所以.
题型一：样本空间
【典例1-1】（2024·高一·全国·课时练习）做试验“从，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，为第1次取到的数字，为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出这个试验样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
【解析】（1）这个试验的样本空间．
（2）易知这个试验的样本点的总数是6．
（3）“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点为：，.
【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验样本点的总数；
（3）写出“第一象限内的点”所包含的样本点．
【解析】（1）Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，
(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}；
（2）试验样本点的总数是12；
（3）“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．
【变式1-1】（2024·高一·全国·课时练习）连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（与先后顺序有关）
（1）写出这个试验的样本空间及样本点的个数；
（2）写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示.
【解析】（1）这个试验的样本空间{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，样本点的个数是8.
（2）记事件“恰有两枚正面向上”为事件A，则{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.
【变式1-2】（2024·高一·全国·课时练习）求出下列各试验的样本空间，并指出其样本点的总数．
(1)从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；
(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1，2，3，4，5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验．
【解析】（1）从三个字母中任取两个字母的样本空间为，样本点的总数为3.
（2）从袋中取两个球的样本空间为：
球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5，样本点的总数为10.
【变式1-3】（2024·高一·全国·随堂练习）写出下列随机试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数；
(2)从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．
【解析】（1）连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数为0，1，2，3，4，5，样本空间是；
（2）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色只能是黑桃、红心、方块、梅花中的一个，样本空间是黑桃，红心，方块，梅花．
【方法技巧与总结】（写样本空间的注意事项）
在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
题型二：必然事件、不可能事件与随机事件的判断
【典例2-1】（2024·高一·全国·课时练习）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内
B．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内
C．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内
D．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内
【答案】C
【解析】利用随机事件的概念，结合题意写出所有的样本点即可得解．
当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件；
当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x∉(0，1)，所以C是随机事件；当∈(0，2)时，必有x∉(－1，0)，
所以D是不可能事件．
故选：C．
【典例2-2】（2024·高一·陕西渭南·期末）一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．以上选项均不正确
【答案】C
【解析】一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动是随机的等可能，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是随机事件.
故选：C.
【变式2-1】（2024·高一·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取，则，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.
故选：B
【变式2-2】（2024·高一·陕西渭南·期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.
A．①③B．③④C．①④D．②③
【答案】A
【解析】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
对于②，骰子最大的点数为6，2颗骰子的点数之和不可能为14，故②是不可能事件；
对于④，每年有12个月，13个人中至少有2个人的生日在同一个月，故④是必然事件.
故选：A.
【变式2-3】（2024·高一·河南南阳·期中）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①明天是阴天；②方程有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到；④一个三角形的大边对大角，小边对小角.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①③是随机事件；④是必然事件；
对②，，无实数根，②是不可能事件.
故选：B.
【变式2-4】（2024·高一·福建厦门·开学考试）有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（ ）
A．事件、都是随机事件B．事件、都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件D．事件是必然事件，事件是随机事件
【答案】C
【解析】判断事件、的类型，由此可得出结论.对于事件，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件为随机事件；
对于事件B，一年有天或天，由抽屉原理可知，人中至少有人生日相同，事件为必然事件.
故选：C.
【变式2-5】（2024·高二·四川巴中·期末）如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（ ）
A．A灯亮，B灯不亮B．A灯不亮，B灯亮
C．A，B两盏灯均亮D．A，B两盏灯均不亮
【答案】C
【解析】由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮.
故选：C.
【变式2-6】（2024·高一·全国·课时练习）掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子（如图），观察向上的ｰ面的点数，下列属必然事件的是（ ）
A．出现的点数是7B．出现的点数不会是0
C．出现的点数是2D．出现的点数为奇数
【答案】B
【解析】掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，
是不可能出现0的，
所以事件出现的点数不会是0为必然事件，B正确；
掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，
是不可能出现7的，
所以事件出现的点数是7为不可能事件，A错误；
掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，
可能出现2点，也可能不出现3点，
所以事件出现的点数是2和事件出现的点数为奇数都为随机事件，C，D错误，
故选：B.
【方法技巧与总结】：（判断事件类型的步骤）
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
题型三：事件的运算
【典例3-1】（2024·全国·高一专题练习）在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，请举出符合包含关系、相等关系的事件；
【解析】因为事件，，，发生，则事件必发生，
所以，，，．
所以事件包含事件，，，；
同理可得，事件E包含事件，，，，，；
事件包含事件，，；
事件F包含事件，，；
事件G包含事件，，．
因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
所以事件与事件相等，即．
【典例3-2】（2024·全国·高一专题练习）掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；
(2)，；
(3)记是事件的对立事件，求，，，．
【解析】（1），，，
，.
（2），，，
，．
（3），，，，.
，，
，，，．
【变式3-1】（2024·全国·高一专题练习）从一箱产品中随机地抽取出一件产品，设事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，试用A，B，C表示下列事件：
(1)事件D：抽到的是一等品或二等品；
(2)事件E：抽到的是二等品或三等品．
【解析】（1）∵事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，
又∵事件D：抽到的是一等品或二等品，∴；
（2）∵事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，
又∵事件E：抽到的是二等品或三等品，∴．
【变式3-2】（2024·高一单元测试）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）A发生，B，C不发生；
（4）A，B都发生，C不发生；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生；
（6）A，B，C中恰好有两个发生.
【解析】（1）三个事件都发生表示为；
（2）三个事件至少有一个发生表示为；
（3）A发生，B，C不发生表示为；
（4）A，B都发生，C不发生表示为；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为；
（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为
【方法技巧与总结】：（事件运算的规律）
（1）利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
（2）利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算．
一、单选题
1．（2024·高一·全国·课时练习）一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有（ ）
A．3种B．4种
C．6种D．12种
【答案】C
【解析】设这部小说三册分别为1，2，3， 则共有
共6种．
故选：C.
2．（2024·高一·全国·课时练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间.
由题意得，，，，
则，，且.即ABC都正确；
又，.
.故D不正确.
故选：D.
3．（2024·高一·全国·课时练习）对满足的非空集合、，有下列四个命题：
①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件；
③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件.
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题；
②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，
因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题；
③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，
因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题；
④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题．
因此①③④为真命题.
故选：B
4．（2024·高一·全国·课时练习）一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的4个球中至少有一个是白球
B．摸出的4个球中至少有一个是黑球
C．摸出的4个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4个球中至少有两个是白球
【答案】B
【解析】因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，
所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况.
故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；
事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；
事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；
事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误.
故选：B.
5．（2024·高一·全国·课时练习）下列说法不正确的是（ ）
A．普查是要对所有的对象进行调查
B．样本不一定是从总体中抽取的，没抽取的个体也是样本
C．当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，则要耗费大量的人力、物力和财力
D．普查不是在任何情况下都能实现的
【答案】B
【解析】选项A：普查是为特定目的而专门组织的一次性全面调查，要对所有的对象进行调查，说法正确；
选项B：样本必须是从总体中抽取的，没抽取的个体不是样本，说法错误；
选项C：由于普查需要对所有对象进行调查，所以当调查对象较少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，则要耗费大量的人力、物力和财力，说法正确；
选项D：当调查对象很多，或调查具有破坏性时，不适合用普查，说法正确；
故选：B
6．（2024·高一·全国·课时练习）采用不放回抽取样本的方法，从一个含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，可能得到的样本共有（ ）
A．10种B．7种C．9种D．20种
【答案】A
【解析】假设5个个体分别记为，
容量为2的样本分别为共10种.
故选：A
7．（2024·高一·全国·课时练习）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ）
A．B．
C．表示向上的面的点数是1或2或3D．表示向上的面的点数是1或2或3
【答案】C
【解析】由题意可知，，，，，
所以，，2，，
则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确．
故选：C．
8．（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“B元件正常”，用分别表示A,B两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（ ）
①样本空间； ②事件；
③事件“电路是断路”可以用（或）表示；
④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含3样本点.
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为分别取值0和1，因此的取值为，①正确；
事件中，而任取，因此②正确；
事件“电路是断路”中，至少有一个取0，因此事件“电路是断路”，
，，，从而“电路是断路”可表示为，③错；
事件“电路是通路”中，两个都取1，因此事件“电路是通路”，
，从而“电路是通路”可表示为，其中只有一个样本点，④错．
正确的个数是2，
故选：B．
二、多选题
9．（2024·高一·全国·课时练习）（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（ ）
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3
D．取出的两球标号的和为8
【答案】ABC
【解析】对于A：取出的两球标号为3和7是样本点，故选项A正确；
对于B：取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是样本点，故选项B正确；
对于C：取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是样本点，故选项C正确；
对于D：取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确；
故选：ABC.
10．（2024·高一·全国·专题练习）(多选)给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若任取，则是必然事件
B．若任取，则是不可能事件
C．若任取，则是随机事件
D．若任取，则是必然事件
【答案】ACD
【解析】对于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正确；
对于B，若，则是有可能的，所以是可能事件，故B错误；
对于C，任取，则x不一定是A中的元素，所以是随机事件，故C正确；
对于D，若，则x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正确；
故选：ACD
11．（2024·高二·重庆北碚·阶段练习）某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，事件为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，
所以，故A正确；
对于B，事件表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，
所以，故B错误；
对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况，
所以，故C正确；
对于D，由C选项可知，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·高一·全国·课后作业）在总数为的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则的值为 .
【答案】150
【解析】∵对于总数为的一批零件，抽取一个容量为30的样本，
每个零件被抽到的可能性均为，
∴，
解得．
故答案为：．
13．（2024·高一·江西上饶·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米3285石，验得米内有夹谷，抽样取米一把，数得261粒米内有夹谷29粒，则这批米内夹谷约为 石.
【答案】365
【解析】设这批米内夹谷约为粒，则，解得，
则这批米内夹谷约为．
故答案为：．
14．（2024·辽宁抚顺·一模）“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，反之必有弊害.对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.
某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是 .如果其中共有260人回答为“是”，则由此可以估计这800名学生中，上学带手机的人数约为 .
【答案】 800 120
【解析】∵某次调查活动共有800名高中生参与了调查，
∴回答为“不是”的人数的最大值是800，
∵掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5，
∴回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400，
而学号为奇数和偶数的概率均为0.5，
则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人，
∵其中共有260人回答为“是”，
∴在回答问题（2）的400人中，回答“是”人数为260-200=60，
∴这800名学生中，上学带手机的人数约为120，
故答案为：800；120．
四、解答题
15．（2024·高一·江苏·专题练习）抛掷一颗骰子，下列事件：{出现奇数点}，{出现偶数点}，{点数小于3}，{点数不大于2}.求：
(1)，；
(2)，；
(3)，.
【解析】（1）事件包含的基本事件为{出现1,3,5点}，
事件包含的基本事件为{出现2,4,6点}，
事件包含的基本事件为{出现1,2点}，
故，{出现2点}；
（2）＝{出现1,2,3,4,5或6点}，
＝{出现1,2,4或6点}．
（3）＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
＝{出现1点}．
16．（2024·高一·全国·随堂练习）设A，B是同一试验的两个不同事件，用它们表示下列各事件：
(1)仅A发生；
(2)A，B都发生；
(3)A，B均不发生；
(4)A，B恰有一个发生；
(5)A，B至少有一个发生.
【解析】（1）
仅A发生时表示为.
（2）A，B都发生时表示为.
（3）A，B均不发生时表示为.
（4）A，B恰有一个发生时表示为.
（5）A，B至少有一个发生时表示为.
17．（2024·高三·福建厦门·阶段练习）凤梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有多年.龙眼干的级别按直径的大小分为四个等级，其中直径在区间为特级品，在的为一级品，在的为二级品，在的为三级品，某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了个龙眼干作为样本（直径分布在区间），统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下：
用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取个，其中一级品有个.
（1）求、的值，并估计这些龙眼干中特级品的比例；
（2）已知样本中的个龙眼干约克，该农场有千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：
方案A：以元/千克收购；
方案B：以级别分装收购，每袋个，特级品元/袋、一级品元/袋、二级品元/袋、三级品元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由.
【解析】（1），解得
所抽取的100个龙果干中特级品的频率为
这些龙眼干中特级品的比例为
（2）农场选择方案获得的收入为元
设农场选择方案获得的收入为元，则依题意得500千克龙眼干共可以1000袋
用样本的频率分布估计总体分布，则特级品有袋，一级品有袋，二级品有袋，三级品有袋
元
，农场应选择方案
课程标准
学习目标
（1）了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义.
（1）理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.
（2）理解事件的关系与运算．
定义
符号
图示
并事件(或和事件)
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，即为事件C发生
(或)
交事件(或积事件)
一般地，事件A与事件B同时发生，即为事件C发生
(或)
频数
1
29
7
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