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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册15.2 随机事件的概率精品课后练习题
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册15.2 随机事件的概率精品课后练习题，文件包含152随机事件的概率六大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、152随机事件的概率六大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
知识点01 古典概型
1、古典概型
如果某概率模型具有以下两个特点：
（1）样本空间只含有有限个样本点．
（2）每个基本事件的发生都是等可能的．
那么我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．
2、古典概型的概率公式
在古典概型中，如果样本空间（其中为样本点的个数），那么每一个基本事件）发生的概率都是如果事件由其中个等可能基本事件组合而成，即中包含个样本点，那么事件发生的概率为．
【即学即练1】（2024·高一·北京·期末）从定义域及值域均为的函数中随机选一个记为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，即且或且，即严格增或严格减；
因为定义域及值域均为，所以有3种情况，有2种情况，有1种情况，共有种情况，
其中严格增的有1种，即，严格减的有1种，
所以答案为，
故选：B.
知识点02 频率与概率
1、概率的基本性质
（1）随机事件的概率范围为．
（2）必然事件和不可能事件分别用和表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，
2、频率的稳定性
一般地，对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在随机事件发生的概率的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．
3、频率与概率的关系
若随机事件在次试验中发生了次，则当试验次数很大时，可以用事件发生的频率来估计事件的概率，即．
4、概率的意义
对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性．
【即学即练2】（2024·高一·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映频繁程度，故①正确；
对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确；
对于③：各个试验结果的频率之和一定等于，故③错误；
对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误；
故选：C.
题型一：古典概型的判断
【典例1-1】（2024·高一·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（ ）
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四名同学用抽签法选一人参加会议
D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率
【答案】C
【解析】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的，
A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足；
B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足；
C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足；
D：基本事件是区间上所有实数是无限的，不满足；
故选：C
【典例1-2】（2024·高一·全国·课时练习）下列关于古典概型的说法正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则.
A．②④B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】D
【解析】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；
在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；
在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；
在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确．
故选：D．
【变式1-1】（2024·高一·全国·课时练习）下列不是古典概型的是（ ）
A．在6个完全相同的小球中任取1个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
【答案】B
【解析】选项A中，在6个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且该试验包含的基本事件其有6个，故A符合古典概型；
选项B中，由于点数的和出现的可能性不相等，故B不是古典概型；
选项C中，该试验满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
选项D中，满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．
故选：B
【变式1-2】（2024·高一·全国·单元测试）下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
【答案】C
【解析】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；
B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；
C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
故选：C
【变式1-3】（2024·高一·全国·课时练习）下列问题中是古典概型的是
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
【答案】D
【解析】A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．故选D．
【方法技巧与总结】古典概型需满足两个条件
（1）样本点总数有限．
（2）各个样本点出现的可能性相等．
题型二：古典概型概率的计算
【典例2-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不超过10的正奇数有，共5个，从中随机抽取2个，
共有，10种情况，
其中孪生素数有，共2种情况，
由古典概型可得这2个奇数是孪生素数的概率为.
故选：C.
【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ），并说明理由．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，所有可能取法有：共6种情况，
其中和为奇数的有4种，所以概率为.
故选：C
【变式2-1】（2024·内蒙古包头·一模）某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设这几个球中，红球分别为、、，白球分别为、，
则甲、乙两同学先后取出的两球可能的情况有：
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、共二十种，
其中取到不同颜色球的情况有：
、、、、、、、、、、、共十二种，
故其概率为.
故选：C.
【变式2-2】（2024·高一·辽宁朝阳·开学考试）袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中1个红球、2个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设这五个球中红球为，白球分别为、，黑球分别为、，
则从袋中任取两球，有、、、、、、、、
、共十种可能，其中一白一黑有、、、共四种可能，
所以一白一黑的概率．
故选：D.
【变式2-3】（2024·高一·全国·专题练习）某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，射击5枪，命中3枪，总的方法数包含共10种，
其中3枪中恰有2枪连中的情况有,,,,,，共6种，
所以3枪中恰有2枪连中的概率为.
故选：B
【变式2-4】（2024·陕西安康·模拟预测）甲､乙､丙三人被随机的安排在周六､周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲､乙被安排在同一天值班的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人，
两组分别安排在周六､周日值班共有6种情况：
（甲乙，丙）､（甲丙，乙）､（乙丙，甲）､（甲，乙丙）､（乙，甲丙）､（丙，甲乙），
显然甲､乙被安排在同一天有2种情况，
所以甲､乙被安排在同一天的概率为。
故选：C
【方法技巧与总结】利用古典概型公式计算概率的步骤
（1）确定样本空间的样本点的总数n．
（2）确定所求事件A包含的样本点的个数m．
（3）．
题型三：较复杂的古典概型的概率计算
【典例3-1】（2024·高一·辽宁辽阳·阶段练习）辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动． 公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益． 从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．
(1)求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率．
【解析】（1）由题意得，
解得.
估计被抽取的名少年儿童问卷调查结果的平均数为
.
（2）依题意可得在内抽取的人数为（人），
设所抽取的人为，
在内抽取的人数为（人），设所抽取的人为，
则从中随机抽取2名少年儿童有
共15种情况，
其中随机抽取的这2名少年儿童在同一组的有共7种情况.
故随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率.
【典例3-2】（2024·高一·辽宁·期末）某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
(1)求和乙样本直方图中的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.
【解析】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得；
由乙样本数据直方图可知，，
解得；
（2）甲样本数据的平均值估计值为
，
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，
，
解得，所以乙样本数据的中位数为82.
（3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，
将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为，
则从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，共15个，
所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为.
【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
【解析】（1）由前面的分析可知试验的样本空间，
共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则，
共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为；
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则，
共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为；
（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则，
共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.
【变式3-2】（2024·高一·辽宁阜新·阶段练习）某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）
物理成绩统计表
(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）；
(2)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率．
【解析】（1）依题意，，
解得，
所以数学成绩的平均分：
.
（2）数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，则两科均为“优”的人数为3人.
设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，
则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，
符合题意的情况有：，
故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.
【变式3-3】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）从一批柚子中随机抽取100个，获得其质量（单位：）数据，按照区间，进行分组，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)用分层抽样的方法从质量在和内的柚子中抽取5个，求抽取的质量在内的柚子数；
(2)从（1）中抽出的5个柚子中任取2个，求最多有1个柚子的质量在内的概率．
【解析】（1）由频率分布直方图知，质量在内的柚子数为，
质量在内的柚子数为，
从质量在和内的柚子中抽取5个，其中质量在内的柚子数为．
（2）由（1）知，质量在内的柚子数为3，记为，质量在内的柚子数为2，记为，
则从这5个柚子中任取2个的所有基本事件为,，共10个，
其中最多有1个柚子的质量在内所包含的基本事件有,，共7个，
所以最多有1个柚子的质量在内的概率．
【变式3-4】（2024·高一·河南焦作·期末）某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
【解析】（1），解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为.
（2）不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.
【方法技巧与总结】在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便．
题型四：对概率概念的理解
【典例4-1】（2024·高二·新疆和田·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币次，事件必发生次
B．抛掷硬币次，事件不可能发生次
C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近
【答案】D
【解析】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
【典例4-2】（2024·高一·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【答案】A
【解析】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确，
对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误，
对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误，
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误，
故选：A
【变式4-1】（2024·高一·天津河东·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ）
A．该四面体一定不是均匀的B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C．再抛掷一次，标记4的面落地D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
【答案】D
【解析】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误；
BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即，
B选项中所估计的概率和频率差别过大，
C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为，但频率只有，因此不能认为必然发生，BC选项错误；
D选项，标记3的面落地概率估计是，和实验频率非常接近，D选项正确.
故选：D
【变式4-2】（2024·高一·山西·期末）某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（ ）
A．0.58B．0.61C．0.62D．0.68
【答案】B
【解析】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适.
故选：B.
【变式4-3】（2024·高一·全国·课时练习）下列说法中正确的个数是（ ）
（1）概率反映随机事件发生的可能性大小；
（2）做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率；
（3）频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依濑于试验次数的理论值；
（4）在大量的重复试验中，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】概率反映随机事件发生的可能性大小，故（1）正确；
做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率是事件发生的概率的近似值，故（2）不正确；
频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依濑于试验次数的理论值，故（3）正确；
在大量的重复试验中，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值，故（4）正确.
故选：C
【变式4-4】（2024·高一·全国·单元测试）将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用表示正面向上这一事件，则（ ）
A．发生的概率为B．发生的概率接近
C．在这十次试验中发生的频率为D．在这十次试验中发生的频率为6
【答案】C
【解析】概率是频率的稳定值，发生的概率等于，故AB错误；
在这十次试验中发生的频率为，故C正确，D错误.
故选：C
【方法技巧与总结】概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生．
题型五：利用频率估计概率
【典例5-1】（2024·高三·云南·阶段练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 .
【答案】0.14/
【解析】由题知：
故该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为.
故答案为：0.14
【典例5-2】（2024·高一·甘肃武威·开学考试）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【答案】15
【解析】设盒子中红球的个数为，
由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25，
则，
解得，
即盒子中红球个数大约15个.
故答案为：15
【变式5-1】（2024·高一·福建宁德·开学考试）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个.
【答案】
【解析】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近，
估计袋中红球个数是.
故答案为：.
【变式5-2】（2024·高一·全国·课时练习）某制造商今年月份生产了一批乒乓球，随机抽取个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下：
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为，则这批乒乓球的直径误差不超过的概率是 ．
【答案】
【解析】标准尺寸是，并且误差不超过，即直径需落在[39.97，40.03]范围内．
由频率分布表知，频率为，
所以直径误差不超过的概率约为.
故答案为：
【变式5-3】（2024·高一·全国·课时练习）投掷硬币的结果如下表：
则 ， ， ．
据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ．
【答案】 0.51/ 241 800 0.5/
【解析】，，
.
三组试验正面向上的频率都在0.5附近，
由频率的稳定性，估计若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5.
故答案为：0.51；241；800；0.5.
【变式5-4】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·期末）某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示．
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ．
【答案】
【解析】由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小.
所以使误差较小的可能性大的估计值是.
故答案为：.
【方法技巧与总结】（1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
（2）解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
题型六：概率的应用
【典例6-1】（2024·高一·河南商丘·期末）某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．
（一）人数统计表 （二）各年龄段人数频率分布直方图
(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值；
(2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．
【解析】（1）结合频率分布直方图可知，第二组的频率为，
所以第二组高为．故补全频率分布直方图如下：
结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以；
因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以；
因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．
（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为，
所以采用分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人．
设年龄在中被抽取的4个人分别为：；
年龄在岁中被抽取的2个人分别为：；
则总的基本事件有：,,,,,……，共20个；
记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个；
所以.
【典例6-2】（2024·高一·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.
(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；
(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率；
(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组:； B组:.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.
【解析】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，
所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.
（2）样本中，组中有人，组中有人，
从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：
共包含15 个样本点,
记事件A：两人来自同一组，
则，共包含7个样本点，
所以这2人来自同一组的概率 .
（3）这两组学生的得分记录：A组:； B组:.
方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等，
对比两组数据，可知：或.
【变式6-1】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差．
【解析】（1）这些人的平均年龄为（岁）．
由频率分布直方图知，年龄在的频率为，
在的频率为，则第80百分位数为，
由，解得，
所以这些人的平均年龄为（岁），第80百分位数为.
（2）依题意，第四组应抽取人，记为,甲，第五组抽取人，记为,乙，
对应的样本空间{(a,b),(a,c),(a,甲),(a,乙),(a,d),(b,c),(b,甲),(b,乙),(b,d),(c,甲),(c,乙),(c,d),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共15个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则{(a,甲),(a,乙),(b,甲),(b,乙),(c,甲),(c,乙),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共有9个样本点，
所以甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
（3）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为，方差分别为，
则，由第一组有10人，得第四组有40人，第五组有20人，
设第四组和第五组所有人的年龄平均数为，方差为，
则，
因此第四组和第五组所有人的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.
【变式6-2】（2024·高三·海南儋州·阶段练习）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图.
(1)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
(2)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率.
【解析】（1）由频率分布直方图知，解得
语文成绩在的
频率依次为，
显然语文成绩的中位数落在，则，
解得，所以语文成绩的中位数为；
语文成绩的平均数为.
（2）语文成绩在区间内的人数比为，
因此5名学生中分数在的学生应抽4名，记为，在的学生应抽1名，记为，
则所有抽取情况有，共10种，
恰有一人成绩在有，共4种，
所以这5名学生中随机选出2人，恰有一人成绩在中的概率为.
【变式6-3】（2024·高三·上海青浦·期中）2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
(2)用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
【解析】（1）由频率分布直方图得：，解得，
阅读时长在区间内的频率分别为，
所以阅读时长的平均数.
（2）由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，
则在内抽取人，记为，在内抽取 人，记为，
从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下：
，共15个，
其中抽取的人都在内的有，共6个，
所以所抽取2人都在内的概率．
【变式6-4】（2024·高一·全国·随堂练习）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率：
(1)舞蹈在最前或最后；
(2)舞蹈和小品1个在最前、1个在最后；
(3)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后；
(4)两个歌唱节目相邻；
(5)舞蹈排在小品之前．
【解析】（1）
依题意，记2个歌唱节目为，记1个舞蹈节目为 ，1个小品节目为，
则按任意次序排出一个节目单的基本事件有：，
，，
，共件，
其中舞蹈在最前或最后的基本事件有，，
，，共件，
则其概率为；
（2）其中舞蹈和小品1个在最前、1个在最后的基本事件有，，共件，
则其概率；
（3）因为“舞蹈和小品至少有1个在最前或最后”的对立事件为“舞蹈和小品排在中间”，
而舞蹈和小品排在中间的基本事件有，，共件，
所以舞蹈和小品至少有1个在最前或最后的基本事件有件，
则其概率；
（4）其中两个歌唱节目相邻的基本事件有，，
，，共件，
则其概率；
（5）其中舞蹈排在小品之前的基本事件有，，
，共件，
则其概率.
【变式6-5】（2024·高一·全国·随堂练习）袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同．
(1)采取有放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率．
【解析】（1）用表示2个白球，用表示3个黑球，采取有放回抽取方式，从中依次摸出两个球，样本空间为
，每个样本点都是等可能发生的，,
设“两球颜色不同的事件”，则，,
所以.
（2）用表示2个白球，用表示3个黑球，采取不放回抽取方式，从中依次摸出两个球，样本空间为
，每个样本点都是等可能发生的，,
设“两球颜色不同的事件”，则，,
所以.
【变式6-6】（2024·高一·全国·随堂练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷4次，设事件A表示“2次出现正面，2次出现反面”，事件B表示“3次出现正面，1次出现反面”，则事件A与事件B发生的概率哪个更大？
【解析】用表示正面向上，用表示反面向上，将一枚均匀的硬币连续抛掷4次，样本空间为 ，每个样本点都是等可能发生，，
因为,，
所以.
因为,，
所以.
由，得.
【变式6-7】（2024·高一·甘肃临夏·期末）某旅游景点，“五一”假期吸引了众多游客，为了解游客“五一”假期旅行支出情况，在该景点随机抽取了部分游客进行问卷调查，从中统计得到游客旅行总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示．
(1)利用分层抽样在，，三组中抽取6人，应从这三组中各抽取几人？
(2)从（1）抽取的6人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率；
(3)假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该景点游客旅行支出的平均值．
【解析】（1）由频率分布直方图可得组的频率为，
组的频率为，组的频率为，
故利用分层抽样在，，三组中抽取6人，
组抽取人数为，
组抽取人数为，
组抽取人数为；
（2）设组3人为，租的2认为，组的1人为，
从这6人中随机选出2人，共有
共15种抽法，
其中2人不在同一组的抽法有共11种，
故这2人不在同一组的概率为；
（3）由题意得估计该景点游客旅行支出的平均值为：
（百元）.
【方法技巧与总结】
概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大．
一、单选题
1．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517
B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483
C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5
D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517
【答案】B
【解析】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；
抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误；
甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误.
故选：B
2．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）从集合中任取两个元素，则这两个元素的差的绝对值为2的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】从集合中任取两个元素的取法有，共6种，
其中满足两个元素的差的绝对值为2的取法有，共3种.
故这两个元素的差的绝对值为2的概率为.
故选：B.
3．（2024·高一·山东威海·期末）甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设甲校报名支教的两名教师为，乙校报名支教的两名教师为，从这报名的名教师中任选名，
共有这6种情况，
选出的名教师来自不同学校共有这4种情况，
所以所求概率为.
故选：C.
4．（2024·高三·河南·专题练习）“天问一号”中的天问是中国行星探测任务的名称，它的名字起源于屈原的《天问》，想要表达的是中华民族对追求真理的执着，对科技创新的不懈．中国行星探测任务被命名为“天问系列”是在2020年4月24日，首次火星探测任务的探测器则被命名为“天问一号”．2020年7月23日，中午12时41分，长征五号遥四运载火箭托举着我国首次火星探测任务“天问一号”探测器，在中国文昌航天发射场点火升空．若从“天，问，一，号”，这4个字中任取一个字，再从“4，24，7，23”这4个数字中任取2个数字，组成一个“系列组”，则该“系列组”中包含“天问一号”命名时间“4，24”或发射时间“7，23”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】所有“系列组”的不同情况有：
(天，4，24)，(天，4，7)，(天，4，23)，(天，24，7)，(天，24，23)，(天，7，23)，
(问，4，24)，(问，4，7)，(问，4，23)，(问，24，7)，(问，24，23)，(问，7，23)，
(一，4，24)，(一，4，7)，(一，4，23)，(一，24，7)，(一，24，23)，(一，7，23)，
(号，4，24)，(号，4，7)，(号，4，23)，(号，24，7)，(号，24，23)，(号，7，23)．共24种不同情况，
其中包含命名时间“4，24”或发射时间“7，23”的不同情况有8种，
故所求概率为：．
故选：D．
5．（2024·高一·江西九江·期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为，
两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间
，共25个样本点，
两位参赛博主抽到不同主题的事件
，共20个样本点，
所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为.
故选：D
6．（2024·陕西安康·模拟预测）“百年风雨历经苦难，百年成就激荡人心”，为弘扬陈延年、陈乔年烈士的光荣事迹及革命精神，传承红色基因，某校“延乔少年行”实践团于1月6日开展红色文化活动，实践团成员中有来自高二（1）班和高二（2）班的学生各2人，高二（3）班和高二（4）班的学生各1人，在瞻仰陈延年烈士雕像举行宣誓环节，需要从这6名学生中任选4名手持国旗，则这4名学生来自不同班级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记高二（1）班的2名学生分别为，高二（2）班的2名学生分别为，
高二（3）班的学生为，高二（4）班的学生为，
则从这6名学生中任选4名的事件包含
，
，共15个，
其中这4名学生来自不同班级的事件包含，
共4个，所以所求事件的概率为．
故选：D．
7．（2024·高一·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．213石B．152石C．169石D．196石
【答案】C
【解析】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为，
则这批米内夹谷约为（石，
故选：C
8．（2024·高一·湖南岳阳·期末）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】16可以拆成
共有15种情况,
其中拆成的和式中加数全部为质数的有：共有4种情况.
所以拆成的和式中，加数全部为质数的概率为.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·高一·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】ACD
【解析】A项，P(点数为奇数) P(点数为偶数)；
B, 同时抛掷两枚硬币，共有4种情况：正正；正反；反正；正反.
则 P(恰有一枚正面向上)，P(两枚都正面向上)＝；概率不相等，故B错误，
C项，P(牌色为红) P(牌色为黑) ；
D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同) .
故选：ACD.
10．（2024·高一·江西南昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件
B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1
C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点
D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为
【答案】BC
【解析】对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误；
对于B，随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1，故B正确；
对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确；
对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为，故D错误.
故选：BC.
11．（2024·高一·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（ ）
A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜
B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜
C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜
D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜
【答案】AB
【解析】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件，
两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有：
，
，共19种，
则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确；
对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6，
最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个，
此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确；
对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有，
，共18个基本事件，
则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件，
此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利；
对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个，
两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个，
此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利；
故选：AB
三、填空题
12．（2024·高一·安徽宣城·自主招生）已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为 .
【答案】
【解析】根据已知条件联立，即，整理有：，
因为两函数图象有交点，所以，即，
当时，无解；当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；综上，满足条件的、共对，
又根据已知条件、的所有取值情况为种，
所以两函数图象有交点的概率为.
故答案为：
13．（2024·高二·上海·阶段练习）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若或，就称甲乙“心有灵犀”．现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ．
【答案】
【解析】甲、乙的所有可能情况用二维有序数组表示：
，
，
，
总共有36种，
符合条件的有，共11种，
所以他们“心有灵犀”的概率为.
故答案为：.
14．（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知这5个数的标准差为2，若在中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是 ．
【答案】/
【解析】这5个数的平均数为，
因为这5个数的标准差为2，
，
解得，
则，即为，
按照从小到大的顺序为，
从随机取出3个不同的数，
有，
共种，
其中5为这3个数的中位数有共种，
所以5为这3个数的中位数的概率是.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·高一·江苏·专题练习）某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
(1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数）
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
【解析】（1）根据表格中数据，击中飞碟的频率依次为
，
.
（2）由（1）可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动，
所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800.
16．（2024·高一·安徽淮北·阶段练习）某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
【解析】（1）由，
可得.
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩90分以下的所占比例为，
110分以下的所占比例为，
因此，中位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的中位数约为97.5分，
据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数约为97.5分.
（3）由题意分数段的人数为，
分数段的人数为，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽取2人，分别记为，，
分数段内抽取3人，分别记为，，.
设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在）内”为事件，
则样本空间，共包含10个样本点，
而事件包含7个样本点，所以，
故抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.
17．（2024·高一·辽宁葫芦岛·开学考试）某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
求：
(1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务.
(2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.
(3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
【解析】（1）月销售额在小组内的频率为，
若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标，
根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为，
和及三组的频率之和为，
故估计月销售目标应定为万元；
（2）第一组3人记为，第七组2人，
则选取2位推销员有
共10种情形，
“选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M，
则事件M包含有共6种情形，
所以；
（3）第一组3人，第七组2人，
则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为，
方差.
18．（2024·高一·山东日照·期末）1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数；
(2)若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．
【解析】（1）
由上表可知，，解得，
设这50名学生一试成绩的70%分位数为，
由于前三个矩形面积，前四个矩形面积，
故得，，解得，
即这50名学生一试成绩的70%分位数约为91．
（2）由图知，成绩在有人，成绩在有人，
根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份，
设，，，四位同学的成绩在，，两位同学的成绩在，
根据分层抽样的原则有，，，，，，，，，
，，共12个样本，符合条件的，，共3个样本，
所以符合条件的概率为，
即，两位同学的试卷都被抽到的概率为．
19．（2024·高一·山东潍坊·期末）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率；
(3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择：
方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元；
方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，
【解析】（1）由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值为：
.
（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为A和B，来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和，
从中任取两件，样本空间可记为
共包含15个样本点，
记事件E：指标在和各1件，则共包含3个样本点，
所以．
（3）设将甲、乙两种型号芯片应用于A型、B型手机时，该科技公司损失为y（万元），
，
所以当时，；
当时，；
当时，，
综上，当临界值时，选择方案二；
当临界值时，选择方案一和方案二均可；
当临界值时，选择方案一．
课程标准
学习目标
（1）掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
（2）理解概率的意义．
（1）理解古典概型的概念及特点.
（2）掌握概率的基本性质.
（3）了解频率与概率的区别.
分组
频数
6
9
20
10
5
四面体的面
1
2
3
4
频数
44
36
42
78
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
分组
频数
频率
10
0.10
20
0.20
50
0.50
20
0.20
合计
100
1.00
投掷硬币的次数
200
500
c
正面向上的次数
102
b
404
正面向上的频率
a
0.482
0.505
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
125
176
369
命中的频率
0.68
0.625
0.587
0.615
序号
分组（岁）
本组中“低碳族”人数
“低碳族”人数在本组所占的比例
1
[25, 30)
120
0.6
2
[30, 35)
195
p
3
[35, 40)
100
0.5
4
[40, 45)
a
0.4
5
[45, 50)
30
0.3
6
[55, 60)
15
0.3
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟次数
81
95
120
81
119
127
121
知识点01 古典概型
1、古典概型
如果某概率模型具有以下两个特点：
（1）样本空间只含有有限个样本点．
（2）每个基本事件的发生都是等可能的．
那么我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．
2、古典概型的概率公式
在古典概型中，如果样本空间（其中为样本点的个数），那么每一个基本事件）发生的概率都是如果事件由其中个等可能基本事件组合而成，即中包含个样本点，那么事件发生的概率为．
【即学即练1】（2024·高一·北京·期末）从定义域及值域均为的函数中随机选一个记为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，即且或且，即严格增或严格减；
因为定义域及值域均为，所以有3种情况，有2种情况，有1种情况，共有种情况，
其中严格增的有1种，即，严格减的有1种，
所以答案为，
故选：B.
知识点02 频率与概率
1、概率的基本性质
（1）随机事件的概率范围为．
（2）必然事件和不可能事件分别用和表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，
2、频率的稳定性
一般地，对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在随机事件发生的概率的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．
3、频率与概率的关系
若随机事件在次试验中发生了次，则当试验次数很大时，可以用事件发生的频率来估计事件的概率，即．
4、概率的意义
对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性．
【即学即练2】（2024·高一·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映频繁程度，故①正确；
对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确；
对于③：各个试验结果的频率之和一定等于，故③错误；
对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误；
故选：C.
题型一：古典概型的判断
【典例1-1】（2024·高一·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（ ）
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四名同学用抽签法选一人参加会议
D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率
【答案】C
【解析】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的，
A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足；
B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足；
C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足；
D：基本事件是区间上所有实数是无限的，不满足；
故选：C
【典例1-2】（2024·高一·全国·课时练习）下列关于古典概型的说法正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则.
A．②④B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】D
【解析】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；
在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；
在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；
在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确．
故选：D．
【变式1-1】（2024·高一·全国·课时练习）下列不是古典概型的是（ ）
A．在6个完全相同的小球中任取1个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
【答案】B
【解析】选项A中，在6个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且该试验包含的基本事件其有6个，故A符合古典概型；
选项B中，由于点数的和出现的可能性不相等，故B不是古典概型；
选项C中，该试验满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
选项D中，满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．
故选：B
【变式1-2】（2024·高一·全国·单元测试）下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
【答案】C
【解析】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；
B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；
C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
故选：C
【变式1-3】（2024·高一·全国·课时练习）下列问题中是古典概型的是
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
【答案】D
【解析】A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．故选D．
【方法技巧与总结】古典概型需满足两个条件
（1）样本点总数有限．
（2）各个样本点出现的可能性相等．
题型二：古典概型概率的计算
【典例2-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不超过10的正奇数有，共5个，从中随机抽取2个，
共有，10种情况，
其中孪生素数有，共2种情况，
由古典概型可得这2个奇数是孪生素数的概率为.
故选：C.
【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ），并说明理由．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，所有可能取法有：共6种情况，
其中和为奇数的有4种，所以概率为.
故选：C
【变式2-1】（2024·内蒙古包头·一模）某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设这几个球中，红球分别为、、，白球分别为、，
则甲、乙两同学先后取出的两球可能的情况有：
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、共二十种，
其中取到不同颜色球的情况有：
、、、、、、、、、、、共十二种，
故其概率为.
故选：C.
【变式2-2】（2024·高一·辽宁朝阳·开学考试）袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中1个红球、2个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设这五个球中红球为，白球分别为、，黑球分别为、，
则从袋中任取两球，有、、、、、、、、
、共十种可能，其中一白一黑有、、、共四种可能，
所以一白一黑的概率．
故选：D.
【变式2-3】（2024·高一·全国·专题练习）某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，射击5枪，命中3枪，总的方法数包含共10种，
其中3枪中恰有2枪连中的情况有,,,,,，共6种，
所以3枪中恰有2枪连中的概率为.
故选：B
【变式2-4】（2024·陕西安康·模拟预测）甲､乙､丙三人被随机的安排在周六､周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲､乙被安排在同一天值班的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人，
两组分别安排在周六､周日值班共有6种情况：
（甲乙，丙）､（甲丙，乙）､（乙丙，甲）､（甲，乙丙）､（乙，甲丙）､（丙，甲乙），
显然甲､乙被安排在同一天有2种情况，
所以甲､乙被安排在同一天的概率为。
故选：C
【方法技巧与总结】利用古典概型公式计算概率的步骤
（1）确定样本空间的样本点的总数n．
（2）确定所求事件A包含的样本点的个数m．
（3）．
题型三：较复杂的古典概型的概率计算
【典例3-1】（2024·高一·辽宁辽阳·阶段练习）辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动． 公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益． 从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．
(1)求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率．
【解析】（1）由题意得，
解得.
估计被抽取的名少年儿童问卷调查结果的平均数为
.
（2）依题意可得在内抽取的人数为（人），
设所抽取的人为，
在内抽取的人数为（人），设所抽取的人为，
则从中随机抽取2名少年儿童有
共15种情况，
其中随机抽取的这2名少年儿童在同一组的有共7种情况.
故随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率.
【典例3-2】（2024·高一·辽宁·期末）某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
(1)求和乙样本直方图中的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.
【解析】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得；
由乙样本数据直方图可知，，
解得；
（2）甲样本数据的平均值估计值为
，
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，
，
解得，所以乙样本数据的中位数为82.
（3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，
将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为，
则从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，共15个，
所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为.
【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
【解析】（1）由前面的分析可知试验的样本空间，
共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则，
共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为；
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则，
共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为；
（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则，
共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.
【变式3-2】（2024·高一·辽宁阜新·阶段练习）某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）
物理成绩统计表
(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）；
(2)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率．
【解析】（1）依题意，，
解得，
所以数学成绩的平均分：
.
（2）数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，则两科均为“优”的人数为3人.
设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，
则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，
符合题意的情况有：，
故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.
【变式3-3】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）从一批柚子中随机抽取100个，获得其质量（单位：）数据，按照区间，进行分组，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)用分层抽样的方法从质量在和内的柚子中抽取5个，求抽取的质量在内的柚子数；
(2)从（1）中抽出的5个柚子中任取2个，求最多有1个柚子的质量在内的概率．
【解析】（1）由频率分布直方图知，质量在内的柚子数为，
质量在内的柚子数为，
从质量在和内的柚子中抽取5个，其中质量在内的柚子数为．
（2）由（1）知，质量在内的柚子数为3，记为，质量在内的柚子数为2，记为，
则从这5个柚子中任取2个的所有基本事件为,，共10个，
其中最多有1个柚子的质量在内所包含的基本事件有,，共7个，
所以最多有1个柚子的质量在内的概率．
【变式3-4】（2024·高一·河南焦作·期末）某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
【解析】（1），解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为.
（2）不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.
【方法技巧与总结】在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便．
题型四：对概率概念的理解
【典例4-1】（2024·高二·新疆和田·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币次，事件必发生次
B．抛掷硬币次，事件不可能发生次
C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近
【答案】D
【解析】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
【典例4-2】（2024·高一·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【答案】A
【解析】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确，
对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误，
对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误，
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误，
故选：A
【变式4-1】（2024·高一·天津河东·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ）
A．该四面体一定不是均匀的B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C．再抛掷一次，标记4的面落地D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
【答案】D
【解析】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误；
BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即，
B选项中所估计的概率和频率差别过大，
C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为，但频率只有，因此不能认为必然发生，BC选项错误；
D选项，标记3的面落地概率估计是，和实验频率非常接近，D选项正确.
故选：D
【变式4-2】（2024·高一·山西·期末）某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（ ）
A．0.58B．0.61C．0.62D．0.68
【答案】B
【解析】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适.
故选：B.
【变式4-3】（2024·高一·全国·课时练习）下列说法中正确的个数是（ ）
（1）概率反映随机事件发生的可能性大小；
（2）做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率；
（3）频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依濑于试验次数的理论值；
（4）在大量的重复试验中，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】概率反映随机事件发生的可能性大小，故（1）正确；
做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率是事件发生的概率的近似值，故（2）不正确；
频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依濑于试验次数的理论值，故（3）正确；
在大量的重复试验中，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值，故（4）正确.
故选：C
【变式4-4】（2024·高一·全国·单元测试）将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用表示正面向上这一事件，则（ ）
A．发生的概率为B．发生的概率接近
C．在这十次试验中发生的频率为D．在这十次试验中发生的频率为6
【答案】C
【解析】概率是频率的稳定值，发生的概率等于，故AB错误；
在这十次试验中发生的频率为，故C正确，D错误.
故选：C
【方法技巧与总结】概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生．
题型五：利用频率估计概率
【典例5-1】（2024·高三·云南·阶段练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 .
【答案】0.14/
【解析】由题知：
故该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为.
故答案为：0.14
【典例5-2】（2024·高一·甘肃武威·开学考试）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【答案】15
【解析】设盒子中红球的个数为，
由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25，
则，
解得，
即盒子中红球个数大约15个.
故答案为：15
【变式5-1】（2024·高一·福建宁德·开学考试）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个.
【答案】
【解析】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近，
估计袋中红球个数是.
故答案为：.
【变式5-2】（2024·高一·全国·课时练习）某制造商今年月份生产了一批乒乓球，随机抽取个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下：
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为，则这批乒乓球的直径误差不超过的概率是 ．
【答案】
【解析】标准尺寸是，并且误差不超过，即直径需落在[39.97，40.03]范围内．
由频率分布表知，频率为，
所以直径误差不超过的概率约为.
故答案为：
【变式5-3】（2024·高一·全国·课时练习）投掷硬币的结果如下表：
则 ， ， ．
据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ．
【答案】 0.51/ 241 800 0.5/
【解析】，，
.
三组试验正面向上的频率都在0.5附近，
由频率的稳定性，估计若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5.
故答案为：0.51；241；800；0.5.
【变式5-4】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·期末）某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示．
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ．
【答案】
【解析】由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小.
所以使误差较小的可能性大的估计值是.
故答案为：.
【方法技巧与总结】（1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
（2）解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
题型六：概率的应用
【典例6-1】（2024·高一·河南商丘·期末）某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．
（一）人数统计表 （二）各年龄段人数频率分布直方图
(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值；
(2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．
【解析】（1）结合频率分布直方图可知，第二组的频率为，
所以第二组高为．故补全频率分布直方图如下：
结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以；
因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以；
因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．
（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为，
所以采用分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人．
设年龄在中被抽取的4个人分别为：；
年龄在岁中被抽取的2个人分别为：；
则总的基本事件有：,,,,,……，共20个；
记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个；
所以.
【典例6-2】（2024·高一·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.
(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；
(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率；
(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组:； B组:.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.
【解析】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，
所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.
（2）样本中，组中有人，组中有人，
从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：
共包含15 个样本点,
记事件A：两人来自同一组，
则，共包含7个样本点，
所以这2人来自同一组的概率 .
（3）这两组学生的得分记录：A组:； B组:.
方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等，
对比两组数据，可知：或.
【变式6-1】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差．
【解析】（1）这些人的平均年龄为（岁）．
由频率分布直方图知，年龄在的频率为，
在的频率为，则第80百分位数为，
由，解得，
所以这些人的平均年龄为（岁），第80百分位数为.
（2）依题意，第四组应抽取人，记为,甲，第五组抽取人，记为,乙，
对应的样本空间{(a,b),(a,c),(a,甲),(a,乙),(a,d),(b,c),(b,甲),(b,乙),(b,d),(c,甲),(c,乙),(c,d),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共15个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则{(a,甲),(a,乙),(b,甲),(b,乙),(c,甲),(c,乙),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共有9个样本点，
所以甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
（3）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为，方差分别为，
则，由第一组有10人，得第四组有40人，第五组有20人，
设第四组和第五组所有人的年龄平均数为，方差为，
则，
因此第四组和第五组所有人的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.
【变式6-2】（2024·高三·海南儋州·阶段练习）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图.
(1)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
(2)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率.
【解析】（1）由频率分布直方图知，解得
语文成绩在的
频率依次为，
显然语文成绩的中位数落在，则，
解得，所以语文成绩的中位数为；
语文成绩的平均数为.
（2）语文成绩在区间内的人数比为，
因此5名学生中分数在的学生应抽4名，记为，在的学生应抽1名，记为，
则所有抽取情况有，共10种，
恰有一人成绩在有，共4种，
所以这5名学生中随机选出2人，恰有一人成绩在中的概率为.
【变式6-3】（2024·高三·上海青浦·期中）2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
(2)用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
【解析】（1）由频率分布直方图得：，解得，
阅读时长在区间内的频率分别为，
所以阅读时长的平均数.
（2）由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，
则在内抽取人，记为，在内抽取 人，记为，
从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下：
，共15个，
其中抽取的人都在内的有，共6个，
所以所抽取2人都在内的概率．
【变式6-4】（2024·高一·全国·随堂练习）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率：
(1)舞蹈在最前或最后；
(2)舞蹈和小品1个在最前、1个在最后；
(3)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后；
(4)两个歌唱节目相邻；
(5)舞蹈排在小品之前．
【解析】（1）
依题意，记2个歌唱节目为，记1个舞蹈节目为 ，1个小品节目为，
则按任意次序排出一个节目单的基本事件有：，
，，
，共件，
其中舞蹈在最前或最后的基本事件有，，
，，共件，
则其概率为；
（2）其中舞蹈和小品1个在最前、1个在最后的基本事件有，，共件，
则其概率；
（3）因为“舞蹈和小品至少有1个在最前或最后”的对立事件为“舞蹈和小品排在中间”，
而舞蹈和小品排在中间的基本事件有，，共件，
所以舞蹈和小品至少有1个在最前或最后的基本事件有件，
则其概率；
（4）其中两个歌唱节目相邻的基本事件有，，
，，共件，
则其概率；
（5）其中舞蹈排在小品之前的基本事件有，，
，共件，
则其概率.
【变式6-5】（2024·高一·全国·随堂练习）袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同．
(1)采取有放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率．
【解析】（1）用表示2个白球，用表示3个黑球，采取有放回抽取方式，从中依次摸出两个球，样本空间为
，每个样本点都是等可能发生的，,
设“两球颜色不同的事件”，则，,
所以.
（2）用表示2个白球，用表示3个黑球，采取不放回抽取方式，从中依次摸出两个球，样本空间为
，每个样本点都是等可能发生的，,
设“两球颜色不同的事件”，则，,
所以.
【变式6-6】（2024·高一·全国·随堂练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷4次，设事件A表示“2次出现正面，2次出现反面”，事件B表示“3次出现正面，1次出现反面”，则事件A与事件B发生的概率哪个更大？
【解析】用表示正面向上，用表示反面向上，将一枚均匀的硬币连续抛掷4次，样本空间为 ，每个样本点都是等可能发生，，
因为,，
所以.
因为,，
所以.
由，得.
【变式6-7】（2024·高一·甘肃临夏·期末）某旅游景点，“五一”假期吸引了众多游客，为了解游客“五一”假期旅行支出情况，在该景点随机抽取了部分游客进行问卷调查，从中统计得到游客旅行总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示．
(1)利用分层抽样在，，三组中抽取6人，应从这三组中各抽取几人？
(2)从（1）抽取的6人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率；
(3)假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该景点游客旅行支出的平均值．
【解析】（1）由频率分布直方图可得组的频率为，
组的频率为，组的频率为，
故利用分层抽样在，，三组中抽取6人，
组抽取人数为，
组抽取人数为，
组抽取人数为；
（2）设组3人为，租的2认为，组的1人为，
从这6人中随机选出2人，共有
共15种抽法，
其中2人不在同一组的抽法有共11种，
故这2人不在同一组的概率为；
（3）由题意得估计该景点游客旅行支出的平均值为：
（百元）.
【方法技巧与总结】
概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大．
一、单选题
1．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517
B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483
C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5
D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517
【答案】B
【解析】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；
抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误；
甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误.
故选：B
2．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）从集合中任取两个元素，则这两个元素的差的绝对值为2的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】从集合中任取两个元素的取法有，共6种，
其中满足两个元素的差的绝对值为2的取法有，共3种.
故这两个元素的差的绝对值为2的概率为.
故选：B.
3．（2024·高一·山东威海·期末）甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设甲校报名支教的两名教师为，乙校报名支教的两名教师为，从这报名的名教师中任选名，
共有这6种情况，
选出的名教师来自不同学校共有这4种情况，
所以所求概率为.
故选：C.
4．（2024·高三·河南·专题练习）“天问一号”中的天问是中国行星探测任务的名称，它的名字起源于屈原的《天问》，想要表达的是中华民族对追求真理的执着，对科技创新的不懈．中国行星探测任务被命名为“天问系列”是在2020年4月24日，首次火星探测任务的探测器则被命名为“天问一号”．2020年7月23日，中午12时41分，长征五号遥四运载火箭托举着我国首次火星探测任务“天问一号”探测器，在中国文昌航天发射场点火升空．若从“天，问，一，号”，这4个字中任取一个字，再从“4，24，7，23”这4个数字中任取2个数字，组成一个“系列组”，则该“系列组”中包含“天问一号”命名时间“4，24”或发射时间“7，23”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】所有“系列组”的不同情况有：
(天，4，24)，(天，4，7)，(天，4，23)，(天，24，7)，(天，24，23)，(天，7，23)，
(问，4，24)，(问，4，7)，(问，4，23)，(问，24，7)，(问，24，23)，(问，7，23)，
(一，4，24)，(一，4，7)，(一，4，23)，(一，24，7)，(一，24，23)，(一，7，23)，
(号，4，24)，(号，4，7)，(号，4，23)，(号，24，7)，(号，24，23)，(号，7，23)．共24种不同情况，
其中包含命名时间“4，24”或发射时间“7，23”的不同情况有8种，
故所求概率为：．
故选：D．
5．（2024·高一·江西九江·期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为，
两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间
，共25个样本点，
两位参赛博主抽到不同主题的事件
，共20个样本点，
所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为.
故选：D
6．（2024·陕西安康·模拟预测）“百年风雨历经苦难，百年成就激荡人心”，为弘扬陈延年、陈乔年烈士的光荣事迹及革命精神，传承红色基因，某校“延乔少年行”实践团于1月6日开展红色文化活动，实践团成员中有来自高二（1）班和高二（2）班的学生各2人，高二（3）班和高二（4）班的学生各1人，在瞻仰陈延年烈士雕像举行宣誓环节，需要从这6名学生中任选4名手持国旗，则这4名学生来自不同班级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记高二（1）班的2名学生分别为，高二（2）班的2名学生分别为，
高二（3）班的学生为，高二（4）班的学生为，
则从这6名学生中任选4名的事件包含
，
，共15个，
其中这4名学生来自不同班级的事件包含，
共4个，所以所求事件的概率为．
故选：D．
7．（2024·高一·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．213石B．152石C．169石D．196石
【答案】C
【解析】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为，
则这批米内夹谷约为（石，
故选：C
8．（2024·高一·湖南岳阳·期末）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】16可以拆成
共有15种情况,
其中拆成的和式中加数全部为质数的有：共有4种情况.
所以拆成的和式中，加数全部为质数的概率为.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·高一·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】ACD
【解析】A项，P(点数为奇数) P(点数为偶数)；
B, 同时抛掷两枚硬币，共有4种情况：正正；正反；反正；正反.
则 P(恰有一枚正面向上)，P(两枚都正面向上)＝；概率不相等，故B错误，
C项，P(牌色为红) P(牌色为黑) ；
D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同) .
故选：ACD.
10．（2024·高一·江西南昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件
B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1
C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点
D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为
【答案】BC
【解析】对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误；
对于B，随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1，故B正确；
对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确；
对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为，故D错误.
故选：BC.
11．（2024·高一·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（ ）
A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜
B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜
C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜
D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜
【答案】AB
【解析】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件，
两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有：
，
，共19种，
则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确；
对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6，
最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个，
此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确；
对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有，
，共18个基本事件，
则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件，
此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利；
对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个，
两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个，
此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利；
故选：AB
三、填空题
12．（2024·高一·安徽宣城·自主招生）已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为 .
【答案】
【解析】根据已知条件联立，即，整理有：，
因为两函数图象有交点，所以，即，
当时，无解；当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；综上，满足条件的、共对，
又根据已知条件、的所有取值情况为种，
所以两函数图象有交点的概率为.
故答案为：
13．（2024·高二·上海·阶段练习）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若或，就称甲乙“心有灵犀”．现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ．
【答案】
【解析】甲、乙的所有可能情况用二维有序数组表示：
，
，
，
总共有36种，
符合条件的有，共11种，
所以他们“心有灵犀”的概率为.
故答案为：.
14．（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知这5个数的标准差为2，若在中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是 ．
【答案】/
【解析】这5个数的平均数为，
因为这5个数的标准差为2，
，
解得，
则，即为，
按照从小到大的顺序为，
从随机取出3个不同的数，
有，
共种，
其中5为这3个数的中位数有共种，
所以5为这3个数的中位数的概率是.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·高一·江苏·专题练习）某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
(1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数）
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
【解析】（1）根据表格中数据，击中飞碟的频率依次为
，
.
（2）由（1）可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动，
所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800.
16．（2024·高一·安徽淮北·阶段练习）某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
【解析】（1）由，
可得.
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩90分以下的所占比例为，
110分以下的所占比例为，
因此，中位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的中位数约为97.5分，
据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数约为97.5分.
（3）由题意分数段的人数为，
分数段的人数为，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽取2人，分别记为，，
分数段内抽取3人，分别记为，，.
设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在）内”为事件，
则样本空间，共包含10个样本点，
而事件包含7个样本点，所以，
故抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.
17．（2024·高一·辽宁葫芦岛·开学考试）某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
求：
(1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务.
(2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.
(3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
【解析】（1）月销售额在小组内的频率为，
若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标，
根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为，
和及三组的频率之和为，
故估计月销售目标应定为万元；
（2）第一组3人记为，第七组2人，
则选取2位推销员有
共10种情形，
“选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M，
则事件M包含有共6种情形，
所以；
（3）第一组3人，第七组2人，
则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为，
方差.
18．（2024·高一·山东日照·期末）1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数；
(2)若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．
【解析】（1）
由上表可知，，解得，
设这50名学生一试成绩的70%分位数为，
由于前三个矩形面积，前四个矩形面积，
故得，，解得，
即这50名学生一试成绩的70%分位数约为91．
（2）由图知，成绩在有人，成绩在有人，
根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份，
设，，，四位同学的成绩在，，两位同学的成绩在，
根据分层抽样的原则有，，，，，，，，，
，，共12个样本，符合条件的，，共3个样本，
所以符合条件的概率为，
即，两位同学的试卷都被抽到的概率为．
19．（2024·高一·山东潍坊·期末）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率；
(3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择：
方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元；
方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，
【解析】（1）由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值为：
.
（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为A和B，来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和，
从中任取两件，样本空间可记为
共包含15个样本点，
记事件E：指标在和各1件，则共包含3个样本点，
所以．
（3）设将甲、乙两种型号芯片应用于A型、B型手机时，该科技公司损失为y（万元），
，
所以当时，；
当时，；
当时，，
综上，当临界值时，选择方案二；
当临界值时，选择方案一和方案二均可；
当临界值时，选择方案一．
课程标准
学习目标
（1）掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
（2）理解概率的意义．
（1）理解古典概型的概念及特点.
（2）掌握概率的基本性质.
（3）了解频率与概率的区别.
分组
频数
6
9
20
10
5
四面体的面
1
2
3
4
频数
44
36
42
78
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
分组
频数
频率
10
0.10
20
0.20
50
0.50
20
0.20
合计
100
1.00
投掷硬币的次数
200
500
c
正面向上的次数
102
b
404
正面向上的频率
a
0.482
0.505
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
125
176
369
命中的频率
0.68
0.625
0.587
0.615
序号
分组（岁）
本组中“低碳族”人数
“低碳族”人数在本组所占的比例
1
[25, 30)
120
0.6
2
[30, 35)
195
p
3
[35, 40)
100
0.5
4
[40, 45)
a
0.4
5
[45, 50)
30
0.3
6
[55, 60)
15
0.3
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟次数
81
95
120
81
119
127
121
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