数学必修 第二册13.1 基本立体图形优秀同步达标检测题

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分层练习
基础篇
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【详解】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误；
对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.故②错误；
对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方体.故③错误；
对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确.
故选：A
2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【详解】由题可知，
∴，还原直观图可得原平面图形，如图，
则，
∴，
∴原平面图形的周长为.
故选：B.
3．如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【详解】将侧面与展开，如图：
连接，则.
将侧面与展开，如图：
连接，则
故选：A
4．一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【详解】根据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底面平面的平面截得的，
如下所示：
对原正四棱锥，，故其高，
又△△，其相似比为，故正四棱台的高.
故选：.
5．用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（ ）
①等边三角形 ②直角梯形 ③菱形 ④五边形
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【详解】解：如图，用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形，
故选：C
6．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3，如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高，所以根据相似关系可知，三棱台的高也是.
故选：C
7．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】将直三棱柱的侧面展开，如图所示，
当四点共线时，取得最小值，
则最小值为：．
故选：D.
8．如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，
连接与分别交于两点，
将三棱锥由展开，则，
为虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，
然后回到点的最短距离，
∵，
∴由勾股定理可得，
所以虫子爬行的最短距离4，
故选：A.
二、多选题
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
【答案】ABC
【详解】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；
B、如图（2）（3）所示，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；
C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；
D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．
故选：ABC．
10．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】解：在直观图中，过作于
，
，
又，所以，，，
所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图
，故选项B正确；
又，故选项A、C错误；
，故选项D正确；
故选：BD.
11．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面
【答案】BD
【详解】根据空间几何体的定义，
对于A，如图所示：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，错误；
对于B，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；
对于C，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，错误；
对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，正确；
故选：BD.
12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（ ）
A．矩形
B．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体
C．每个面都是等边三角形的四面体
D．每个面都是直角三角形的四面体
【答案】ABCD
【详解】A：如下图，四边形为矩形，正确；
B：如下图，四面体三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形，正确；
C：如下图，四面体每个面都是等边三角形，正确；
D：如下图，四面体每个面都是直角三角形，正确；
故选：ABCD
三、填空题
13．如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，侧面积为，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为___________cm.
【答案】
【详解】解：将正三棱柱沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，
依题意，由侧面积为，所以，则，
依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线为；
故答案为：
14．长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是___________．
【答案】5
【详解】解：长方体的表面可如下图三种方法展开后，、两点间的距离分别为：
，，，
一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是5．
故答案为：5．
15．在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】
如图，将正方形、铺平在同一平面上，
当三点共线时，最小，最小值为，
故答案为：
16．请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）
【答案】（答案不唯一）
【详解】如图三棱锥各棱长都是正方体的面对角线，因此三棱锥的个面都是正三角形，即这个点可以是，
故答案为：（答案不唯一）.
四、解答题
17．已知圆锥的底面半径为1，高为，轴截面为平面，如图，从点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到点，求最短绳长.
【答案】
【详解】解：沿将圆锥侧面展开为平面扇形，如图.
，，，.
作交于点D，则.
，
∴最短绳长为.
18．如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′.
【答案】
【详解】设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C′D′＝
由题意知C′D′·(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S.
原直角梯形面积为
S′＝2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝
即梯形OABC的面积为
19．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，求周长的最小值．
【答案】.
【详解】将三棱锥沿侧棱剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段的长为所求周长的最小值．
∵，∴．
又，∴．
∴周长的最小值为．
20．（1）如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面,CC1＝3，有虫从A沿三个侧面爬到A1，求小虫爬行的最短距离．
（2）以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的夹角都是30°，在一条棱上取A，B两点，OA＝4cm，OB＝3cm，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A，B两点间的最短绳长．
【答案】（1）3；（2）5cm
【详解】（1）三棱柱的侧面展开图为一个矩形AA′A1′A1，如图所示，
长A1A1′＝2×3＝6，宽AA1＝3，
所以AA1′＝＝＝3，
即小虫爬行的最短距离是3.
（2）作出三棱锥的侧面展开图，如图，
A，B两点间最短绳长就是线段AB的长度．
在中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4cm，OB＝3cm，
所以AB＝ ＝5(cm)．
所以此绳在A，B两点间的最短绳长为5cm.
提升篇
一、单选题
1．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【详解】
如图所示，截面为，P为MN的中点，设
,
当时，，此时截面面积最大.
故选：A
2．在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（ ）
A．12πB．8πC．6πD．4π
【答案】C
【详解】如图，在左侧面的轨迹为弧，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧.
易知，，又，，
∴，则，
∴P的轨迹长度为6π，
故选：C.
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与其侧面三角形底边上的高的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由已知，可画出正四棱锥的图像，底面是边长为的正方形，顶点在底面的投影为，，为中点，为侧面的高，设，由已知可得：
，，即，
则，即，解得
或（舍去）.
故选：B.
4．如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（ ）
A．AB中点B．BC中点
C．CD中点D．BB1中点
【答案】B
【详解】取的中点，连接，，如图，
则，
所以在截面上,
故选：B
5．若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】C
【详解】设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的高为h
则，
解得：，
设截面在圆锥底面的轨迹，
则截面等腰三角形的高，
所以截面面积
，
当且仅当，即等号成立，
故选：C
6．已知过的平面与正方体相交，分别交棱，于，.则下列关于截面的说法中，不正确的是（ ）
A．截面可能是矩形B．截面可能是菱形
C．截面可能是梯形D．截面不可能是正方形
【答案】C
【详解】如下图，当分别与对角顶点重合时，显然是矩形；
如下图，当，为，的中点时，显然是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：不可能为正方形；
根据对称性，其它情况下为平行四边形；
综上，C不正确.
故选：C.
7．如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【详解】如图，作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面，不妨设是中点（是正四棱锥的斜高），则的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点为球与正四棱锥侧面的切点，
正四棱锥中，，，则，，是等边三角形，则分别为的中点，，
由正四棱锥性质知四边形是正方形，所以外接圆半径为．
故选：C．
8．从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，
则截面圆的面积为：
设正四棱锥的底面正方形边长为，则，所以
正四棱锥的底面正方形的面积为
由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似
设圆面中挖去一个正方形的面积为，正四棱锥的底面正方形为
则,从而
所以截面图形的面积为．
故选：C．
二、多选题
9．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】BC
【详解】解：因为，所以，
当时（如图1），，
故平面截正方体所得的截面为四边形，
当时（如图2），
过点作的平行线交于，
此时平面截正方体所得的截面为四边形，
当时，
过点作的平行线交的延长线于，交于点，连接交于点，
此时平面截正方体所得的截面为五边形，
综上所述，平面截正方体所得的截面为五边形时，的范围为.
故选：BC.
10．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）
A．长方体中含有两个相同的等腰四面体
B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形
C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到
D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为
【答案】ABC
【详解】如图，长方体有两个相同的等腰四面体：和，A正确；
如等腰四面体中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的，
如图，设的长分别为，不妨设，
则，，，最大，
其所对角的余弦值为，最大角为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B正确；
把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线，
如等腰四面体，沿剪开摊平，共线，同理可得共线，共线，为锐角三角形（与等腰四面体的面相似），且是这个三角形的中位线，因此C正确；
如上等腰四面体中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外接球直径，因此直径长为，D错。
故选：ABC．
11．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值
【答案】AD
【详解】由于始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A正确；
图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B错；
图（3）中与水面就不平行，C错；
图（3）中，水体积不变，因此面积不变，从而为定值，D正确．
故选：AD．
12．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面多边形记为S，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，S为等腰梯形
B．当时，S与的交点R满足
C．当时，S为六边形
D．当时，S的面积为
【答案】ABD
【详解】解：过点A，P，Q的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形，
当时，其截面形状为五边形如图2．
若，则，所以．
当时，与重合，其截面形状为四边形如图3，
此时，
因为P为的中点，且，所以为的中点，所以，
同理，所以四边形为平行四边形，
所以四边形为菱形，其面积为．故ABD正确．
故选：ABD.
三、填空题
13．已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______．
【答案】
【详解】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；
则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG．
∵E、F分别是、的中点，则易知AN＝，
∴AN＝，∴，
∴，，；
同理，，，；
∴平面CEF截正方体所得截面的周长为：
EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．
故答案为：.
14．已知三棱锥的所有棱长都相等，点E为AD中点，点F为底面BCD内的动点，记EF的最小值为，最大值为，则___________.
【答案】
【详解】设正四面体的棱长为，
设是等边三角形的中心，则平面，
设是的中点，，，
所以，
由于是的中点，所以的最小值.
设是的中点，则，，
所以的最大值，
所以.
故答案为：
15．已知圆锥的母线与底面半径之比为3，若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9，则该圆锥的轴截面面积为_________.
【答案】
【详解】圆锥的侧面展开图为扇形，如图所示，
设母线长为l，即OA=OB=l，圆锥底面半径为r，即的长度为2πr，
设侧面展开图的圆心角∠AOB=θ，则，
由已知得，联立解得，
从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为AB，则，
则在等腰△OAB中，易得，则，
圆锥轴截面为以母线l为腰，2r为底边的等腰三角形，其底边上高为，
∴轴截面面积为﹒
故答案为：．
16．已知四面体的所有棱长均为4，点满足，则以为球心，为半径的球与四面体表面所得交线总长度为______.
【答案】
【详解】已知四面体ABCD的所有棱长均为4，所以四面体ABCD是正四面体，
因为点O满足，所以为正四面体ABCD的中心
设正三角BCD的中心为F，正三角ACD的中心为G，CD的中点为E，
则连接则．

则，，
，
．
因为球O的半径为，所以球O被平面截得圆半径为，
因为正三角形BCD的边长为4，所以正三角形内切圆半径为，
故球O与四面体ABCD的每一个面所得的交线为正好为内切圆，每个内切圆的周长为，所以球与四面体ABCD表面所得交线总长度．
故答案为：．
四、解答题
17．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和．
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．
【答案】(1) . (2) .
【详解】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接.
由已知可得上底半径，下底半径，且腰长，
∴，即圆台的高为.
（2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
18．如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点.求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
【答案】（1）50cm；（2）4cm
【详解】（1）如图,绳子的最短长度为侧面展开图中的长度.
因为圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm
所以,
母线长,代入可得,
所以.
设,由,
解得.
所以.
即绳子的最短长度为50cm.
（2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离.
因为,
所以.
故,即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.
19．如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长.
【答案】
【详解】依题意，，则，
设上底面的边长为，则，
如图所示，连接，过作于点H，则四边形为矩形，且，
于是得，在中，，
因四边形的面积为，则，即，解得，
所以上底面的边长为.
20．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为24.
（1）求圆台的母线长l.
（2）若该棱锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长.
【答案】（1）；（2）.
【详解】(1)由已知，又
所以，
所以，圆台的母线
（2）
如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，
则
解得
故正方体的棱长为