高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形课后作业题

专题8.1 基本立体图形

知识储备

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

(2)旋转体的结构特征

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2019·西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）下列说法中正确的是（    ）．

A．棱柱的一条侧棱长叫做棱柱的高

B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

C．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面

D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

【答案】B

【解析】由棱柱的特征：①有两个面相互平行且全等；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.

可以判断B正确； C不正确，例如正六棱柱的相对侧面；A不正确，只有直棱柱满足A的条件；D不正确，例如平行六面体.故选:B.

2．（2020·湖北武汉市·高二期中）一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体容器，则水面在容器中形成的所有可能的形状是（    ）

①三角形  ②菱形   ③五边形   ④正方形   ⑤正六边形

A．②④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①②③④⑤

【答案】C

【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，

过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，所以②是正确的；

过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，所以④是正确的；

过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以⑤是正确的；

过正方体的中心的平面截正方体得到的截面，且该截面将正方体的体积平分，显然截面不能是三角形和五边形；故选：C.

3．（2020·昔阳县中学校高二期中）下列说法中不正确的是（    ）

A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形

B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

C．棱锥的侧面均为三角形

D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形

【答案】B

【解析】由圆柱的性质知其侧面展开图是矩形，棱锥的侧面都是三角形，棱台的上下底面是平行且梘的多边形，ACD均正确，

由旋转体的概念可知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，B错．故选：B．

4．（2020·江苏南通市·高三期中）《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（    ）

A．8 B．16 C．24 D．28

【答案】C

【解析】根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为，

，，所以

，，，又因为平面，

且，则平面，又因为，所以共有4个阳马；

同理，平面，共4个；

平面，共4个；

平面，共4个；

平面，共4个；

平面，共4个；

故有24个阳马.故选：C.

5．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高二期中）下列说法正确的是（    ）

A．直四棱柱是正四棱柱

B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

D．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥

【答案】C

【解析】对于，直四棱柱的底面不一定是正方形，故不正确；

对于，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故不正确；

对于，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故正确；

对于，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故不正确.故选：C

6．（2020·全国高三专题练习（文））下列说法中正确的是（    ）

A．棱柱的面中，至少有两个互相平行

B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C．棱柱中各条棱长都相等

D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

【答案】A

【解析】由棱柱的特征：①有两个面相互平行且全等；②其余各面都是平行四边形；

③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.可知只有正确．故选：A.

7．（2020·全国高三专题练习（文））下列关于长方体的叙述不正确的是（    ）

A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体

B．长方体中相对的面都相互平行

C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离

D．两底面之间的棱互相平行且等长

【答案】A

【解析】

A中只有移动相同距离才能形成长方体，由长方体的结构知其他三个选项都正确

故选：A.

8．（2020·全国高三专题练习（文））下列关于棱柱的说法正确的个数是（    ）

①四棱柱是平行六面体；

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；

④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；

有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能侧棱不平行，故②不正确；

由棱柱的定义可得③正确；

底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确.故选：A.

二、多选题

9．（2020·肇庆市实验中学高二期中）下列命题正确的是（    ）

A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台

C．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体

D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面

【答案】CD

【解析】对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点，错误；

对于B，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，错误；

对于C，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；

对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，正确；

故选：CD.

10．（2020·江苏镇江市·高二期中）下列说法正确的有（    ）

A．正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行

B．设m为圆锥的一条母线，则在该圆锥底面圆中，有且只有一条直径与m垂直

C．对于任意一个正棱柱，都存在一个球，使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上

D．设AB，CD分别为圆柱上､下底面的弦，则直线AB，CD间距离等于该圆柱母线长

【答案】ABC

【解析】对于A选项，正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形（三线合一），根据重心的性质可得三个侧面的重心将此正三棱锥三个侧面等腰三角形的中线分为的比例，如图1，即：，所以，又平面，平面，故平面，同理得平面，由于，所以平面平面；故选项A正确；

对于B选项，如图2，为母线，为圆锥的高，连接，即是在底面的射影，过作，根据平面的性质得，过作的垂线有且只有一条，故B选项正确；

对于C选项，由于正棱柱的中心到正棱柱的各个顶点的距离相等，故满足球心到球面上的任意点的距离相等且等于半径，故正棱柱的中心就是其外接球的球心，故C选项正确；

对于D选项，如图3，或均不是圆柱的母线，故D选项错误.

故选：ABC

11．（2020·全国高三专题练习（理））下列说法正确的是（    ）

A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等

B．五棱锥只有五条棱

C．一个棱柱至少有五个面

D．棱台的各侧棱延长后交于一点

【答案】CD

【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误；

五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共条棱，B错误；

一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；

棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.

故选：CD.

12．（2020·重庆市万州第二高级中学高二月考）铜钱：古代铜质辅币，俗称铜钱，是指秦汉以后的各类方孔圆钱，方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体中不包含下列那种几何体（    ）

A．圆柱 B．棱柱 C．棱锥 D．长方体

【答案】CD

【解析】铜钱可以看成一个圆柱挖去一个底面为正方形的四棱柱所得的几何体，

所以铜钱形成的几何体中不包含棱锥和长方体，故选：CD

三、填空题

13．（2020·全国高三专题练习（文））下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________

①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③棱锥的侧面只能是三角形；

④棱台的各侧棱延长后必交于一点；

⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

【答案】②③④

【解析】①错，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，则棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

②对，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

③对，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

④对，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；

⑤错，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

故答案为：②③④

14．（2020·全国高三专题练习（理））给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体.

其中正确命题的序号是________.

【答案】②③④

【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；

②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；

③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；

④正确，如图，正方体中的三棱锥，四个面都是直角三角形.

故答案为：②③④

15．（2020·咸阳市高新一中高一月考）下列命题中，

①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；

②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；

③棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形；

④棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.

其中错误的有______．

【答案】①②③

【解析】由棱柱的定义可知，只有④正确，分别构造图形如下：

图1              图2               图3

图1中平面与平面平行，但四边形与不全等，故①错；图2中正六棱柱的相对侧面与平行，但不是底面，②错；

图3中直四棱柱底面是平行四边形，③错.

故答案为：①②③.

四、双空题

16．（2019·全国高一课时练习）已知侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱.

侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．

底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.

底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体．

侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体．

底面是矩形的直平行六面体叫作长方体．

棱长都相等的长方体叫作正方体．

请根据上述定义，回答下面的问题：

（1）直四棱柱______是长方体；

（2）正四棱柱______是正方体

（填“一定”“不一定”或“一定不”）

【答案】不一定    不一定   

【解析】

根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．