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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形精品综合训练题
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形精品综合训练题，文件包含第17讲基本立体图形原卷版docx、第17讲基本立体图形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
第17讲 基本立体图形
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课程标准
课标解读
①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。
③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征，理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系；能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算。
2.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；了解简单组合体的概念及结构特征。
3.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图。
知识精讲
知识点01 棱柱、棱锥和棱台
1.棱柱
(1)概念：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱.平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面(如图所示).
(2)表示与分类：底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……左上图为三棱柱，右上图为六棱柱，分别记作棱柱ABC-A'B'C'棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'。
(3)棱柱的特点：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形。
【微点拨】(1)概念中平移的平面多边形包括它的内部.
(2)棱柱的两个底面互相平行.
(3)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体不满足“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，所以它不是棱柱。
【即学即练1】如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（ ）
A．25 B．24 C．31 D．28
【答案】A
【分析】根据正三棱柱的侧面展开图求得最短线路长.
【详解】正三棱柱的侧面展开图是底边长为，高为的矩形，
所以绕行两周的最短路线长为.
故选：A
2.棱锥
(1)概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥(如图所示).
(2)表示与分类：底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……右上图为四棱锥，可记作棱锥S-ABCD.
(3)棱锥的特点：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。
【微点拨】棱锥的特征：
①底面是多边形；
②侧面都是三角形；
③侧面有一个公共顶点。需要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体不一定是棱锥。
【即学即练2】如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
【答案】B
【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．
【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．
故选：B．
3.棱台
(1)概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台。(如图所示)
(2)表示与分类：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如上图中的棱台记作棱台ABCD-A'B'C'D'。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台。
【微点拨】判断棱台的步骤：先看上、下底面是否互相平行，再看各条侧棱延长线是否相交于一点.只具备其中一条时不是棱台。如果两底面的对应边平行且成比例，那么这个几何体是棱台。
【即学即练3】下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【分析】根据棱台的定义以及结构特点逐项判断正误即可.
【详解】对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A错；
对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；
对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；
对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.
故选:D.
4.多面体
棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的空间图形。由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体.多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥就是四面体。
知识点02 圆柱、圆锥和圆台
1.圆柱、圆锥、圆台的概念
(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台(如图所示)，这条直线叫作轴。
(2)垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线。
2.圆柱、圆锥、圆台的表示方法
圆柱、圆锥、圆台用表示它们的轴的字母表示，上图中的圆柱、圆锥、圆台可分别表示为圆柱OO',圆锥SO,圆台OO'。
【微点拨】圆锥的简单性质
(1)平行于底面的截面都是圆面。
(2)过轴的截面是全等的等腰三角形。
(3)过圆锥顶点与底面相交的截面是等腰三角形。
(4)圆锥的侧面展开图是扇形。
【即学即练4】有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由圆柱、圆锥的结构特征逐一分析四个命题得结论．
【详解】解：①圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误；
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确；
③以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误；
④平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误．
其中错误命题个数为3．
故选：C．
知识点03 球与复杂的空间图形
1.概念：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球.如图所示的球可记为球O.
2.球的结构特征
用一个平面去截一个球，截面是一个圆面.如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径.
3.球的截面性质
球心和截面圆心的连线垂直于截面.
球心到截面的距离d与球半径R及截面圆的半径r满足：。
4.旋转体
一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面(如图)，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体。这条定直线叫作旋转轴.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
5.复杂的空间图形
一些复杂的空间图形是由柱体、锥体、台体和球等简单空间图形组合而成的空间图形.它有如下两种构成形式：
(1)由简单空间图形拼接而成，如图1.
(2)由简单空间图形截去或挖去一部分而成，如图2.
【即学即练5】下列说法错误的是（ ）
A．球体是旋转体
B．圆柱的母线平行于轴
C．斜棱柱的侧面中没有矩形
D．用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台
【答案】C
【分析】利用球体的定义判断A；利用圆柱的结构特征判断B；举例说明判断C；利用正棱台的定义判断D作答.
【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A正确；
由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B正确；
如图，斜平行六面体中，若平面，则侧面四边形是矩形，C不正确；
由正棱台的定义知，D正确.
故选：C
知识点04 直观图的斜二测画法
一般地，用斜二测画法画空间图形的直观图，规则如下：
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点,再取z轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°。
(2)画直观图时把它们画成对应的：x' 轴 y'轴和 z'轴，它们相交于点 O'。并使∠x'O'y'=45°(或135° )，∠x'O'z'=90°，x' 轴和 y'轴所确定的平面表示水平面。
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x' 轴 y'轴或 z'轴的线段。
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
【即学即练6】水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，轴，则中边上的中线的长度为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可.
【详解】由斜二测画法规则知，
即直角三角形，其中,，
所以，
所以边上的中线的长度为.
故选：A.
能力拓展
考法01 棱柱、棱锥、棱台的有关计算
【典例1】如图，正四棱锥，M，N为棱PA，PC的中点，平面BMN与棱PD交于点Q，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形MBNQ是菱形
B．四边形MBNQ对角线MN中点也是四棱锥高线的中点
C．
D．
【答案】B
【分析】如图连接，、，设，连接，设，即可得到，从而判断B正确，延长交于点，连接、，即可判断为上靠近的三等分点，从而得到A、C错误，因为侧棱与底面边长关系无法确定，从而无法判断；
【详解】解：如图连接，、，设，连接，设，
因为M，N为棱PA，PC的中点，所以，则为的中点，根据正四棱锥的性质可知即为四棱锥的高，故B正确；
延长交于点，连接、，则，
因为、、三点共线，所以，即，所以为上靠近的三等分点，
显然，但是，故四边形不是菱形，且与不相似，故A、C错误；
因为正四棱锥的侧棱与底面边长关系无法得知，故无法确定，故D错误；
故选：B
考法02 圆柱、圆锥、圆台和球的有关计算
【典例2】如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据圆柱侧面积为可求得圆柱母线长，又因为ABCD是圆柱的轴截面，可知与圆柱的上下底面垂直，且是下底面圆的直径，根据勾股定理计算可得，即可得出.
【详解】如下图所示：
设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得，
连接AE，则，
连接BE，则，故，
故.
故选：A.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【答案】B
【分析】由正四棱锥的概念判断B；由旋转体的结构特征判断A、C、D．
【详解】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确；
对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误；
对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；
对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确．
故选：B．
2．必修第二册实战演练第八章课时练习26直线与直线平行）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由题意作出正六棱柱，即可得出与棱平行的任意两个顶点的连线.
【详解】
连接，，则与棱AB平行的有，，，，，共有5条.
故选：D.
3．若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用斜二测画法判断.
【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，
平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，
故选：A
4．圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设圆柱母线、半径，结合即可得结果.
【详解】令圆柱母线为，底面半径为，则，故.
故选：D
5．若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面( )
A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形
【答案】A
【分析】根据正方体的性质，所有过中心的截面都把正方体分成体积相等的两部分，从而可得正确答案．
【详解】根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心．
故选：A．
6．如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】画出圆柱的侧面展开图，解三角形即得解.
【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得,
所以.
所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为.
故选：B
7．长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为_____.
【答案】
【分析】分类讨论求解大长方体的体对角线即可.
【详解】当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
因为，所以大长方体对角线最长为.
故答案为：
8．下列说法正确的是________.（填序号）
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；
④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
【答案】③④
【分析】利用圆锥、圆柱、圆台的结构特征逐一判断，可得出结果.
【详解】对于①，以直角梯形直角腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台，
以直角梯形的斜腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，①错；
对于②，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，②错；
对于③，以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，③对；
对于④，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，④对.
故答案为：③④.
9．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得小圆锥与圆锥SO底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆锥SO的母线长．
【答案】12cm
【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质计算．
【详解】解：因为截得小圆锥与圆锥SO底面的面积之比为，所以小圆锥与圆锥SO底面半径之比是．
如图，设SA的长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x，4x，
根据相似三角形的性质得．解得．所以圆锥SO的母线长为12cm．
10．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)是；三棱柱BB1M－CC1N；四棱柱ABMA1－DCND1
【分析】根据棱柱的定义及结构特征可解答.
【详解】（1）该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．
（2）各部分形成的几何体还是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
题组B 能力提升练
1．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（ ）
A．的长度大于的长度
B．的面积为4
C．的面积为2
D．
【答案】B
【分析】根据斜二测画法确定原图形，由此判断各选项.
【详解】由图象知：，，
，为的中点
所以，A错误；
的面积，B正确；
因为，，
所以的上的高，
的面积，C错误，
，所以，D错误.
故选：B
2．有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据棱台的定义和结构特征可判断各项.
【详解】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；
对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；
对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确.
故选：B
3．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．
【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，
∵是等腰直角三角形，，斜边，
∴，
∴，
∴原平面图形的面积是.
故选：A．
4．将一个大圆锥截去一个小圆锥得到圆台，圆台的上、下底面圆的半径之比为1:3，若大圆锥的高为15，则圆台的高为（ ）
A．10 B．
C． D．5
【答案】A
【分析】画出轴截面，利用圆锥与圆台的特征，列出关系式，求解即可．
【详解】由题意画出轴截面如下所示，可知，，
可得，所以圆台的高为．
故选：A
5．已知：“四棱柱是正棱柱”，：“四棱柱的底面和侧面都是矩形”，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】判断命题和命题之间的逻辑推理关系，即可判断出答案.
【详解】当四棱柱是正棱柱时，其底面为正方形，侧面为矩形，
即是的充分条件；
当四棱柱的底面和侧面都是矩形时，底面不一定是正方形，
故四棱柱不一定是正棱柱，
故不是的必要条件，
则是的充分不必要条件，
故选：A
6．有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案.
【详解】解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误；
对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确；
对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确.
所以，正确的命题是②③
故选：B
7．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____．
【答案】40
【分析】根据题意，分析原图形三角形的高和底边的边长，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，原图形如图，
根据直观图画法规则知,的底边OB的长为5，高为16，
其面积.
故答案为：40
8．在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为________
【答案】3
【分析】由条件证明点E、F关于平面对称，由此可得，再根据结论两点之间线段最短求的最小值即可.
【详解】取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，
所以，
因为，
当且仅当点为线段与平面的交点时等号成立；
所以的最小值为，
由已知为直角三角形，且，为直角，
所以，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
9．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上．则该半正多面体共有________个面．
【答案】
【分析】由图形确定正方形和正三角形个数即可.
【详解】将图所示的半正多面体看作上、中、下三个部分，
则上部包含个正方形、个正三角形；中部包含个正方形；下部包含个正方形、个正三角形；
该半正多面体共有个面.
故答案为：.
10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的母线与圆台的母线之比为3：1，圆台的上底面半径为3cm，求圆台的下底面面积.
【答案】
【分析】根据三角形相似即可得下底面圆的半径，进而可求圆的面积.
【详解】如图，设PA为大圆锥的一条母线，
过PA和 的平面与两个圆锥的底面的交线分别为和，则由两个平面平行的性质定理，知，所以，
所以，
由题意，得，则，
所以，所以圆台的下底面面积为.
题组C 培优拔尖练
1．以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
【答案】C
【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各项的正误.
【详解】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；
②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；
③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；
④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；
⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；
⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确.
故选：C
2．一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（ ）
A． B．3 C．3 D．
【答案】B
【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形OABC的面积.
【详解】设轴与交点为D，因O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，则，又B′C′∥y′轴，则四边形为平行四边形，故.又，结合A′B′⊥x′轴，则，故.
则四边形面积为，因四边形面积是四边形OABC的面积的倍，则四边形OABC的面积为.
故选：B
3．在正方体中，、分别是上、下底面的中心，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】B
【分析】取的中点，连接，，，根据题意可知，，且，，结合三角形的三边关系即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，，，
由已知得，，且，，
又根据三角形的三边关系知，又，
所以，
故
故选：B.
4．用一个平面截正方体，截面图形可能是（ ）
A．钝角三角形 B．直角梯形
C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形
【答案】C
【分析】根据正方体的截面分析得到答案.
【详解】用一个平面截正方体，截面图形可能是三角形，四边形，五边形，六边形.
对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.
如图所示的截面三角形.
设，所以，，.
所以由余弦定理得：所以为锐角.
同理可求：为锐角，为锐角.
所以为锐角三角形.故A错误；
对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.
故B错误；
对于C：如图示的截面图为五边形，并且有两个角相等.
故C正确；
对于D：因为正方体有六个面，所以一个平面截正方体，边数最多为6.所以D错误.
故选：C
5．已知四棱柱的底面为菱形，侧棱底面，四棱柱各顶点都在体积为的同一球面上，则该四棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，利用圆的性质，长方体的外接球进行求解.
【详解】因为棱柱各顶点都在同一球面上，所以底面存在外接圆，
因为底面为菱形，且顶点都在同一圆上，
所以菱形的对角线为外接圆的直径，即菱形为正方形.
又侧棱底面，所以四棱柱为长方体.
其外接球的直径为长方体的体对角线.
设的边长为，侧棱，外接球的半径R，
所以长方体的体对角线长为，
即.①
又因为外接球的体积为，即，
解得.②
由①②联解得：，由重要不等式有：
，解得.
因为四棱柱的侧面积为.
则该四棱柱的侧面积的最大值为.故B，C，D错误.
故选：A.
6．如图，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F分别是棱AB，的中点，E为棱AC上的动点，则DEF周长的最小值为_____．
【答案】+2
【分析】由正三棱柱的性质可得：AB，AC．在RtADF中，利用勾股定理可得DF＝2．因此只要求出DE+EF的最小值即可．把底面ABC展开与侧面在同一个平面，当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．再利用余弦定理求解．
【详解】解：由正三棱柱，可得底面ABC，
∴AB，AC．
在RtADF中，DF＝＝2．
把底面ABC展开与侧面在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．
在ADF中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得：
DF＝＝．
∴DEF周长的最小值＝+2．
故答案为：+2．
7．若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有_______.
【答案】S′＝S或S＝2S′
【分析】以三角形为例，求出三角形及其对应直观图的面积即可得解.
【详解】对于平面多边形，不妨以三角形为例，
如图①，
在中，，其面积，
在其直观图（图2）中，
作，则直观图的面积
故答案为：或
8．华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为______米．
【答案】20
【分析】做底面于点，取的中点，可得、，根据四个玻璃侧面的面积求出可得，再由勾股定理可得答案.
【详解】如图，做正四棱锥底面于点，则为底面的中心，取的中点，
连接、，则，，
因为，所以，
因为四个玻璃侧面的面积约1500平方米，所以平方米，
由可得，
所以，
则塔高约为米，
故答案为：20.
9．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 _____．
【答案】
【分析】由可确定为中点时，最小，取，通过三角形全等可将问题转化为最小值的求解问题，根据三点共线时线段和最小可求得结果.
【详解】
，当为中点时，取得最小值；
在上取一点，使得，
，，，
；
则当三点共线时，最小，即最小，
此时且，的最小值为.
故答案为：.
10．对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示.
“十字”捆扎
“对角”捆扎
假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上.
(1)求“十字”捆扎中彩带的总长度；
(2)根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议.
【答案】(1)
(2)，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带
【分析】（1）直接利用题意即可求出采用“十字”捆扎中彩带的总长度；（2）求出“对角”捆扎中彩带的总长度，比较大小，即可得到答案.
【详解】（1）采用“十字”捆扎中彩带的总长度为；
（2）
由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带.
第17讲 基本立体图形
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课程标准
课标解读
①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。
③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征，理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系；能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算。
2.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；了解简单组合体的概念及结构特征。
3.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图。
知识精讲
知识点01 棱柱、棱锥和棱台
1.棱柱
(1)概念：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱.平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面(如图所示).
(2)表示与分类：底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……左上图为三棱柱，右上图为六棱柱，分别记作棱柱ABC-A'B'C'棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'。
(3)棱柱的特点：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形。
【微点拨】(1)概念中平移的平面多边形包括它的内部.
(2)棱柱的两个底面互相平行.
(3)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体不满足“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，所以它不是棱柱。
【即学即练1】如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（ ）
A．25 B．24 C．31 D．28
【答案】A
【分析】根据正三棱柱的侧面展开图求得最短线路长.
【详解】正三棱柱的侧面展开图是底边长为，高为的矩形，
所以绕行两周的最短路线长为.
故选：A
2.棱锥
(1)概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥(如图所示).
(2)表示与分类：底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……右上图为四棱锥，可记作棱锥S-ABCD.
(3)棱锥的特点：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。
【微点拨】棱锥的特征：
①底面是多边形；
②侧面都是三角形；
③侧面有一个公共顶点。需要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体不一定是棱锥。
【即学即练2】如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
【答案】B
【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．
【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．
故选：B．
3.棱台
(1)概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台。(如图所示)
(2)表示与分类：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如上图中的棱台记作棱台ABCD-A'B'C'D'。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台。
【微点拨】判断棱台的步骤：先看上、下底面是否互相平行，再看各条侧棱延长线是否相交于一点.只具备其中一条时不是棱台。如果两底面的对应边平行且成比例，那么这个几何体是棱台。
【即学即练3】下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【分析】根据棱台的定义以及结构特点逐项判断正误即可.
【详解】对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A错；
对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；
对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；
对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.
故选:D.
4.多面体
棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的空间图形。由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体.多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥就是四面体。
知识点02 圆柱、圆锥和圆台
1.圆柱、圆锥、圆台的概念
(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台(如图所示)，这条直线叫作轴。
(2)垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线。
2.圆柱、圆锥、圆台的表示方法
圆柱、圆锥、圆台用表示它们的轴的字母表示，上图中的圆柱、圆锥、圆台可分别表示为圆柱OO',圆锥SO,圆台OO'。
【微点拨】圆锥的简单性质
(1)平行于底面的截面都是圆面。
(2)过轴的截面是全等的等腰三角形。
(3)过圆锥顶点与底面相交的截面是等腰三角形。
(4)圆锥的侧面展开图是扇形。
【即学即练4】有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由圆柱、圆锥的结构特征逐一分析四个命题得结论．
【详解】解：①圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误；
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确；
③以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误；
④平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误．
其中错误命题个数为3．
故选：C．
知识点03 球与复杂的空间图形
1.概念：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球.如图所示的球可记为球O.
2.球的结构特征
用一个平面去截一个球，截面是一个圆面.如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径.
3.球的截面性质
球心和截面圆心的连线垂直于截面.
球心到截面的距离d与球半径R及截面圆的半径r满足：。
4.旋转体
一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面(如图)，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体。这条定直线叫作旋转轴.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
5.复杂的空间图形
一些复杂的空间图形是由柱体、锥体、台体和球等简单空间图形组合而成的空间图形.它有如下两种构成形式：
(1)由简单空间图形拼接而成，如图1.
(2)由简单空间图形截去或挖去一部分而成，如图2.
【即学即练5】下列说法错误的是（ ）
A．球体是旋转体
B．圆柱的母线平行于轴
C．斜棱柱的侧面中没有矩形
D．用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台
【答案】C
【分析】利用球体的定义判断A；利用圆柱的结构特征判断B；举例说明判断C；利用正棱台的定义判断D作答.
【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A正确；
由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B正确；
如图，斜平行六面体中，若平面，则侧面四边形是矩形，C不正确；
由正棱台的定义知，D正确.
故选：C
知识点04 直观图的斜二测画法
一般地，用斜二测画法画空间图形的直观图，规则如下：
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点,再取z轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°。
(2)画直观图时把它们画成对应的：x' 轴 y'轴和 z'轴，它们相交于点 O'。并使∠x'O'y'=45°(或135° )，∠x'O'z'=90°，x' 轴和 y'轴所确定的平面表示水平面。
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x' 轴 y'轴或 z'轴的线段。
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
【即学即练6】水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，轴，则中边上的中线的长度为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可.
【详解】由斜二测画法规则知，
即直角三角形，其中,，
所以，
所以边上的中线的长度为.
故选：A.
能力拓展
考法01 棱柱、棱锥、棱台的有关计算
【典例1】如图，正四棱锥，M，N为棱PA，PC的中点，平面BMN与棱PD交于点Q，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形MBNQ是菱形
B．四边形MBNQ对角线MN中点也是四棱锥高线的中点
C．
D．
【答案】B
【分析】如图连接，、，设，连接，设，即可得到，从而判断B正确，延长交于点，连接、，即可判断为上靠近的三等分点，从而得到A、C错误，因为侧棱与底面边长关系无法确定，从而无法判断；
【详解】解：如图连接，、，设，连接，设，
因为M，N为棱PA，PC的中点，所以，则为的中点，根据正四棱锥的性质可知即为四棱锥的高，故B正确；
延长交于点，连接、，则，
因为、、三点共线，所以，即，所以为上靠近的三等分点，
显然，但是，故四边形不是菱形，且与不相似，故A、C错误；
因为正四棱锥的侧棱与底面边长关系无法得知，故无法确定，故D错误；
故选：B
考法02 圆柱、圆锥、圆台和球的有关计算
【典例2】如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据圆柱侧面积为可求得圆柱母线长，又因为ABCD是圆柱的轴截面，可知与圆柱的上下底面垂直，且是下底面圆的直径，根据勾股定理计算可得，即可得出.
【详解】如下图所示：
设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得，
连接AE，则，
连接BE，则，故，
故.
故选：A.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【答案】B
【分析】由正四棱锥的概念判断B；由旋转体的结构特征判断A、C、D．
【详解】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确；
对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误；
对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；
对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确．
故选：B．
2．必修第二册实战演练第八章课时练习26直线与直线平行）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由题意作出正六棱柱，即可得出与棱平行的任意两个顶点的连线.
【详解】
连接，，则与棱AB平行的有，，，，，共有5条.
故选：D.
3．若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用斜二测画法判断.
【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，
平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，
故选：A
4．圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设圆柱母线、半径，结合即可得结果.
【详解】令圆柱母线为，底面半径为，则，故.
故选：D
5．若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面( )
A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形
【答案】A
【分析】根据正方体的性质，所有过中心的截面都把正方体分成体积相等的两部分，从而可得正确答案．
【详解】根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心．
故选：A．
6．如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】画出圆柱的侧面展开图，解三角形即得解.
【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得,
所以.
所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为.
故选：B
7．长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为_____.
【答案】
【分析】分类讨论求解大长方体的体对角线即可.
【详解】当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
因为，所以大长方体对角线最长为.
故答案为：
8．下列说法正确的是________.（填序号）
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；
④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
【答案】③④
【分析】利用圆锥、圆柱、圆台的结构特征逐一判断，可得出结果.
【详解】对于①，以直角梯形直角腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台，
以直角梯形的斜腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，①错；
对于②，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，②错；
对于③，以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，③对；
对于④，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，④对.
故答案为：③④.
9．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得小圆锥与圆锥SO底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆锥SO的母线长．
【答案】12cm
【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质计算．
【详解】解：因为截得小圆锥与圆锥SO底面的面积之比为，所以小圆锥与圆锥SO底面半径之比是．
如图，设SA的长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x，4x，
根据相似三角形的性质得．解得．所以圆锥SO的母线长为12cm．
10．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)是；三棱柱BB1M－CC1N；四棱柱ABMA1－DCND1
【分析】根据棱柱的定义及结构特征可解答.
【详解】（1）该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．
（2）各部分形成的几何体还是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
题组B 能力提升练
1．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（ ）
A．的长度大于的长度
B．的面积为4
C．的面积为2
D．
【答案】B
【分析】根据斜二测画法确定原图形，由此判断各选项.
【详解】由图象知：，，
，为的中点
所以，A错误；
的面积，B正确；
因为，，
所以的上的高，
的面积，C错误，
，所以，D错误.
故选：B
2．有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据棱台的定义和结构特征可判断各项.
【详解】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；
对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；
对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确.
故选：B
3．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．
【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，
∵是等腰直角三角形，，斜边，
∴，
∴，
∴原平面图形的面积是.
故选：A．
4．将一个大圆锥截去一个小圆锥得到圆台，圆台的上、下底面圆的半径之比为1:3，若大圆锥的高为15，则圆台的高为（ ）
A．10 B．
C． D．5
【答案】A
【分析】画出轴截面，利用圆锥与圆台的特征，列出关系式，求解即可．
【详解】由题意画出轴截面如下所示，可知，，
可得，所以圆台的高为．
故选：A
5．已知：“四棱柱是正棱柱”，：“四棱柱的底面和侧面都是矩形”，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】判断命题和命题之间的逻辑推理关系，即可判断出答案.
【详解】当四棱柱是正棱柱时，其底面为正方形，侧面为矩形，
即是的充分条件；
当四棱柱的底面和侧面都是矩形时，底面不一定是正方形，
故四棱柱不一定是正棱柱，
故不是的必要条件，
则是的充分不必要条件，
故选：A
6．有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案.
【详解】解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误；
对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确；
对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确.
所以，正确的命题是②③
故选：B
7．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____．
【答案】40
【分析】根据题意，分析原图形三角形的高和底边的边长，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，原图形如图，
根据直观图画法规则知,的底边OB的长为5，高为16，
其面积.
故答案为：40
8．在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为________
【答案】3
【分析】由条件证明点E、F关于平面对称，由此可得，再根据结论两点之间线段最短求的最小值即可.
【详解】取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，
所以，
因为，
当且仅当点为线段与平面的交点时等号成立；
所以的最小值为，
由已知为直角三角形，且，为直角，
所以，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
9．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上．则该半正多面体共有________个面．
【答案】
【分析】由图形确定正方形和正三角形个数即可.
【详解】将图所示的半正多面体看作上、中、下三个部分，
则上部包含个正方形、个正三角形；中部包含个正方形；下部包含个正方形、个正三角形；
该半正多面体共有个面.
故答案为：.
10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的母线与圆台的母线之比为3：1，圆台的上底面半径为3cm，求圆台的下底面面积.
【答案】
【分析】根据三角形相似即可得下底面圆的半径，进而可求圆的面积.
【详解】如图，设PA为大圆锥的一条母线，
过PA和 的平面与两个圆锥的底面的交线分别为和，则由两个平面平行的性质定理，知，所以，
所以，
由题意，得，则，
所以，所以圆台的下底面面积为.
题组C 培优拔尖练
1．以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
【答案】C
【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各项的正误.
【详解】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；
②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；
③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；
④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；
⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；
⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确.
故选：C
2．一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（ ）
A． B．3 C．3 D．
【答案】B
【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形OABC的面积.
【详解】设轴与交点为D，因O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，则，又B′C′∥y′轴，则四边形为平行四边形，故.又，结合A′B′⊥x′轴，则，故.
则四边形面积为，因四边形面积是四边形OABC的面积的倍，则四边形OABC的面积为.
故选：B
3．在正方体中，、分别是上、下底面的中心，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】B
【分析】取的中点，连接，，，根据题意可知，，且，，结合三角形的三边关系即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，，，
由已知得，，且，，
又根据三角形的三边关系知，又，
所以，
故
故选：B.
4．用一个平面截正方体，截面图形可能是（ ）
A．钝角三角形 B．直角梯形
C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形
【答案】C
【分析】根据正方体的截面分析得到答案.
【详解】用一个平面截正方体，截面图形可能是三角形，四边形，五边形，六边形.
对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.
如图所示的截面三角形.
设，所以，，.
所以由余弦定理得：所以为锐角.
同理可求：为锐角，为锐角.
所以为锐角三角形.故A错误；
对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.
故B错误；
对于C：如图示的截面图为五边形，并且有两个角相等.
故C正确；
对于D：因为正方体有六个面，所以一个平面截正方体，边数最多为6.所以D错误.
故选：C
5．已知四棱柱的底面为菱形，侧棱底面，四棱柱各顶点都在体积为的同一球面上，则该四棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，利用圆的性质，长方体的外接球进行求解.
【详解】因为棱柱各顶点都在同一球面上，所以底面存在外接圆，
因为底面为菱形，且顶点都在同一圆上，
所以菱形的对角线为外接圆的直径，即菱形为正方形.
又侧棱底面，所以四棱柱为长方体.
其外接球的直径为长方体的体对角线.
设的边长为，侧棱，外接球的半径R，
所以长方体的体对角线长为，
即.①
又因为外接球的体积为，即，
解得.②
由①②联解得：，由重要不等式有：
，解得.
因为四棱柱的侧面积为.
则该四棱柱的侧面积的最大值为.故B，C，D错误.
故选：A.
6．如图，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F分别是棱AB，的中点，E为棱AC上的动点，则DEF周长的最小值为_____．
【答案】+2
【分析】由正三棱柱的性质可得：AB，AC．在RtADF中，利用勾股定理可得DF＝2．因此只要求出DE+EF的最小值即可．把底面ABC展开与侧面在同一个平面，当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．再利用余弦定理求解．
【详解】解：由正三棱柱，可得底面ABC，
∴AB，AC．
在RtADF中，DF＝＝2．
把底面ABC展开与侧面在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．
在ADF中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得：
DF＝＝．
∴DEF周长的最小值＝+2．
故答案为：+2．
7．若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有_______.
【答案】S′＝S或S＝2S′
【分析】以三角形为例，求出三角形及其对应直观图的面积即可得解.
【详解】对于平面多边形，不妨以三角形为例，
如图①，
在中，，其面积，
在其直观图（图2）中，
作，则直观图的面积
故答案为：或
8．华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为______米．
【答案】20
【分析】做底面于点，取的中点，可得、，根据四个玻璃侧面的面积求出可得，再由勾股定理可得答案.
【详解】如图，做正四棱锥底面于点，则为底面的中心，取的中点，
连接、，则，，
因为，所以，
因为四个玻璃侧面的面积约1500平方米，所以平方米，
由可得，
所以，
则塔高约为米，
故答案为：20.
9．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 _____．
【答案】
【分析】由可确定为中点时，最小，取，通过三角形全等可将问题转化为最小值的求解问题，根据三点共线时线段和最小可求得结果.
【详解】
，当为中点时，取得最小值；
在上取一点，使得，
，，，
；
则当三点共线时，最小，即最小，
此时且，的最小值为.
故答案为：.
10．对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示.
“十字”捆扎
“对角”捆扎
假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上.
(1)求“十字”捆扎中彩带的总长度；
(2)根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议.
【答案】(1)
(2)，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带
【分析】（1）直接利用题意即可求出采用“十字”捆扎中彩带的总长度；（2）求出“对角”捆扎中彩带的总长度，比较大小，即可得到答案.
【详解】（1）采用“十字”捆扎中彩带的总长度为；
（2）
由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带.
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