苏教版数学高一必修第二册 第11章 解三角形 单元测试

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第11章 解三角形 单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题：本大题每小题3分，共8小题，共24分，在所给出的四个选项中只有一个是正确的。1．在中，，，，则边AC的长为（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【详解】由题意，在中，，，，由正弦定理，，解得：，故选：C.2．在中，若，则（    ）A．25 B．5 C．4 D．【答案】B【详解】在中，若，，，由余弦定理得.故选：B3．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】A【详解】由题意得：，即，故，因为，所以，故，即因为，所以，即，故，故，故，所以为直角三角形.故选：A4．已知灯塔在海洋观测站的北偏东的方向上，两点间的距离为5海里.某时刻货船在海洋观测站的南偏东的方向上，此时两点间的距离为8海里，该时刻货船与灯塔间的距离为（    ）A．3海里 B．4海里 C．6海里 D．7海里【答案】D【详解】根据题意，画出示意图，由已知可得，，由余弦定理可得，所以，所以，故选：D.5．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若且，则的周长的最大值为（    ）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【详解】由已知及正弦定理得，∴，所以，因为，所以，即，因为，所以，从而，由余弦定理得，即，又，∴，即，∴，当且仅当时等号成立，从而，∴的周长的最大值为15.故选：A.6．在中，角的对边分别是.已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，即，故，，设，则，解得或（舍去）.故选：A7．的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（    ）A．若，则B．若，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若三角形为斜三角形，则【答案】C【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，故A选项正确；对于B选项，，则，如图：所以有两解，B选项正确；对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；对于D，因为，所以因为，所以，所以，所以D正确.故选：C8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【详解】中，由余弦定理得，，且的面积为，由，得，化简得；又，，所以，化简得，解得或（不合题意，舍去）；因为，所以，所以，由，且，，解得，所以，所以，所以；设，其中，所以，又，所以时，y取得最大值为，时，；时，，且．所以，即的取值范围是，故选：D二、多项选择题：本大题每小题3分，共4小题，共12分，在所给出的四个选项中至少有一个是正确的，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．在中，，则角B的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【详解】∵，由正弦定理可得 ，即，得 ，∵，∴，则或，由，则角或． 故选：AC.10．在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（    ）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】BC【详解】解：如图：要使有两个解，则，即，解得：，故选：BC11．的内角在A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则下列结论正确的是（    ）A．B．是锐角三角形C．的最大内角是最小内角的2倍D．若，则外接圆半径为4【答案】ABC【详解】因为在中，，所以 ，解得，由正弦定理可得，为的外接圆半径，所以，所以 ，故A正确；因为，所以角C为最大角，角为最小角，又由余弦定理可得 ，又，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B正确；则，所以，即，又，所以 ，故C正确；因为，，所以，则由正弦定理得 ，解得，故D错误；故选：ABC.12．中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．若，则D．若，则的最小值为【答案】ACD【详解】设，则，三式联立解得，对于A，，A正确；对于B，，则，B错误；对于C，若，则，则，即，即，则，，C正确；对于D，若，则，取中点，连接，则，显然当时，最小，此时，则，则的最小值为，D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题每小题3分，共4小题，共12分。13．在中，，，，则的面积为__________．【答案】【详解】依题意可得，解得，又，所以，所以的面积为．故答案为：．14．一艘船在处看到一个灯塔在北偏东方向，向东行驶后，船到达处，看到灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为________．【答案】【详解】如图，根据题意可知，，，在中，由正弦定理得，即，解得.故答案为：.15．如图，线段把边长为的等边分成面积相等的两部分，在上，在上，则线段长度的最小值为______.【答案】【详解】设，由题意知，即所以，即；由余弦定理，即，解得.则线段长度的最小值为.故答案为：.16．已知，内角所对的边分别是，，的角平分线交于点.若，则__________，的取值范围是___________.【答案】          【详解】由正弦定理得：，又，；为的角平分线，设，则；，即，；由余弦定理知：，，；（当且仅当时取等号），，即，又，，，即的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：共6小题，共52分。17．（8分）在△ABC中，已知，，.(1)求的值；(2)求的面积.【答案】(1)；(2)【详解】（1）∵，且，∴，（2）由正弦定理得，∴，解得，∴.18．（8分）已知的内角的对边分别为，且．(1)若，求；(2)若，，求的周长．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）由已知，，由正弦定理得，即．∵，∴.又，∴．（2）由题意及余弦定理可知，又，代入上式解得，．∴的周长为．19．（8分）在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解答．①；②；③；已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D为边上的一点，______．(1)求角C；(2)若为角平分线，且，求最小值．【答案】(1)；(2)4【详解】（1）选①，因为，所以，则有，∵，∴，即.选②：因为，则，所以，则有，∵∴，即选③：，∵，∴（2）由余弦定理得：，由角平分线定理得：，得则，当且仅当时，等号成立.20．（8分）在实际生活中，为了测量建筑物的高度，可借助的方法有很多．如图1所示，为了得到建筑物AB的高，可以在水平面的C点处先测量仰角（其中米是测量仪器高度），然后前进t米到达点E后（米，为测量仪器的高度）再测量仰角的大小，最后根据有关数据和直角三角形知识就可得到AB的高．但是，在这种测量方法中，要保证C，E，B在一条直线上，而且AB要与BC垂直（实际生活中直线BC不一定水平），否则误差会比较大．为了避免这种误差：将以上方法调整为，使C，E，B三点不共线，测得．．，，，米，如图2．(1)若C，E，B三点共线，且，试写出图1中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（用，，t，a表示）；(2)当C，E，B三点不共线且并不确定平面CBE是否为水平面时，试写出图2中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（结果用，，，，，t表示，写出原始表达式即可，不必分母有理化）．【答案】(1)(2)【详解】(1)在中，由正弦定理，，即，因为，所以，在中，，所以AB的高为．(2)在中，由正弦定理，，因为，所以，在中，由正弦定理，，即，所以，在中，由余弦定理可知，，即．21．（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．(1)求证：；(2)若，求．【答案】(1)详见解析；(2)【详解】（1）在中，，则 整理得，则又，则在中，由正弦定理得，则在中，由正弦定理得，则则则（2）由，可得，又则由可得，解之得又，则，由，可得则22．（10分）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．(1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：若选①，由正弦定理可得即，又，所以，即，因为，所以；若选②，即，即，所以，即，所以，即，因为，所以；（2）解：依题意，，所以，因为、、三点共线，故设，同理、、三点共线，故设，所以，解得，所以，则，因为，所以，又为锐角三角形，当为锐角，则，即，即，即，即，所以，当为锐角，则，即，即，即，即，即，所以，综上可得，又，则因为，所以，而在上单调递减，所以，即，即，所以，则.题号一二三四总分得分