高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形本章综合与测试获奖教学设计

编号：020     课题:§11  解三角形复习课

目标要求

1、理解并掌握解余弦定理．

2、理解并掌握正弦定理．

3、会判断三角形的形状．

4、理解并掌握余弦定理、正弦定理解决实际应用问题.

学科素养目标

解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力， 而且还对学生的数学思路的发展有帮助.

重点难点

重点：判断三角形的形状；

难点：余弦定理、正弦定理解决实际应用问题．

教学过程

基础知识点

1.本章知识结构简图

2. 三角形正弦定理: ____________________,其中_________为三角形外接圆直径.

余弦定理： _________________________________________________________________.

面积定理（1）：_____________________________________，其中h是三角形的高.

★射影定理_____________________________________________________________.

考点整合·素养提升

题组训练一 利用余弦定理解题

题1.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,

AC=1,AB=AD,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=________.

题2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.

(1)求c和sin A的值;

(2)求sin(2A-B)的值.

【方法技巧】

1.已知两边a,b及其夹角C的求解步骤

(1)由，求边c;

(2)由正弦定理求a,b中较小边所对的锐角;

(3)由内角和定理求第三角.

2.已知三边的求解步骤

(1)由余弦定理求最大边所对的角;

(2)由正弦定理求其余两个锐角.

题组训练二 利用正弦定理解题

题3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,

则边c的大小是      (      )

 A.            B.               C.               D.

题4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且,则A=________,

若角A为钝角,则的取值范围为________.

题5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ________,且.现从:①,②,③这三个条件中任选一个,将题目补充完整,并判断这样的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面积S;若不存在,请说明理由.

【方法技巧】

1.已知两角A,B及一边b的求解步骤

(1)利用C=π-A-B求出角C;

(2)由正弦定理得求出边a;

(3)由正弦定理得求出边c.

 2.已知两边a,b及一边对角A的求解步骤

(1)由正弦定理得 sin B=      ;

(2)利用sin B的值及具体题意判断解的情况;

(3)利用C=π-A-B求出角C;

(4)由正弦或余弦定理求边c.

其中(2)中运用正弦定理解三角形时,解不确定,可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数.

题组训练三 判断三角形的形状

题6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(k为非零实数),

则下列结论正确的是    (      )

A.当k=5时,△ABC是直角三角形          B.当k=3时,△ABC是锐角三角形

C.当k=2时,△ABC是钝角三角形          D.当k=1时,△ABC是钝角三角形

题7.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,①若A>B,则sin A>sin B;②若sin 2A=sin 2B,则△ABC一定为等腰三角形;③若sin2A+ sin2B=sin2C,则△ABC为直角三角形;④若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B.以上结论中正确的有                   (     )

A.①     B. ②               C. ③             D.④

【方法技巧】

1.判断三角形形状的常用方法

(1)化边为角;

(2)化角为边.

总之,要根据条件,正确选择公式、定理.

2.常见的思考方向

(1)是否两边(或两角)相等;

(2)是否三边(或三角)相等;

(3)是否有直角、钝角.

3.解三角形中的常用结论

(1)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.

(2)在△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,,

cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,

(3)在△ABC中,, ,

.

题组训练四 利用余弦定理、正弦定理解决实际应用题   

题8.如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏

西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为              (  )

A.海里    B.海里        C.海里    D.海里

题9.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500 m,则山高MN=________m.

编号：020     课题:§11  解三角形复习课

目标要求

1、理解并掌握解余弦定理．

2、理解并掌握正弦定理．

3、会判断三角形的形状．

4、理解并掌握余弦定理、正弦定理解决实际应用问题.

学科素养目标

解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力， 而且还对学生的数学思路的发展有帮助.

重点难点

重点：判断三角形的形状；

难点：余弦定理、正弦定理解决实际应用问题．

教学过程

基础知识点

1.本章知识结构简图

2. 三角形正弦定理: ,其中为三角形外接圆直径.

余弦定理：

面积定理（1）：，其中h是三角形的高.

★射影定理_

考点整合·素养提升

题组训练一 利用余弦定理解题

题1.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,

AC=1,AB=AD,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=________.

【解析】因为AB⊥AC,AB=,AC=1,由勾股定理得,

同理得BD=,所以BF=BD=,在△ACE中,AC=1,AE=AD=,∠CAE=30°,

由余弦定理得,

所以CF=CE=1,在△BCF中,BC=2,BF=,CF=1,由余弦定理得

.

答案:

题2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.

(1)求c和sin A的值;

(2)求sin(2A-B)的值.

【解析】(1)由余弦定理,得,

又,所以ac=9,解得a=3,c=3,

在△ABC中,

由正弦定理得，所以.

(2)因为a=c,则A为锐角,所以，

所以，

所以.

【方法技巧】

1.已知两边a,b及其夹角C的求解步骤

(1)由，求边c;

(2)由正弦定理求a,b中较小边所对的锐角;

(3)由内角和定理求第三角.

2.已知三边的求解步骤

(1)由余弦定理求最大边所对的角;

(2)由正弦定理求其余两个锐角.

题组训练二 利用正弦定理解题

题3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,

则边c的大小是      (      )

 A.            B.               C.               D.

【解析】选D.因为b=2,B=120°,C=45°,

 所以，即. 

题4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且,则A=________,

若角A为钝角,则的取值范围为________.

【解析】由及0<A<π, 得，或.由角A为钝角得.

由正弦定理得，

 所以.由，得.

所以

，

又，所以，所以.

故的取值范围为.

答案:或

题5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ________,且.现从:①,②,③这三个条件中任选一个,将题目补充完整,并判断这样的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面积S;若不存在,请说明理由.

【解析】若选条件①.由3sin B+3sin C=4sin(B+C),得3b+3c=4a.

又a=3,所以b+c=4.因为,所以,

 解得 或

不妨取易知b>a>c,且a+c>b,

所以这样的△ABC存在,其面积.

若选条件②.由3sin B+3sin C=4sin(B+C),得3b+3c=4a.又a=3,所以b+c=4,

因为,所以.

解得易知a>b>c,且b+c>a,

所以这样的△ABC存在,其面积.

若选条件③.由3sin B+3sin C=4sin(B+C),得3b+3c=4a,又a=3,

所以b+c=4,因为A+B=,所以,即,

解得易知c>a>b,且a+b>c,

所以这样的△ABC存在,其面积.

综上所述,选条件①时,;选条件②时,;选条件③时,.

【方法技巧】

1.已知两角A,B及一边b的求解步骤

(1)利用C=π-A-B求出角C;

(2)由正弦定理得求出边a;

(3)由正弦定理得求出边c.

 2.已知两边a,b及一边对角A的求解步骤

(1)由正弦定理得 sin B=      ;

(2)利用sin B的值及具体题意判断解的情况;

(3)利用C=π-A-B求出角C;

(4)由正弦或余弦定理求边c.

其中(2)中运用正弦定理解三角形时,解不确定,可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数.

题组训练三 判断三角形的形状

题6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(k为非零实数),

则下列结论正确的是    (      )

A.当k=5时,△ABC是直角三角形          B.当k=3时,△ABC是锐角三角形

C.当k=2时,△ABC是钝角三角形          D.当k=1时,△ABC是钝角三角形

【解析】选ABC.当k=5时,，根据正弦定理不妨设a=5m,b=3m,

c=4m(m>0),显然△ABC是直角三角形;当k=3时, ，根据正弦定

理不妨设a=3m,b=3m,c=4m(m>0),显然△ABC是等腰三角形,,说明C是锐角,故△ABC是锐角三角形;当k=2时, ，根据正弦定理不妨设a=2m,b=3m,c=4m(m>0), ,说明C是钝角,故△ABC是钝角三角形,当k=1时, ，根据正弦定理不妨设a=m,b=3m,c=4m(m>0),此时a+b=c,不能构成三角形,故结论错误.

题7.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,①若A>B,则sin A>sin B;②若sin 2A=sin 2B,则△ABC一定为等腰三角形;③若sin2A+ sin2B=sin2C,则△ABC为直角三角形;④若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B.以上结论中正确的有                   (     )

A.①     B. ②               C. ③             D.④

【解析】选ACD.对于①,因为A>B,所以a>b,由正弦定理可知,sin A>sin B,即①正确;对于②,因为sin 2A=sin 2B,所以A=B或2A+2B=π.若A=B时,△ABC为等腰三角形;若2A+2B=π,则A+B=,此时△ABC为直角三角形,故②不正确;对于③, sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得,a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,即③正确;对于④,因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,则A>-B,显然,因为函数y=sin x在上单调递增,所以,即sin A>cos B,故④正确.

【方法技巧】

1.判断三角形形状的常用方法

(1)化边为角;

(2)化角为边.

总之,要根据条件,正确选择公式、定理.

2.常见的思考方向

(1)是否两边(或两角)相等;

(2)是否三边(或三角)相等;

(3)是否有直角、钝角.

3.解三角形中的常用结论

(1)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.

(2)在△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,,

cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,

(3)在△ABC中,, ,

.

题组训练四 利用余弦定理、正弦定理解决实际应用题   

题8.如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏

西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为                    (       )

A.海里    B.海里        C.海里    D.海里

【解析】选A.连接AB,在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,

所以∠CAD=45°,由正弦定理可得，  

解得，

在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以,在△ABD中,

由余弦定理可得:

,解得.

题9.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500 m,则山高MN=________m.

【解析】在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=500 m,

所以AC=500m,在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,

由正弦定理得，所以m,

在Rt△MNA中,AM=500m,∠MAN=60°,

由,得 m.

答案:750