第十一章 解三角形（A卷•基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第二册）

第十一章 解三角形A卷•（基础提升练）

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、单选题

1．满足条件的的个数为（    ）

A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断

【答案】B

【分析】利用余弦定理运算求解即可判断.

【详解】因为，即，解得或，

所以满足条件的有两个．

故选：B．

2．记的内角对边分别为已知．若，则的形状是（    ）

A．等腰直角三角形 B．等腰锐角三角形

C．等腰钝角三角形 D．不等腰钝角三角形

【答案】C

【分析】由条件运用正弦定理边化角，由余弦定理求出，根据条件可求得，从而可判断.

【详解】由已知，根据正弦定理得，，则，

∴，又，∴，

，

又，∴，∴，即，

此时，，∴为等腰钝角三角形．

故选：C．

3．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（    ）

A．20米 B．米 C．米 D．25米

【答案】A

【分析】根据仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解.

【详解】设教学楼的高度为，

在直角三角形中，因为，所以，

在直角三角形中，因为，所以，

所以，

在中，由余弦定理可得，

代入数值可得解得或（舍），

故选:A.

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则c的值为（    ）

A． B．7 C．37 D．6

【答案】A

【分析】利用余弦的降幂公式，化简已知条件求得；再利用正弦定理将角化边结合已知求得，再用余弦定理即可求得.

【详解】由得，

即，解得或(舍去)．

由及正弦定理，得，结合，得.

由余弦定理，知，   

所以.

故选：A

5．在中，角所对的边分别为，面积为，且.当取得最大值时，的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据面积公式以及正弦定理得，进而根据不等式求解的最值，即可得，，进而根据余弦定理即可求解.

【详解】由得,由正弦定理得，

因此，当且仅当时取等号，

故当时，取到最大值3，此时，，

故，

故选：A

6．a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知，且，则不正确的是（    ）

A． B．

C．的周长为4c D．的面积为

【答案】C

【分析】利用正弦定理可判断A,根据同角三角函数的基本关系可判断B，利用可表示周长为，根据余弦定理确定，即可表示面积,进而判断D.

【详解】由角化边可得，

所以，故A正确；

因为，所以,

所以,故B正确；

的周长为，故C错误；

根据余弦定理得，

又因为代入上式可得，代入可得，

所以的面积为，故D正确，

故选:C.

7．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．的最小内角是最大内角的一半

C．是钝角三角形

D．若，则的外接圆直径为

【答案】B

【分析】利用已知条件求出三边的比例，结合正余弦定理验证各选项的结论是否正确.

【详解】由，

不妨设，，，，解得，，.

由正弦定理知，即A选项错误；

∵，∴最大的内角为，最小的内角为，

由余弦定理知，，，

，角A和角C都为锐角，故，即B选项正确；

最大的内角为，∵，∴为锐角，是锐角三角形，即C选项错误；

∵，∴，由正弦定理，

∴的外接圆直径，即D选项错误.

故选：B

8．若，且，那么是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】化简，结合余弦定理可得，再利用正余弦定理对化简可得，从而可判断出的形状

【详解】由，得，

化简得，

所以由余弦定理得，

因为，所以，

因为，

所以由正余弦定理角化边得，化简得，

所以，

所以为等边三角形，

故选：B

二、多选题

9．已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则周长的最大值为

D．若，则面积的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用两角和差余弦公式可化简已知等式求得，利用正弦定理边化角，结合同角三角函数平方关系可构造方程求得，进而知A正确；将的值代入已知等式可求得，知为等比三角形，得B错误；在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，进而知C正确；设，代入三角形面积公式中，根据二次函数最值的求法可知D正确.

【详解】，

，解得：，

由得：，

，

，解得：（舍）或，

，，A正确；

，，，即，

为等边三角形，，B错误；

，，

在中，由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），

解得：，周长的最大值为，C正确；

设，则，

，

则当时，取得最大值，D正确.

故选：ACD.

10．在中，，，．若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用余弦定理可得关于的一元二次方程；根据三角形有唯一解可知或在时，方程两根一正一负或一根为零、一根为正，由此可构造不等式求得的范围，进而确定结果.

【详解】由题意知：；

由余弦定理得：，

即，则；

当，即时，，满足题意；

当，即时，

方程两根需一正一负或一根为零、一根为正，

，解得：.

综上所述：的可能取值为或.

故选：BD.

11．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ）

A．，有唯一解

B．，无解

C．，有两解

D．，有唯一解

【答案】AD

【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B，C，D选项.

【详解】解：选项，已知三边三角形确定，有唯一解，正确；

选项，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；

选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；

选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.

故选：AD.

12．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是

【答案】AD

【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.

【详解】设，，，，

则，，，

对于A ，，故A正确；

对于B ，，故B不正确；

对于C，若，则，，，

所以，所以，

所以的面积是，故C不正确；

对于D，若，则，则，则，，，

所以，，

所以外接圆半径为.故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．在中,内角的对边分别为若的周长为7,面积为 且则c = _______________.

【答案】3

【分析】由条件根据余弦定理可得出的值，求出的值，由三角形的面积公式求出的值，代入条件可得出答案.

【详解】由的周长为7，即，则

由，可得

由余弦定理可得：

由，则,

又，可得

又，解得

故答案为：3

14．在锐角三角形中，角的对边分别是，若，则______.

【答案】##0.5

【分析】由正弦定理结合诱导公式得到，因为，从而求出，利用同角三角函数关系求出答案.

【详解】，由正弦定理得：，即，

其中，故

因为，所以，

故，所以.

故答案为：.

15．如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点，若为正三角形，则四边形面积的最大值为__________.

【答案】

【分析】先设,再把四边形面积分成面积加上面积,最后用表示四边形面积应用三角函数最值求出最大值即可.

【详解】设，

.

当时，四边形的面积取得最大值.

故答案为: .

16．在中， 内角的对边分别为，且满足，则的取值范围____________

【答案】

【分析】先由正弦定理和余弦定理得到，再利用正弦定理得到，结合的范围，得到的取值范围.

【详解】，由正弦定理得：，

由余弦定理得：，

因为，

所以，

由正弦定理得：

，

因为，

所以，

故当，即时，取得最大值，最大值为，

且，

综上：的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数．

(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；

(2)设的内角，，的对应边分别是，，，且，，，求的面积．

【答案】(1)最大值0，此时；最小值，此时；

(2)或.

【分析】（1）利用倍角公式降幂，辅助角公式化简，由定义区间求最大值和最小值时的值；

（2）由函数值求得角，余弦定理求得边，由面积公式计算面积.

【详解】（1），

，

因为，有，所以，

的最大值0，此时，

的最小值，此时；

（2），所以，由为三角形内角得，

因为，，由余弦定理得，解得或，

由，得或.

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)如图，若D是外接圆的劣弧AC上一点，且．求AD．

【答案】(1)

(2)2

【分析】(1)利用正弦定理边化角结合三角恒等变换即可求解；

(2)利用余弦定理分别在和解三角形可求解.

【详解】（1）由边化角可得，

即，即，

所以，因为，所以，

所以，,所以.

（2）在中，由余弦定理得，

所以，

由圆的内接四边形的性质可知,

在中，由余弦定理得，

所以即，

解得或（舍）.

19．在中，角所对的边分别为，现有下列四个条件：①；②；③；④．

(1)条件①和条件②可以同时成立吗？请说明理由；

(2)请从上述四个条件中选择三个条件作为已知，使得存在且唯一，并求的面积．

【答案】(1)不可以，理由见详解.

(2)若选①③④时，存在且唯一，此时面积为；

若选②③④时，存在且唯一，此时面积为.

【分析】（1）由余弦定理化简①，由余弦函数的性质化简②，再由与矛盾，从而得出结论；（2）结合（1）中的条件进行分析，再由余弦定理得出，利用三角形面积公式得出面积.

【详解】（1）对于①：因为，

所以，

.

对于②：，

由可得，

因为，所以，与矛盾

故①②两个条件不可以同时成立.

（2）因为①②两个条件不可以同时成立，所以只能选①③④或②③④

选①③④时，因为，，

所以由可得，

解得（舍）

故

所以若选①③④时，存在且唯一，此时面积为.

选②③④时，因为，，

所以由可得

故，

所以若选②③④时，存在且唯一，此时面积为.

20．的内角的对边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若，，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理边化角可求得，由此可得；

（2）利用正弦定理和勾股定理可求得，由此可得周长.

【详解】（1）由得：，，

又，.

（2）由正弦定理得：，

，，，

的周长.

21．如图，在中，，，D为线段BC上一点，.

(1)求的值；

(2)若，求线段AC的长.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，在与中，由正弦定理即可求解作答.

（2）利用（1）的结论，利用余弦定理求解作答.

【详解】（1）依题意，在中，由正弦定理得：，即，

在中，由正弦定理得：，即.

因为，即，因此，而AC＝2AB，

所以.

（2）当时，由（1）知，

在中，由余弦定理得：，

即，整理得，由，解得，

所以线段AC的长是.

22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)证明：；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用正弦定理，以及两角差的正弦公式，化简求解即可；

（2）根据正弦定理以及，，关系，化简为，然后分析的范围，进而利用二次函数单调性即可求得结果.

【详解】（1）由，

根据正弦定理得，，

则，或，

或（舍），.

（2）由（1）知，，

,

又，且，，

，.

，

令，，则，，

根据二次函数性质，可知在内递增，

.