初中数学本节综合综合训练题

这是一份初中数学本节综合综合训练题，共15页。试卷主要包含了2 与三角形有关的角，5°＝22等内容，欢迎下载使用。
一．三角形内角和定理
1、三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。
2、证明方法：可以过任意一个顶点作对边的平行线，将三角形的三个内角转化到同一条直线上，通过平角为180°进行证明。
针对训练
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠BAD＝28°，DE平分∠ADC，则∠EDC的度数是（ ）
A．78°B．39°C．25°D．14°
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B＝44°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10°B．12°C．13°D．15°
3．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59°B．60°C．56°D．22°
4．在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（ ）
A．3∠E﹣2∠D＝180°B．3∠D﹣2∠E＝180°
C．3∠E﹣2∠D＝90°D．3∠D﹣2∠E＝90°
6．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：2：1，那么△ABC是 三角形．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作DE∥AB，若∠B＝55°，则∠ACD等于 度．
8．如图，将一个三角形剪去一个角后，若∠1+∠2＝230°，则∠B的度数为 ．
9．如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若△ABC为倍角三角形，∠A＝100°，则∠B＝ ．
10．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，AD、BE相交于点G，且∠AGB+∠BEF＝180°．
（1）求证：∠CAD＝∠CEF；
（2）若∠BAC＝60°，∠C＝40°，求∠BFE的度数．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝68°，∠C＝23°，
（1）求∠DAE的度数；
（2）探究：小明认为如果条件∠B＝68°，∠C＝23°改成∠B﹣∠C＝45°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
二．三角形的外角性质
1、三角形外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条边是三角形另一边的延长线。
2、三角形外角定理：①三角形的外角和等于360°。
②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角。
针对训练
12．如图，在△ABC中，外角∠ACD＝120°，∠B＝40°，则∠A的度数（ ）
A．85°B．75°C．40°D．80°
13．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25°B．50°C．65°D．70°
15．如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则α、β、γ之间的数量关系是（ ）
A．α+β＝γB．2α﹣β＝γC．2β﹣α＝γD．2γ﹣α＝β
16．如图，若∠A＝35°，∠B＝40°，则∠1的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是 ．
18．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B与∠D的度数分别是20°和30°，牛叔叔量得∠BCD＝140°，请你帮助牛叔叔判断该零件 ．（填“合格”或“不合格”）
19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝m°，∠E＝n°，则∠BAC＝ °．（用含m和n的式子表示）
20．如图，已知∠A＝75°，∠B＝25°，∠C＝35°，求∠BDC和∠1的度数．
21．如图，∠A＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数．
分析：连接AD并延长至点E，
要求∠BDC的度数，只需求∠BDE+∠CDE即可，
解：∵∠BDE＝∠B+ ，
∠CDE＝∠C+ ，
∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC＝∠B+ +∠C+ ．
∵∠BAC＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，
∴∠BDC＝ ．
22．证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
23．互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
（1）已知：如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点P，试探究∠BPC和∠A的关系．请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）．
解：延长BP交AC于点D．
∵∠BPC＝∠2+∠3，∠3＝∠1+∠A（ ），
∴∠BPC＝∠2+∠1+∠A．
∵∠B和∠C的平分线相交于点P，
∴，（角平分线定义），
∴．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°（ ），
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式的性质），
∴＝ ．
（2）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和外角∠ACD的平分线相交于点P，试探究∠P和∠A的关系，并说明理由．
（3）如图，△ABC的外角∠CBD的平分线和∠BCE的平分线相交于点P，若∠A＝50°，则∠P的度数为 ．
参考答案
一．三角形内角和定理
1．解：∵在△ABC中，∠B＝50°，∠BAD＝28°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣28°＝102°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝78°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝ADC＝39°．
故选：B．
2．解：在△ABC中，∠B＝44°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣70°＝66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×66°＝33°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝33°﹣20°＝13°．
故选：C．
3．解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1＝∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
4．解：①∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故可确定△ABC为直角三角形；
②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝36°，
则∠A＝∠B＝2∠C＝72°，故不能确定△ABC为直角三角形；
③∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5x+3x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，故可确定直角三角形；
④∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故可确定直角三角形；
⑤∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝∠A，∠C＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+＝180°，
解得：∠A＝（98）°，
故不能确定△ABC为直角三角形．
则能确定△ABC为直角三角形的条件有3个，
故选：C．
5．解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，
∴∠DBC＝，∠DCB＝
∵∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝，，
∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠D+，
∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E，
∴∠D+，
整理得3∠E﹣2∠D＝180°，
故选：A．
6．解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
7．解：∵DE∥AB，
∴∠B＝∠BCE＝55°，∠A＝∠ACD，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠A＝35°，
∴∠ACD＝35°，
故答案为：35°．
8．解：∵∠1+∠2＝230°，
∴∠A+∠C＝360°﹣230°＝130°，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
9．解：①当∠A是另一个角的2倍时，∵∠A＝100°，
∴另一个角是50°，
∴第三个角的度数为：180°﹣100°﹣50°＝30°，
∴∠B＝50°或30°；
②当∠B是∠C的2倍时，
∴∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝100°
∴100°+∠B+∠B＝180°，
解得：∠B＝．
综上所述，∠B的度数为：50°或30°或 ．
故答案为：50°或30°或 ．
10．（1）证明：∵∠AGB+∠BEF＝180°，∠AGB+∠AGE＝180°，
∴∠AGE＝∠BEF，
∴EF∥AD，
∴∠CAD＝∠CEF；
（2）解：∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵EF∥AD，
∴∠BFE＝∠ADB＝70°．
11．解：（1）∵∠B＝68°，∠C＝23°，
∴∠BAC＝89°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝．
∵AD⊥BC，∠C＝23°，
∴∠CAD＝90°﹣23°＝67°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝67°﹣44.5°＝22.5°．
（2）能．
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°﹣∠C﹣[90°﹣]＝，
又∵∠B﹣∠C＝45°，
∴∠DAE＝．
二．三角形的外角性质
12．解：∵∠ACD＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
故选：D．
13．解：由题意得：∠1＝90°﹣60°＝30°，
则∠α＝45°+30°＝75°，
故选：D．
14．解：如图，
∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝∠ACD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠PBC＝∠ACB，∠DCP＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∵∠DCP是△BCP的外角，∠BPC＝25°，
∴∠BPC+∠PBC＝∠DCP，
25°+∠ACB＝90°﹣∠ACB，
解得：∠ACB＝65°．
故选：C．
15．解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠ACE是△ACD的外角，
∴β＝α+∠BAD，γ＝β+CAD，
∴∠BAD＝β﹣α，∠CAD＝γ﹣β，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴β﹣α＝γ﹣β，
∴2β﹣α＝γ．
故选：C．
16．解：∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠A+∠B＝35°+40°＝75°．
故答案为：75°．
17．解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°．
18．解：延长DC交AB于点E，如图，
∵∠BCD是△BCE的外角，∠BCD＝140°，∠B＝20°，
∴∠BEC＝∠BCD﹣∠B＝120°，
∵∠BEC是△ADE的外角，∠D＝30°，
∴∠A＝∠BEC﹣∠D＝90°，
∴该零件合格．
故答案为：合格．
19．解：∵∠B＝m°，∠E＝n°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝m°+n°．
∵CE为∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝2（m°+n°）．
又∵∠ACD＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝2（m°+n°）﹣m°＝（m+2n）°．
故答案为：（m+2n）．
20．解：∵∠A＝75°，∠C＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠C＝75°+35°＝110°，
∵∠B＝25°，
∴∠1＝∠BDC+∠B＝110°+25°＝135°．
21．解：∵∠BDE＝∠B+∠BAD，
∠CDE＝∠C+∠CAD，
∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．
∵∠BAC＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，
∴∠BDC＝101°．
故答案为：∠BAD，∠CAD，∠BAD，∠CAD，101°．
22．证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
证法2：∵∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
23．解：（1）延长BP交AC于点D．
∵∠BPC＝∠2+∠3，∠3＝∠1+∠A（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠BPC＝∠2+∠1+∠A．
∵∠B和∠C的平分线相交于点P，
∴，（角平分线定义），
∴．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°（三角形的内角和是180°），
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式的性质），
∴．
故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是180°；；
（2）∵∠1＝∠P+∠2，∠ACD＝∠A+∠ABC，
△ABC的外角∠CBD的平分线和∠BCE的平分线相交于点P，
∴∠ACD＝2∠1，∠ABC＝2∠2，
∴2（∠P+∠2）＝∠A+∠ABC，
2∠P+2∠2＝∠A+∠ABC，
∴2∠P＝∠A；
（3）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵ABC+∠CBD＝180°，∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠CBD+∠BCE＝230°，
∵△ABC的外角∠CBD的平分线和∠BCE的平分线相交于点P，
∴，，
∴，
∴∠P＝180°﹣∠PBC+∠PCB＝180°﹣115°＝65°．
故答案为：65°．