人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精练，共14页。试卷主要包含了下列说法中正确的个数是，下列说法正确的是，下列叙述，给出下列命题等内容，欢迎下载使用。

1．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．下列说法正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝±b
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
3．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
4.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
A.eq \(DA,\s\up7(―→))和eq \(BC,\s\up7(―→)) B.eq \(DC,\s\up7(―→))和eq \(AB,\s\up7(―→))
C.eq \(DC,\s\up7(―→))和eq \(BC,\s\up7(―→)) D.eq \(DC,\s\up7(―→))和eq \(DA,\s\up7(―→))
5．若|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|且eq \(BA,\s\up7(―→)) ＝eq \(CD,\s\up7(―→))，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
6．下列叙述：
(1)单位向量都相等；
(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；
(4)方向不同的两个向量一定不平行．
其中正确的有________．(填所有正确的序号)
7．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：
(1)|a|＞|b|；(2)a∥b；(3)|a|＞0；(4)|b|＝±1；
(5)若a0是与a同向的单位向量，则a0＝b.
其中正确的是________．(填序号)
8．已知|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝2，若∠ABC＝90°，则|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝________.
9.如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量eq \(AB,\s\up7(―→))平行且模为eq \r(2)的向量共有几个？与向量eq \(AB,\s\up7(―→))方向相同且模为3eq \r(2)的向量共有几个？
10．已知四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))且|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AC,\s\up7(―→))|，tan D＝eq \r(3)，判断四边形ABCD的形状．
拓展练
1．已知在平面内点O固定，且|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则eq \f(|\(PD,\s\up7(―→))|,|\(AD,\s\up7(―→))|)的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C．1 D．2
3．[多选]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与eq \(AB,\s\up7(―→))相等的向量只有一个(不含eq \(AB,\s\up7(―→)))
B．与eq \(AB,\s\up7(―→))的模相等的向量有9个(不含eq \(AB,\s\up7(―→)))
C.eq \(BD,\s\up7(―→))的模恰好为eq \(DA,\s\up7(―→))的模的eq \r(3)倍
D.eq \(CB,\s\up7(―→))与eq \(DA,\s\up7(―→))不共线
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5．四边形ABCD满足eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，且|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(BD,\s\up7(―→))|，则四边形ABCD是________(填四边形ABCD的形状)．
6.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
7.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示与向量eq \(DE,\s\up7(―→))长度相等的向量；
(2)写出图中所示与向量eq \(FD,\s\up7(―→))相等的向量；
(3)分别写出图中所示向量与向量eq \(DE,\s\up7(―→))，eq \(FD,\s\up7(―→))共线的向量．
培优练
在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4eq \r(2)，a的方向与x轴正方向、y轴正方向的夹角都是135°.
课时跟踪检测（一） 平面向量的概念
基础练
1．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选B.
2．下列说法正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝±b
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
解析：选B 对A，当|a|＝|b|时，由于a，b方向是任意的，a＝±b未必成立，所以A错误；对B，零向量的长度是0，正确；对C，长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；对D，共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．故选B.
3．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：选C 速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A、B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．故选C.
4.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
A.eq \(DA,\s\up7(―→))和eq \(BC,\s\up7(―→)) B.eq \(DC,\s\up7(―→))和eq \(AB,\s\up7(―→))
C.eq \(DC,\s\up7(―→))和eq \(BC,\s\up7(―→)) D.eq \(DC,\s\up7(―→))和eq \(DA,\s\up7(―→))
解析：选B eq \(DC,\s\up7(―→))和eq \(AB,\s\up7(―→))方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段表示．故选B.
5．若|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|且eq \(BA,\s\up7(―→)) ＝eq \(CD,\s\up7(―→))，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：选C ∵eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|，
∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形．故选C.
6．下列叙述：
(1)单位向量都相等；
(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；
(4)方向不同的两个向量一定不平行．
其中正确的有________．(填所有正确的序号)
解析：(1)错误．单位向量模都相等，但是方向不一定相同．
(2)正确．若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的．
(3)错误．共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同．
(4)错误．方向相反的两个向量一定平行．
答案：(2)
7．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：
(1)|a|＞|b|；(2)a∥b；(3)|a|＞0；(4)|b|＝±1；
(5)若a0是与a同向的单位向量，则a0＝b.
其中正确的是________．(填序号)
解析：对(1)，不一定有|a|＞|b|；对(2)，a与b方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a|＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a0与b方向不一定相同．综上可知(3)正确．
答案：(3)
8．已知|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝2，若∠ABC＝90°，则|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝eq \r(AC2－AB2)＝eq \r(3)，所以|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
9.如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量eq \(AB,\s\up7(―→))平行且模为eq \r(2)的向量共有几个？与向量eq \(AB,\s\up7(―→))方向相同且模为3eq \r(2)的向量共有几个？
解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和eq \(AB,\s\up7(―→))平行且模为eq \r(2).
因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．
(2)易知与向量eq \(AB,\s\up7(―→))方向相同且模为3eq \r(2)的向量共有2个．
10．已知四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))且|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AC,\s\up7(―→))|，tan D＝eq \r(3)，判断四边形ABCD的形状．
解：∵在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵tan D＝eq \r(3)，∴B＝D＝60°.
又|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AC,\s\up7(―→))|，∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
拓展练
1．已知在平面内点O固定，且|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
解析：选C 由于|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆．故选C.
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则eq \f(|\(PD,\s\up7(―→))|,|\(AD,\s\up7(―→))|)的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C．1 D．2
解析：选C 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以eq \f(|\(PD,\s\up7(―→))|,|\(AD,\s\up7(―→))|)的值为1.故选C.
3．[多选]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与eq \(AB,\s\up7(―→))相等的向量只有一个(不含eq \(AB,\s\up7(―→)))
B．与eq \(AB,\s\up7(―→))的模相等的向量有9个(不含eq \(AB,\s\up7(―→)))
C.eq \(BD,\s\up7(―→))的模恰好为eq \(DA,\s\up7(―→))的模的eq \r(3)倍
D.eq \(CB,\s\up7(―→))与eq \(DA,\s\up7(―→))不共线
解析：选ABC 与eq \(AB,\s\up7(―→))相等的向量只有eq \(DC,\s\up7(―→))，A正确；由已知条件可得|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(BA,\s\up7(―→))|＝|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝|eq \(CB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(CA,\s\up7(―→))|＝|eq \(DC,\s\up7(―→))|＝|eq \(CD,\s\up7(―→))|＝|eq \(DA,\s\up7(―→))|＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，|eq \(DB,\s\up7(―→))|＝eq \f(|\(DE,\s\up7(―→))|,cs 30°)，在Rt△AEB中，|eq \(AE,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up7(―→))|，所以|eq \(DB,\s\up7(―→))|＝eq \f(\f(3,2)|\(DA,\s\up7(―→))|,\f(\r(3),2))＝eq \r(3)|eq \(DA,\s\up7(―→))|，C正确；eq \(CB,\s\up7(―→))与eq \(DA,\s\up7(―→))方向相同，大小相等，故eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(DA,\s\up7(―→))，eq \(CB,\s\up7(―→))与eq \(DA,\s\up7(―→))共线，D错误．故选A、B、C.
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和与两个向量相等的概念，|a|＝|b|只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．故选A.
5．四边形ABCD满足eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，且|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(BD,\s\up7(―→))|，则四边形ABCD是________(填四边形ABCD的形状)．
解析：∵eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，∴AD∥BC且|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝|eq \(BC,\s\up7(―→))|，∴四边形ABCD是平行四边形．
又|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(BD,\s\up7(―→))|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
6.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
解析：结合图形可知，(1)|eq \(CH,\s\up7(―→))|＝|eq \(AE,\s\up7(―→))|＝eq \r(10).
(2)eq \(DG,\s\up7(―→))与eq \(HF,\s\up7(―→))共线，|eq \(DG,\s\up7(―→))|＝2eq \r(2)，|eq \(HF,\s\up7(―→))|＝3eq \r(2)，故|eq \(DG,\s\up7(―→))|＋|eq \(HF,\s\up7(―→))|＝5eq \r(2).
答案：(1)eq \(CH,\s\up7(―→))，eq \(AE,\s\up7(―→)) eq \r(10) (2)eq \(DG,\s\up7(―→))，eq \(HF,\s\up7(―→)) 5eq \r(2)
7.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示与向量eq \(DE,\s\up7(―→))长度相等的向量；
(2)写出图中所示与向量eq \(FD,\s\up7(―→))相等的向量；
(3)分别写出图中所示向量与向量eq \(DE,\s\up7(―→))，eq \(FD,\s\up7(―→))共线的向量．
解：(1)与eq \(DE,\s\up7(―→))长度相等的向量是eq \(EF,\s\up7(―→))，eq \(FD,\s\up7(―→))，eq \(AF,\s\up7(―→))，eq \(FC,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))，eq \(DA,\s\up7(―→))，eq \(CE,\s\up7(―→))，eq \(EB,\s\up7(―→)).
(2)与eq \(FD,\s\up7(―→))相等的向量是eq \(CE,\s\up7(―→))，eq \(EB,\s\up7(―→)).
(3)与eq \(DE,\s\up7(―→))共线的向量是eq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(AF,\s\up7(―→))，eq \(FC,\s\up7(―→))；与eq \(FD,\s\up7(―→))共线的向量是eq \(CE,\s\up7(―→))，eq \(EB,\s\up7(―→))，eq \(CB,\s\up7(―→)).
培优练
在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4eq \r(2)，a的方向与x轴正方向、y轴正方向的夹角都是135°.
解：如图所示．