人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念一课一练

平面向量的概念

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    )

A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量

C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量

2．下列说法错误的是（    ）

A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等

C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动

3．下列命题中正确的是（    ）

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量

C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

4．有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若，则，不是共线向量；

③若，则四边形是平行四边形；

④若，，则；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（    ）

A．＝ B． C．＞ D．＜

6．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，

则下列判断错误的是   

A． B．∥

C． D．

二、多选题

7．下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

三、解答题

8．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．

(1)，点A在点O北偏西45°方向；

(2)，点B在点O正南方向．

9．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．

10．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

（1）作出向量，，；

（2）求 的模．

11．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，

（1）与向量相等的向量；

（2）与向量共线的向量；

（3）与向量平行的向量.

12．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

（1）与相等的向量共有几个；

（2）与方向相同且模为的向量共有几个；

四、填空题

13．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有__________个.

14．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．

（1）单位向量共有______个；

（2）模为的向量有______；

（3）与相等的向量有______；

参考答案：

1．D

【分析】根据向量的定义即可判断.

【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；

速度、位移既有大小又有方向，是向量．

故选：D．

2．B

【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.

【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；

单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；

根据零向量的概念，易知C选项正确；

向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；

故选：B.

3．A

【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.

【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；

两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；

两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；

与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.

故选：A

4．B

【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.

【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；

对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；

对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；

对于④，若，，则，④正确；

对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.

综上，错误的是②③⑤，共3个.

故选：B.

5．B

【分析】根据向量的大小和方向来判断，另外再根据向量除了相等，是不能比较大小的来判断.

【详解】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，

又向量不是实数，是不能比较大小的.

故选：B.

6．D

【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，∥且，∴选项A、B、C正确，故选D

7．AD

【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.

【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；

对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；

对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；

对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，

可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；

若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，

此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.

故选：AD.

8．(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【分析】(1)根据描述找出终点A即可；

(2)根据描述找出终点B即可.

【详解】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：

(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：

9．答案见解析.

【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．

【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．

由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，

向量如图所示，

由已知可得，

为正三角形，所以．

又，，

所以为等腰直角三角形，

所以，．

故向量的模为，方向为东南方向．

10．（1）见解析；（2）米

【解析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量.

（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.

【详解】（1）作出向量，，；如图所示：

（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，

所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，

所以AD＝＝(米)，

所以|米.

【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题.

11．（1），；（2），，，，；（3），，，，.

【分析】（1）利用相等向量定义可得解；

（2）利用共线向量定义可得解；

（3）利用平行向量定义可得解.

【详解】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；

（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；

（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.

12．（1）5；（2）2.

【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.

【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，

每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，

则，

（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，

则与相等的向量共有5个，如图1；

（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.

【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.

13．11

【分析】画图列举即可

【详解】马在处有两条路可走，在处有三条路可走，在处有八条路可走.如图，以点为起点作向量，共3个；以点为起点作向量，共8个所以共有11个.

故填11

【点睛】本题考查向量的概念，考查数形结合思想是基础题

14．          、、、、、、、;     、、

【分析】根据单位向量、模、相等向量的概念结合图形进行分析求解.

【详解】（1）、由题意可知，，所以单位向量有、、、、、、、共个；

（2）、由图可知，在长方体中，，，所以左右两个侧面的对角线长度均为，即，所以模为的向量有：、、、、、、、;

（3）、由图可知，与相等的向量除它本身外有、、共个.

故答案为： ；、、、、、、、；、、