2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题3.8 求函数解析式的6种方法

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专题3.8 求函数解析式的6种方法 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc149112548" 【考点1：待定系数法求函数解析式】  PAGEREF _Toc149112548 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc149112550" 【考点2：换元法求函数解析式】  PAGEREF _Toc149112550 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc149112552" 【考点3：配凑法求函数解析式】  PAGEREF _Toc149112552 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc149112553" 【考点4：解方程组法求函数解析式】  PAGEREF _Toc149112553 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc149112555" 【考点5：利用奇偶性求函数解析式】  PAGEREF _Toc149112555 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc149112556" 【考点6：赋值法求函数解析式】  PAGEREF _Toc149112556 \h 12【考点1：待定系数法求函数解析式】【解题思路】适用于已知函数解析式形式时，比如一次函数，二次函数，反比例函数等1．（2023·全国·高一专题练习）二次函数的图象的顶点为(0,−1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(    )A．y=−14x2+1 B．y=14x2−1C．y=4x2−16 D．y=−4x2+16【答案】B【分析】设出二次函数解析式，代入点(0,−1)，求出解析式，判断出正确答案.【详解】由题意得，设二次函数解析式为y=ax2+ca≠0，将(0,−1)代入解析式，可得c=−1，故二次函数的解析式为y=ax2−1a≠0，故可以为y=14x2−1，其他均不合要求.故选：B2．（2023秋·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)−2x]=3，则f(5)=（    ）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】A【分析】设fx=ax+ba≠0，根据f[f(x)−2x]=3恒成立可得a，b，然后可解.【详解】设fx=ax+ba≠0，则f[f(x)−2x]=fax+b−2x=aax+b−2x+b=3，整理得a2−2ax+ab+b−3=0，所以a2−2a=0ab+b−3=0，解a=2b=1，所以fx=2x+1，所以f5=2×5+1=11.故选：A3．（2023秋·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）已知二次函数fx=ax2+bx+c，满足f0=2，fx+1−fx=2x−1.则fx= .【答案】x2−2x+2【分析】先根据f0=2，求出c=2，进而根据对应系数相等即可求出结果.【详解】因为f0=2，所以c=2，而fx+1−fx=ax+12+bx+1+c−ax2+bx+c=2ax+a+b，又因为fx+1−fx=2x−1，所以2a=2a+b=−1，解得a=1b=−2，因此fx的解析式为fx=x2−2x+2.故答案为：x2−2x+2.4．（2023秋·河南南阳·高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习）已已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=16x−25，求f(x)= .【答案】4x−5或−4x+253【分析】利用待定系数法求解．【详解】设f(x)=kx+b(k≠0)，则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x−25，∴ k2=16kb+b=−25，∴ k=4b=−5或k=−4b=253，∴f(x)=4x−5或f(x)=−4x+253．故答案为：4x−5或−4x+253.5．（2023秋·全国·高一专题练习）根据下列条件，求fx的解析式.已知fx是二次函数，且满足f0=1,fx+1−fx=2x【答案】fx=x2−x+1.【分析】采用待定系数法，可设fx=ax2+bx+c，结合f0=1,fx+1−fx=2x可求a,b,c，进而得解.【详解】由题意设fx=ax2+bx+ca≠0，因为f0=1，所以c=1，因为fx+1−fx=2x，所以ax+12+bx+1+c−ax2+bx+c=2x，所以2ax+a+b=2x，所以2a=2a+b=0，得a=1,b=−1，所以fx=x2−x+1.6．（2023秋·福建南平·高一福建省政和第一中学校考阶段练习）设二次函数fx满足f0=1，且fx+1−fx=4x，求fx的解析式.【答案】fx=2x2−2x+1【分析】根据题意设fx=ax2+bx+c，由f0=1求出c，由fx+1−fx=4x可求得a,b，即可得答案.【详解】设二次函数为fx=ax2+bx+c，因为f0=1，所以c=1，所以fx=ax2+bx+1，又因为fx+1−fx=4x，即ax+12+bx+1−ax2−bx=2ax+a+b=4x，所以2a=4a+b=0，解得：a=2b=−2，所以函数解析式为fx=2x2−2x+1.【考点2：换元法求函数解析式】【解题思路】适用于已知的解析式，求的解析式，可以设，注意新元的范围1．（2023秋·浙江台州·高一路桥中学校考阶段练习）已知函数fx−1=2x2+x+1，则函数fx的解析式是（    ）A．fx=2x2+x+1 B．fx=2x2−3x+2C．fx=2x2+5x+4 D．fx=2x2−x+4【答案】C【分析】令t=x−1，利用换元法求出ft，进而得出答案.【详解】解：令t=x−1，则x=t+1，所以ft=2t+12+t+1+1=2t2+5t+4，故fx=2x2+5x+4，故选：C.2．（2023秋·全国·高一专题练习）已知fx+2=x+4x，求函数fx的解析式；【答案】fx=x2−4(x≥2)；【分析】利用换元法求解函数解析式，注意自变量的取值范围.【详解】设t=x+2，则t≥2，x=t−2，即x=t−22，所以ft=t−22+4t−2=t2−4，所以fx=x2−4(x≥2)．故答案为：fx=x2−4(x≥2)3．（2023秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知fx+1=3x+x，则fx的解析式为 .【答案】fx=3x2−5x+2,x≥1【分析】利用换元法求解解析式即可.【详解】fx+1=3x+x，令x+1=t,t≥1，则x=t−12，所以ft=3t−12+t−1=3t2−5t+2，所以fx=3x2−5x+2,x≥1.故答案为：fx=3x2−5x+2,x≥1.4．（2023秋·河南新乡·高一校考期末）已知fx+1=x−2，则fx= .【答案】x2−2x−1(x≥1)【分析】利用换元法求解即可【详解】令t=x+1(t≥1)，则x=t2−2t+1，所以f(t)=t2−2t+1−2=t2−2t−1(t≥1)，即f(x)=x2−2x−1(x≥1)，故答案为：x2−2x−1(x≥1)5．（2022秋·福建泉州·高一校考期中）已知fx+1=x2−x，则fx的解析式是 【答案】fx=x2−3x+2【分析】利用换元法计算可得.【详解】因为fx+1=x2−x，令t=x+1，则x=t−1，所以ft=t−12−t−1=t2−3t+2，所以fx=x2−3x+2.故答案为：fx=x2−3x+26．（2023秋·江苏扬州·高一江苏省高邮中学校联考阶段练习）若函数fx+1x=x2+1x2，且fm=6，则实数m的值为 .【答案】±22【分析】利用换元法求出fx的解析式，再代入计算可得.【详解】因为fx+1x=x2+1x2=x+1x2−2，当x>0时x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号，当x<0时x+1x=−−x+1−x≤−2−x⋅1−x=−2，当且仅当x=−1时取等号，令t=x+1x，则t∈−∞,−2∪2,+∞，所以ft=t2−2，t∈−∞,−2∪2,+∞，即fx=x2−2，x∈−∞,−2∪2,+∞，因为fm=6，所以m2−2=6，解得m=±22.故答案为：±227．（2023秋·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知fx+2=2x+8x+5，求fx的解析式.【答案】fx=2x2−3(x≥2)【分析】利用换元法求解，令t=x+2(t≥2)，然后t表示出x，x，代入化简即可；【详解】令t=x+2(t≥2)，则x=t−2，x=t−22，所以由fx+2=2x+8x+5，得ft=2t−22+8t−2+5=2t2−3，所以fx=2x2−3(x≥2)；【考点3：配凑法求函数解析式】【解题思路】1．若fx=3x−4，gx−1=fx，则gx=（　　）A．3x−3 B．3x−5C．3x−1 D．3x+4【答案】C【解析】∵gx−1=3x−4=3x−1−1，∴gx=3x−1.故选：C.2．已知函数f1−xx=1x2−1x≠0，则fx的解析式为（    ）A．fx=x2−2x B．fx=x2−xC．fx=x2+x D．fx=x2+2x【答案】D【解析】因为f1−xx=1x2−1=(1x−1)2+2x−2=(1x−1)2+2(1x−1)，所以f(x)=x2+2x.故选：D.3．（多选）已知f(2x＋1)=4x2，则下列结论正确的是（　　）A．f(−3)=16 B．f(x)=4x2C．f(x)=16x2+16x+4 D．f(x)=x2−2x+1【答案】AD【解析】依题意，f(2x+1)=(2x+1)2−2(2x+1)+1，因此f(x)=x2−2x+1，BC错误，D正确；显然f(−3)=(−3)2−2(−3)+1=16，A正确.故选：AD4．若函数fx+1x=x2+1x2，且fm=4，则实数m的值为（    ）A．6 B．6或−6 C．−6 D．3【答案】B【解析】令x+1x=t（t≥2或t≤−2），x2+1x2=x+1x2−2=t2−2，∴ft=t2−2，fm=m2−2=4，∴m=±6.故选；B5．已知f(x+1)=x+2x，则f(x)的解析式为（    ）A．f(x)=x2−1 B．f(x)=x2−1(x>1)C．f(x)=x2−1(x≥1) D．f(x)=x2−1(x≥0)【答案】C【解析】因为f(x+1)=x+2x=x+12−1令t=x+1t≥1，所以ft=t2−1t≥1 所以fx=x2−1x≥1故选：C.【考点4：解方程组法求函数解析式】【解题思路】适用于已知和，以及和等1．（2023·全国·高一专题练习）设函数fx=2f(1x)+1，则f10等于（    ）A．1 B．−1 C．10 D．110【答案】B【分析】根据题意，得到f(1x)=2fx+1，联立方程组，求得fx=−1，即可求解.【详解】由fx=2f(1x)+1，可得f(1x)=2fx+1，联立方程组fx=2f(1x)+1f(1x)=2fx+1，解得fx=−1，所以f10=−1.故选：B.2．（2023秋·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）已知函数fx满足f(x)+2f(−x)=4x，则f2等于（     ）A．−8 B．8 C．−6 D．6【答案】A【分析】由题意在f(x)+2f(−x)=4x中分别令x=2、x=−2即可得到关于f2,f−2的方程组，解方程组即可.【详解】因为函数fx满足f(x)+2f(−x)=4x，所以在f(x)+2f(−x)=4x中分别令x=2、x=−2，可得f(2)+2f(−2)=8f(−2)+2f(2)=−8，解不等式组得f2=−8,f−2=8.故选：A.3．（2022秋·江西·高三宁冈中学校考期中）已知函数fx的定义域为0,+∞，且满足fx+2f1x=5x+4x，则fx的最小值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．22【答案】D【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得解.【详解】因为fx+2f1x=5x+4x①，所以f1x+2fx=5x+4x②，由②×2−①得3fx=3x+6x，所以fx=x+2x≥2x⋅2x=22,x∈0,+∞，当且仅当x=2x，即x=2时，取等号，所以fx的最小值为22.故选：D.4．（2023秋·浙江温州·高一苍南中学校考阶段练习）已知函数f(x)对定义域{x∣x≠0}内的任意实数x满足f(x)−2f1x=3x，则f(x)= .【答案】−x−2x【分析】本题可以构造方程组来求函数的解析式【详解】因为fx−2f1x=3x，取x=1x，则f1x−2fx=3x，即2f1x−4fx=6x，两式相加可得−3fx=3x+6x，所以fx=−x−2x，故答案为：−x−2x5．（2023秋·湖北荆门·高一钟祥市第一中学校考阶段练习）已知fx满足3fx+2f1−x=4x，则fx解析式为 ．【答案】fx=4x−85【分析】用1−x代x得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.【详解】由3fx+2f1−x=4x   ①用1−x代x可得，3f1−x+2fx=41−x  ②由3×①− 2×②可得：fx=4x−85故答案为：fx=4x−856．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数f(x)对定义域{x∣x≠0}内的任意实数x满足f(2x)−2f2x=4x，则f(x)= .【答案】−23x−163x【分析】先把x都化为2x，进行化简得到f(x)−2f4x=2x，再把x替换为4x得到f4x−2f(x)=8x，最后联立方程组求解即可.【详解】由f(2x)−2f2x=4x，得f(2x)−2f42x=2⋅(2x)，即f(x)−2f4x=2x①，将x换为4x，得f4x−2f(x)=2×4x②，由①+2②，得−3f(x)=2x+16x，故f(x)=−23x−163x.故答案为：−23x−163x.7．（2023秋·广东深圳·高一校联考期中）已知函数fx满足fx+2f−x=−3x−6．(1)求fx的解析式；(2)求函数gx=xfx在0,3上的值域．【答案】(1)f(x)=3x−2(2)−13,21【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解；（2）由（1）知g(x)=3x2−2x，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由f(x)+2f(−x)=−3x−6，得f(−x)+2f(x)=3x−6，通过消元可得f(x)=3x−2．（2）由题意可得g(x)=xf(x)=3x2−2x，因为g(x)的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为x=13，函数g(x)在(0,13)上单调递减，在(13,3)上单调递增，所以g(x)min=g13=3×19−2×13=−13，g(x)max=g(3)=3×9−2×3=21，所以g(x)在[0,3]上的值域为−13,21．【考点5：利用奇偶性求函数解析式】【解题思路】1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx为R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2−2x，则当x<0时，fx的解析式为（   ）A．−x2−2x B．−x2+2x C．x2+2x D．以上都不对【答案】A【分析】利用奇函数的性质求x<0时的函数解析式即可.【详解】设x<0，则−x>0，又fx=−f−x=−−x2−2−x=−x2+2x=−x2−2x.故选：A2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x3+x+1，则fx在R上的解析式为 .【答案】fx=x3+x+1,x>00,x=0x3+x−1,x<0【分析】根据题意结合奇函数的定义与性质运算求解.【详解】因为函数fx是定义在R上的奇函数，则f0=0，当x<0时，则−x>0，可得fx=−f−x=−−x3+−x+1=x3+x−1，所以fx=x3+x+1,x>00,x=0x3+x−1,x<0.故答案为：fx=x3+x+1,x>00,x=0x3+x−1,x<0.3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y=fx为奇函数，且当x>0时fx=x2−2x+3，则当x<0时，fx= ．【答案】−x2−2x−3【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为函数y=fx为奇函数，所以当x<0时，fx=−f−x=−x2+2x+3=−x2−2x−3，故答案为：−x2−2x−34．（2023秋·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知y=fx是定义在R上的奇函数，且x<0时，fx=1+2x.(1)求函数fx的解析式；(2)画出函数fx的图象并写出函数fx的单调区间.【答案】(1)f(x)=1+2x,x<0,0,x=0,−1−12x,x>0.(2)图象见解析；(−∞,0),(0,+∞)【分析】（1）利用单调性求出x>0时的解析式，即可求出函数fx的解析式；（2）做出函数图像，利用图象即可得出函数的单调区间.【详解】（1）由题意，在y=fx中，是定义在 R 上的奇函数，当x<0 时, f(x)=1+2x,∴f(0)=0，当x>0 时, f(x)=−f(−x)=−1+2−x=−1−12x∴f(x)=1+2x,x<0,0,x=0,−1−12x,x>0.（2）由题意及（1）得，在f(x)=1+2x,x<0,0,x=0,−1−12x,x>0.中，作出函数fx的图象如下图所示，      ∴f(x) 的单调增区间为(−∞,0),(0,+∞).5．（2023·全国·高一专题练习）已知y=fx是定义在R上的奇函数，当x≤0时，fx=x2+2x.(1)求函数fx在R上的解析式；(2)若函数fx在区间[−1,m−1]单调递增，求实数m的取值范围.【答案】(1)fx=x2+2x,x≤0−x2+2x,x>0；(2)0,2【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；（2）作出函数y=fx的图象，从而得函数的单调递增区间，根据题意列不等式，即可得答案.【详解】（1）解：设x>0，则−x<0，所以f−x=x2−2x，因为函数y=fx是定义在R上的奇函数，所以fx=−f−x=−x2+2x，又因函数y=fx是定义在R上的奇函数，可得f0=0，所以函数fx在R上的解析式为fx=x2+2x,x≤0−x2+2x,x>0.（2）解：作出函数y=fx的图象，如图所示，由函数图象可知，y=fx在−1,1上单调递增，要使函数y=fx在区间[−1,m−1]上单调递增，则满足m−1>−1−1