高中数学3.1 函数的概念及其表示精品当堂达标检测题

这是一份高中数学3.1 函数的概念及其表示精品当堂达标检测题，文件包含专题31函数的概念及其表示6类必考点人教A版2019必修第一册原卷版docx、专题31函数的概念及其表示6类必考点人教A版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc12963" 【考点1：函数的概念及其构成要素】 PAGEREF _Tc12963 \h 1
\l "_Tc15336" 【考点2：判断两个函数是否为同一函数】 PAGEREF _Tc15336 \h 5
\l "_Tc28721" 【考点3：函数的定义域及其求法】 PAGEREF _Tc28721 \h 7
\l "_Tc31034" 【考点4：函数的值域】 PAGEREF _Tc31034 \h 9
\l "_Tc12090" 【考点5：函数解析式的求法】 PAGEREF _Tc12090 \h 14
\l "_Tc12774" 【考点6：分段函数的解析式及图象】 PAGEREF _Tc12774 \h 18
【考点1：函数的概念及其构成要素】
【知识点：函数的概念及其构成要素】
1．（2023·全国·高三专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．A=N,B=N,f:x→y=x–12B．A=N,B=N,f:x→y=±x
C．A=N,B=Q,f:x→y=1x–1D．A=R,B=y|y>0,f:x→y=x
【答案】A
【分析】由函数的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项，x=4时，y=±2，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当x=1时，y不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
故选：A
2．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知f(x)=x，则f(2)的值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】B
【分析】直接代入求解即可.
【详解】因为f(x)=x，则f(2)=2，
故选：B.
3．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数fx−1=x2−2x，且fa=3，则实数a的值等于（ ）
A．2B．±2C．2D．±2
【答案】D
【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；
【详解】令x−1=a,x2−2x=3，解得x=−1或x=3由此解得a=±2，
故选：D
4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量x，有唯一的y值相对应，
选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，
其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.
故选：ACD
5．（多选）（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合A=−1,0,1到集合B=0,1的函数关系的是（ ）
A．y＝2xB．y=x
C．y=1xD．y=x2
【答案】BD
【分析】通过分析不同函数中对应的集合A中元素的值，即可得出结论.
【详解】由题意，
A=−1,0,1，B=0,1
A项，在y＝2x中，当x=−1,0,1时，对应函数值为−2,0,2，与集合B不对应，A错误；
B项，在y=x中，当x=−1,0,1时，对应的函数值分别为1,0,1，B正确；
C项，在y=1x中，当x=−1,0,1时，定义域不合要求，C错误；
D项，在y=x2中，当x=−1,0,1时，对应的函数值分别为1,0,1， D正确；
故选：BD.
6．（多选）（2023·江苏·高一假期作业）下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方
B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系：
A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系：
A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0
【答案】AC
【分析】利用函数的概念逐项进行判断即得.
【详解】对于A，集合A中的元素1开平方与集合B中的－1和1对应，不满足唯一性，
对于C，同样不满足唯一性，故A和C错误；
对于B和 D，都满足函数概念，故正确.
故选：AC
7．（2023·高一课时练习）已知函数fx=x2x2+1.
(1)求f1，f2+f12的值；
(2)证明：fx+f1x等于定值.
【答案】(1)f1=12，f2+f12=1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，代入计算，分别求得fx与f1x即可得到结果.
【详解】（1）f1=1212+1=12，f2=2222+1=45，f12=122122+1=15，
所以f2+f12=45+15=1.
（2）证明f1x=1x21x2+1=1x2+1，
所以fx+f1x=x2x2+1+1x2+1=1，为定值.
8．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数f(x)=x+2x−1.
(1)当x=2时，求f(x)的值；
(2)若f(a)=2a，求实数a的值.
【答案】(1)4；
(2)a=−12或a=2.
【分析】（1）将x=2代入f(x)=x+2x−1求解；
（2）根据f(a)=a+2a−1=2a，求解即得.
【详解】（1）∵函数f(x)=x+2x−1，
∴当x=2时，f(2)=2+22−1=4；
（2）函数f(x)=x+2x−1中x≠1，
因为f(a)=2a，所以f(a)=a+2a−1=2a，
即a+2=2a(a−1)，解得a=−12或a=2；
所以a=−12或a=2.
【考点2：判断两个函数是否为同一函数】
【知识点：判断两个函数是否为同一函数】
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一函数，这是判断两函数是否为同一函数的依据．
1．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）下列函数表示同一个函数的是（ ）.
A．fx=x2x与gx=x0B．fx=x−1⋅x+1与 gx=x−1x+1
C．y=−2x3与y=x−2xD．fx=x−3与gx=x−32
【答案】D
【分析】根据相同函数的概念判定即可.
【详解】对于A项，fx=x2x=xx=1,x>0−1,x<0，显然与gx=x0=1对应关系不同，但定义域相同均为x≠0，故A错误；
对于B项，由题意得x−1≥0x+1≥0，即fx的定义域为x≥1，x−1x+1≥0，即gx的定义域为x≥1和x≤−1，两函数定义域不同，故B错误；
对于C项，x≤0,y=−2x3=−x⋅−2x≠x⋅−2x，即两函数对应关系不同，故C错误；
对于D项，gx=x−32=x−3=fx，两函数定义域与对应关系均相同，故D正确.
故选：D
2．（2023·全国·高一假期作业）下列各函数中，与函数g(x)=x2表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=|x|B．f(x)=±|x|
C．f(x)=x2|x|D．f(x)=x0⋅|x|
【答案】A
【分析】根据函数的定义域以及解析式结合选项逐一判断.
【详解】g(x)=x2=x，故gx的定义域为R,
对于A，fx的定义域为R，且解析式与gx相同，故为同一个函数，
对于B,fx≠gx，故不是同一个函数，
对于C,fx的定义域为xx≠0，而gx对定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，
对于D,fx的定义域为xx≠0，而gx对定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，
故选:A
3．（多选）（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．f(x)=x2−2x−1与g(s)=s2−2s−1B．f(x)=x与g(x)=xx
C．f(x)=x与g(x)=x(x>0)D．f(x)=x,x≥0−x,x<0与g(x)=x2
【答案】AD
【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案.
【详解】对于A，f(x)=x2−2x−1与g(s)=s2−2s−1的定义域都是R，对应关系相同，
值域相同，故f(x)=x2−2x−1与g(s)=s2−2s−1是同一函数，A正确；
对于B，f(x)=x与g(x)=xx的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误；
对于C，f(x)=x与g(x)=x(x>0)，前者的定义域为R，后者定义域为(0,+∞)，
故二者不是同一函数，C错误；
对于D，g(x)=x2=x=x,x≥0−x,x<0，与f(x)=x,x≥0−x,x<0的定义域以及对应关系都相同，
故二者是同一函数，D正确，
故选：AD
4．（多选）（2023春·甘肃白银·高二校考期末）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．fx=x2−4与gx=x−2⋅x+2B．fx=xx与g(x)=1,x≥0−1,x<0
C．fx=x+2与gt=3t3+2D．fx=x2−1x−1与gx=x+1
【答案】ABD
【分析】根据当两函数的定义域和对应关系对应相等时是同一个函数逐个分析判断即可
【详解】对于A，由x2−4≥0，得x≤−2或x≥2，所以f(x)的定义域为(−∞,−2]∪[2,+∞)，由x−2≥0x+2≥0，得x≥2，所以g(x)的定义域为[2,+∞)，
所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以A正确，
对于B，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)的定义域为R，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以B正确，
对于C，f(x)的定义域为R，g(t)的定义域为R，gt=3t3+2=t+2，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C错误，
对于D，f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，g(x)的定义域为R，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D正确，
故选：ABD
【考点3：函数的定义域及其求法】
【知识点：函数的定义域及其求法】
①常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
②对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
1．（2022秋·广西百色·高一统考期末）已知函数fx=4−x2x，则fx的定义域为（ ）
A．−2,2B．−2,0∪0,2
C．−2,2D．−2,0∪0,2
【答案】D
【分析】根据题意列式求解定义域即可.
【详解】由题意得：4−x2≥0x≠0，所以−2≤x≤2x≠0，
所以fx的定义域为−2,0∪0,2.
故选：D
2．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）函数fx=11−x2+x0的定义域是（ ）
A．−1,1B．−1,1
C．−1,0∪0,1D．−1,0∪0,1
【答案】D
【分析】根据函数定义域相关知识直接求解.
【详解】函数fx=11−x2+x0，
则1−x2＞0x≠0，即−1＜x＜1x≠0，即fx定义域是−1,0∪0,1.
故选：D
3．（2022秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数fx的定义域为x−2A．−1,2B．−2,2∪2,4C．−4,2∪2,8D．−4,8
【答案】A
【分析】根据零指数幂底数不为零以及抽象函数的定义域的求解方法得到结果.
【详解】已知函数fx的定义域为x−2则−2<2x≤4且x−2≠0
解得−1所以函数ℎx的定义域为−1,2.
故选：A.
4．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数fx的定义域为1,3，则函数gx=fx+1x−1的定义域为 ．
【答案】1,2
【分析】根据给定条件，利用函数g(x)有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答.
【详解】依题意，10，解得1所以函数g(x)的定义域为1,2.
故答案为：1,2
5．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）函数f(x)=−x2+4x+5+13−x+(x−2)0的定义域为 .
【答案】−1,2∪2,3∪3,5
【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可.
【详解】由题可得−x2+4x+5≥03−x≠0x−2≠0，解得−1≤x≤5且x≠2,x≠3；
∴fx的定义域为：−1,2∪2,3∪3,5．
故答案为：−1,2∪2,3∪3,5.
6．（2023·高一课时练习）函数f3x+1的定义域为1,7，则函数fx的定义域是 .
【答案】4,22
【分析】由f3x+1的定义域确定3x+1的取值范围，即可确定函数fx的定义域.
【详解】函数f3x+1的定义域为1,7，即1≤x≤7，得3x+1∈4,22，
所以函数fx的定义域为4,22，
故答案为：4,22
7．（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数f2x的定义域为[12,2]，则函数fx2的定义域为 .
【答案】−2,−1∪1,2
【分析】由x∈[12,2]，可知1≤2x≤4，再解关于x的不等式1≤x2≤4即可.
【详解】因为x∈[12,2]，即12≤x≤2，所以1≤2x≤4，所以1≤x2≤4，所以x∈−2,−1∪1,2.
故答案为：−2,−1∪1,2.
【考点4：函数的值域】
【知识点：函数的值域】
求函数值域的常用方法
1．（2023·全国·高三专题练习）函数y=x2−2x+3有（ ）
A．最小值2B．最小值2
C．最大值2D．最大值2
【答案】B
【分析】利用配方法及二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，y=x2−2x+3=x−12+2，
因为x−12+2≥2，
所以y=x2−2x+3=x−12+2≥2.
当x=1时，函数y=x2−2x+3取得最小值为2.
故选: B.
2．（2023·高一课时练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=3x2+4，值域为7,16的“孪生函数”共有（ ）
A．4个B．8个C．9个D．12个
【答案】C
【分析】根据函数值求出对应的两组x的值，x=±1和x=±2，可知定义域中至少含有1和−1中的一个数，至少含有2和−2中的一个数，利用列举法计数，得到“孪生函数”的个数.
【详解】解：令3x2+4=7,解得x=±1，令3x2+4=16，解得x=±2，
函数解析式为y=3x2+4，值域为7,16的“孪生函数”的定义域中至少含有1和−1中的一个数，至少含有2和−2中的一个数，可能是{−1，−2}，{−1，2}，{−1，−2，2}，{1，−2}，{1，2}，{1，−2，2}，{−1，1，−2}，{−1，1，2}，{−1，1，−2，2}，共9中不同的情况，
故选：C.
【点睛】本题考查函数新定义问题，本质上考查函数定义域和值域的理解，属基础题.
3．（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）若函数f（x）＝x2﹣8x+15的定义域为[1，a]，值域为[﹣1，8]，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，4）B．（4，7）C．[1，4]D．[4，7]
【答案】D
【分析】先根据值域确定函数自变量取值范围，再结合二次函数图象确定实数a的取值范围.
【详解】由f(x)=x2−8x+15=(x−4)2−1≥−1，所以a≥4，
由f(x)=x2−8x+15≤8得1≤x≤7，所以4≤a≤7
故选：D
【点睛】本题考查根据值域求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属中档题.
4．（多选）（2022秋·河北衡水·高一校考阶段练习）下列函数中，值域为0,+∞的是（ ）
A．y=xB．y=1x
C．y=x2D．y=1x−1
【答案】BD
【分析】根据函数直接分析值域即可.
【详解】对于A，y=x的值域为0,+∞，故A错误；
对于B，y=1x的值域为0,+∞，故B正确；
对于C，y=x2的值域为0,+∞，故C错误；
对于D，y=1x−1定义域x−1＞0,x＞1，即x−1＞0，则值域为0,+∞，故D正确.
故选：BD
5．（多选）（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）已知函数y=x2−2x+3的值域是[2,11]，则其定义域可能是（ ）
A．[0,4]B．[−1,1]C．[2,3]D．[−1,4]
【答案】AD
【分析】分别令x2−2x+3=2，x2−2x+3=11，解方程解得x，设定义域为M，根据图象得到−2,1⊆M或1,4⊆M，然后判断即可.
【详解】令x2−2x+3=2，解得x=1，令x2−2x+3=11，解得x=4或-2，
可作出函数图象如图：
设定义域为M，所以−2,1⊆M或1,4⊆M，故AD正确，BC错.
故选：AD.
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)=2x−5x−3的值域为[4,+∞)，则其定义域为 ．
【答案】x|3【分析】根据题意得到分式不等式，然后分类讨论，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】因为函数f(x)=2x−5x−3的值域为[4,+∞)，
所以2x−5x−3≥4，化简得：2x−7x−3≤0，
当2x−7=0时，即当x=72时，不等式2x−7x−3≤0成立；
当2x−7≠0时，即当x≠72时，
由2x−7x−3≤0⇒2x−7x−3<0⇒(x−3)(2x−7)<0⇒3综上所述：函数f(x)=2x−5x−3的定义域为：x|3故答案为：x|3【点睛】本题考查了已知函数的值域求定义域，考查了分式不等式的解法，考查了转化思想和数学运算能力.
7．（2023·全国·高三专题练习）求函数y=x8+1220−x0≤x≤20的值域为 .
【答案】5,3
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.
【详解】令t=20−x(0≤t≤25)，则x=20−t2，
∴y=20−t28+12t=−18(t2−4t−20)=−18(t−2)2+3
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为t=2，
∵0≤t≤25，所以该函数在t=2时取到最大值3，当t=25时，函数取得最小值5，
所以函数y=x8+1220−x0≤x≤20值域为y∈5,3.
故答案为：5,3
8．（2023·全国·高三专题练习）函数y=x+6−x的值域为
【答案】6,23
【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可.
【详解】由已知得函数y=x+6−x的定义域为0,6，
∵y=x+6−x，
∴y2=x+6−x2=6+2x6−x，
又∵x6−x=−x−32+9,x∈0,6
∴x6−x∈0,9，
∴6+2x6−x∈6,12，又y>0，
∴y∈6,23
故答案为：6,23.
9．（2023·高一校考课时练习）求下列函数的值域:
(1)y=2x+1x−3，
(2)y=x+4xx>0，
(3)y=−2x2+x+3，
(4)y=x+41−x
【答案】(1)−∞,2∪2,+∞
(2)4,+∞
(3)0,524
(4)−∞,5
【分析】（1）整理得y=2+7x−3，进而可得结果；
（2）利用基本不等式运算求解；
（3）整理得y=−2x−142+258，结合二次函数运算求解；
（4）换元设t=1−x，结合二次函数运算求解.
【详解】（1）由题意可得：y=2x+1x−3=2+7x−3，
因为7x−3≠0，则y≠2，
所以原函数的值域为−∞,2∪2,+∞.
（2）因为x>0，
则y=x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，
所以原函数的值域为4,+∞.
（3）令−2x2+x+3≥0，解得−1≤x≤32，
可得函数的定义域为−1,32，
因为y=−2x2+x+3=−2x−142+258，可得0≤y≤524
所以原函数的值域为0,524.
（4）设t=1−x，则x=1−t2t≥0，
所以原函数转化为y=−t2+4t+1t≥0，
因为函数y=−t2+4t+1的图象开口向下，对称轴方程为t=2∈0,+∞，
可知当t=2时，函数y=−t2+4t+1取到最大值ymax=5，
所以原函数的值域为−∞,5.
【考点5：函数解析式的求法】
【知识点：求函数解析式的四种方法】
1．（2023·全国·高三对口高考）已知二次函数fx满足f(2)=−1,f(1−x)=f(x)，且fx的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)=（ ）
A．−4x2+4x+7B．4x2+4x+7
C．−4x2−4x+7D．−4x2+4x−7
【答案】A
【分析】根据条件设二次函数为f(x)=ax−122+k(a≠0)，代入条件求解即可.
【详解】根据题意，由f(1−x)=f(x)得:f(x)图象的对称轴为直线x=12，
设二次函数为f(x)=ax−122+k(a≠0)，
因f(x)的最大值是8，所以a<0，当x=12时，f12=k=8 ，
即二次函数f(x)=ax−122+8(a≠0)，
由f(2)=−1得:f(2)=a2−122+8=−1，解得：a=−4，
则二次函数f(x)=−4x−122+8=−4x2+4x+7，
故选：A.
2．（2023·全国·高三对口高考）若二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1，则f(x)的表达式为（ ）
A．f(x)=−x2−x−1B．f(x)=−x2+x−1
C．f(x)=x2−x−1D．f(x)=x2−x+1
【答案】D
【分析】设fx=ax2+bx+c，a≠0，根据f0=1得到c=1，再根据fx+1−fx=2x得到a=1，b=−1，从而得到函数的解析式.
【详解】设fx=ax2+bx+c，a≠0，
∵f0=1，则c=1，fx=ax2+bx+1
又∵fx+1−fx=2x，
令x=0，则f1−f0=0，∴f1=1，即a+b+1=1，a+b=0，
令x=1，则f2−f1=2，f2=3，即4a+2b+1=3，2a+b=1，
∴a=1，b=−1，fx=x2−x+1.
故选：D.
3．（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）已知f1x=1x+1，则fx的解析式为（ ）
A．1x+1B．x+1xx≠−1
C．xx+1D．xx+1x≠0
【答案】D
【分析】利用换元法计算可得.
【详解】因为f1x=1x+1，令t=1x，则t≠0，x=1t，
所以ft=11t+1=tt+1，t≠0，
所以fx=xx+1x≠0.
故选：D
4．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知函数f1−xx=1x2−1x≠0，则fx的解析式为（ ）
A．fx=x2−2xB．fx=x2−x
C．fx=x2+xD．fx=x2+2x
【答案】D
【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.
【详解】因为f1−xx=1x2−1=(1x−1)2+2x−2=(1x−1)2+2(1x−1)，
所以f(x)=x2+2x.
故选：D.
5．（2023·高一课时练习）若函数y=fx对任意x∈R，均有fx+y=fx+fy，则下列函数可以为y=fx解析式的是（ ）
A．fx=x+1 B．fx=2x−1
C．fx=2x D．fx=x2+x
【答案】C
【分析】根据fx+y=fx+fy，即可结合选项逐一代入验证，即可求解.
【详解】对于A, fx+y=x+y+1，fx+fy=x+1+y+1，故fx+y≠fx+fy，故A错误，
对于B，fx+y=2x+y−1=2x+2y−1，fx+fy=2x−1+2y−1=2x+2y−2，故fx+y≠fx+fy，故B错误，
对于C, fx+y=2x+y=2x+2y，fx+fy=2x+2y故fx+y=fx+fy，故C正确，
对于D, fx+y=x+y2+x+y=x2+y2+2xy+x+y，fx+fy=x2+x+y2+y故fx+y≠fx+fy，故D错误，
故选：C
6．（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x)满足f(2x+1)=4x2+3，则f(x)= .
【答案】x2−2x+4
【分析】令t=2x+1,代入f(2x+1)=4x2+3，求出f(t)，即是f(x).
【详解】令t=2x+1,则x=t−12,
所以f(t)=4(t−12)2+3=t2−2t+4，
故f(x)=x2−2x+4，
故答案为：x2−2x+4.
7．（2023·高一课时练习）若函数f(x)满足方程2f(x)+f1x=2x,x∈R且x≠0，则：
（1）f(1)= ；（2）f(x)= ．
【答案】 23 4x2−23x(x∈R,x≠0)
【分析】令x=1可得f1；用1x替换x，再解方程组可得答案.
【详解】令x=1可得：2f1+f1=2，所以f1=23；
由2fx+f1x=2xx≠0①得，2f1x+fx=2x②，
联立①②可得：fx=4x2−23xx∈R,x≠0.
故答案为：①23；②fx=4x2−23xx∈R,x≠0.
8．（2023·江苏·高一假期作业）已知f(x)是一次函数，且ffx=16x−25，求f(x).
【答案】fx=4x−5或fx=−4x+253
【分析】利用待定系数法求解.
【详解】设fx=kx+b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴k2=16kb+b=−25，
∴k=4b=−5或k=−4b=253，
∴fx=4x−5或fx=−4x+253.
9．（2023·江苏·高一假期作业）已知fx+2f1x=xx≠0，求fx.
【答案】fx=23x−x3x≠0
【分析】用方程组的方法求解即可.
【详解】因为fx+2f1x=xx≠0，
用1x替换x得f1x+2fx=1xx≠0，
消去f1x，解得3fx=2x−x，即fx=23x−x3x≠0.
所以函数f(x)的解析式为fx=23x−x3x≠0.
【考点6：分段函数的解析式及图象】
【知识点：分段函数的解析式及图象】
①分段函数求值的解题思路：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
②求分段函数自变量的值或范围的方法：求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围.
1．（2023·高一单元测试）已知f(x)=x−5,(x≥6)f(x+1),(x<6)，则f(3)= .
【答案】1
【分析】由分段函数解析式直接求解即可.
【详解】因为f(x)=x−5,(x≥6)f(x+1),(x<6)，所以f(3)=f(3+1)=f(4+1)=f(5+1)=6−5=1，
故答案为：1.
2．（2022秋·高一单元测试）已知函数fx=4x2−1，x≤0−2x， x>0，则ff2= .
【答案】63
【分析】先计算f2的值，再计算ff2的值.
【详解】因为f2=−4，
所以ff2=f(−4)=4×16−1=63.
故答案为：63.
3．（2022秋·江苏淮安·高一统考期中）已知函数f(x)=x+2,x>0x2,x≤0，若f(k)=94，求实数k= .
【答案】−32或14
【分析】分k>0和k≤0两种情况求解即可.
【详解】当k>0时，由f(k)=94，得k+2=94，解得k=14，
当k≤0时，由f(k)=94，得k2=94，解得k=32（舍去），或k=−32，
综上，k=−32或k=14
故答案为：−32或14
4．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）设函数f(x)=−ax+4,x【答案】[0,2]
【分析】根据题意分a<0，a=0，02四种情况结合二次函数的性质讨论即可》
【详解】①当a<0时，−a>0，故函数f(x)在−∞,a上单调递增，因此f(x)不存在最小值；
②当a=0时，f(x)=4,x<0x−22,x≥0，
当x≥0时，f(x)min=f(2)=0<4，故函数f(x)存在最小值；
③当0当xf(a)=−a2+4；当x≥a时，f(x)=(x−2)2≥f(2)=0.
若−a2+4<0，则f(x)不存在最小值，故−a2+4≥0，解得−2≤a≤2.
此时0④当a>2时，−a<0，故函数f(x)在−∞,a上单调递减，
当xf(a)=−a2+4；当x≥a时，f(x)=(x−2)2≥f(a)=(a−2)2.
因为(a−2)2−(−a2+4)=2a2−4a=2a(a−2)>0，所以(a−2)2>−a2+4，
因此f(x)不存在最小值.
综上，a的取值范围是0≤a≤2.
故答案为：[0,2]
【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.
5．（2023春·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）已知函数fx=x+6,x【答案】[−10,6]
【分析】先求出x【详解】当x当x≥a时，f(x)=x2−4x=(x−2)2−4为顶点在(2,−4)开口向上的抛物线，对称轴x=2.
i.若a≤2，则二次函数的最小值为−4.
要使f(x)的值域为R，只需：6+a≥−4，解得：a≥−10.
所以−10≤a≤2；
ii.若a>2，则二次函数在a,+∞上单调递增，所以最小值为a2−4a.
要使f(x)的值域为R，只需：6+a≥a2−4a，解得：−1≤a≤6.
所以2综上所述：实数t的取值范围是[−10,6].
故答案为：[−10,6]
6．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）已知函数fx=x2+x,x≥0−3x,x<0，若afa－f−a>0，则实数a的取值范围为 .
【答案】−∞,−2∪2,+∞
【分析】讨论a=0，a>0和a<0三种情况，分别解出a的范围，最后求并集即可.
【详解】当a=0时，显然不成立；
当a>0时，不等式afa－f−a>0可化为a2+a−3a>0，解得a>2；
当a<0时，不等式afa－f−a>0可化为−a2−2a<0，解得a<−2．
综上所述，a的取值范围为a>2或a<−2
故答案为：−∞,−2∪2,+∞
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝−x2−3x+2,x<−12x−3,x≥−1若f（a）＝4，则实数a的值是 ；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是 ．
【答案】 －2或5 −3,−1∪4,+∞
【分析】由分段函数函数值求解参数及分类讨论解不等式即可；
【详解】若f（a）＝4，则a<−1−a2−3a+2=4或a≥−12a−3=4解得a=−2或a=5.
若f(a)≥2，则a<−1−a2−3a+2≥2或a≥−12a−3≥2解得−3≤a<−1或a≥4，
∴a的取值范围是−3,−1∪4,+∞．
故答案为：－2或5；−3,−1∪4,+∞
8．（2023·全国·高三专题练习）设fx=x+2,x>0x−2,x≤0，则不等式fxA．−∞,0∪2,+∞
B．R
C．0,2
D．−∞,0
【答案】A
【分析】分别在x>0和x≤0的情况下解一元二次不等式即可.
【详解】当x>0时，由fx2，∴x>2；
当x≤0时，由fx∴不等式fx故选：A.
9．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知函数fx=0,x<1,x+1,1≤x<2,−x2+5,x≥2,若ffa=1，则a=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】先求出fx在各段上的值域，根据ffa=1求得fa的值，进一步求得a.
【详解】当x<1时，fx的值域为0，
当1≤x<2时，fx的值域为2,3；
当x≥2时，fx的值域为−∞,1.
要使ffa=1，则fa=2，所以a+1=2，解得a=1.
故选：D.
10．（多选）（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）已知函数fx=x+2,x≤−1x2,−1A．f0=2B．fx的值域为−∞,4
C．fx<1的解集为−∞,−1∪−1,1D．若fx=3，则x=3或1
【答案】BC
【分析】将x=0代入fx=x2可判断A；分别在x≤−1和−1【详解】对于A，f0=02=0，A错误；
对于B，当x≤−1时，fx=x+2≤−1+2=1；当−1∴fx的值域为−∞,4，B正确；
对于C，当x≤−1时，fx=x+2<1，解得：x<−1；
当−1∴fx<1的解集为−∞,−1∪−1,1，C正确；
对于D，当x≤−1时，fx=x+2=3，解得：x=1（舍）；
当−1∴fx=3的解为x=3，D错误.
故选：BC.
11．（2022秋·福建漳州·高一漳州三中校考期中）已知函数fx=2x,x<0−x,0≤x<212x−3,x≥2．

(1)求f0，ff2；
(2)若fm=−1，求m的值；
(3)在给定的坐标系中，作出函数fx的图象．
【答案】(1)f0=0,ff2=−1
(2)m的值为−2或1或4
(3)图见详解
【分析】（1）根据分段函数fx的解析式求解．
（2）对m的范围分三种情况讨论，分别求出对应的m的值即可．
（3）根据分段函数fx的解析式，分别画出每一段的图象即可．
【详解】（1）因为fx=2x,x<0−x,0≤x<212x−3,x≥2，
所以f0=−0=0，
由f2=12×2−3=−2，
所以ff2=f−2=2−2=−1；
（2）当m<0时，fm=2m=−1⇒m=−2，
当0≤x<2时，fm=−m=−1⇒m=1；
当x≥2时，fm=12m−3=−1⇒m=4；
综上所述m的值为−2或1或4；
（3）函数fx的图像，如图所示，
函数
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
x
0
1
2
y
1
2
1
方法
步骤
观察法
第一步 观察函数中的特殊函数；
第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
分离常数法
第一步 观察函数类型，型如；
第二步 对函数变形成形式；
第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.
配方法
第一步 将二次函数配方成；
第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.
换元法
第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
基本不等式法
第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.