人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数随堂练习题，共18页。

【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·高一单元测试）计算：（ ）
A．10B．1C．2D．
2．(2023·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
二、多选题
3．(2023·全国·高一单元测试）若，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．(2023·广西贺州·高一期末）___．
5．(2023·云南红河·高一期末）方程的解是_________．
6．(2023·湖南·高一课时练习）计算：________.
7．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）计算：____________.
8．(2023·全国·高一课时练习），则___________.
四、解答题
9．(2023·湖南·高一课时练习）利用换底公式求值：
(1)；
(2)．
10．(2023·全国·高一课时练习）求证:.
11．(2023·全国·高一课时练习）求证:.
12．(2023·全国·高一单元测试）计算
(1)
(2).
13．(2023·全国·高一课时练习）已知，（，且）．
(1)求的值；
(2)若，，且，求的值．
14．(2023·全国·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，若，求的值.
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为（参考数据：，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
3．(2023·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）若，则的最小值为________．
4．(2023·全国·高一单元测试）化简____________
5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________．
6．(2023·全国·高一单元测试）已知二次函数的最小值为，则实数______，的值为______．
7．(2023·全国·高一课时练习）心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）______．
8．(2023·上海·高一单元测试）已知，若，则___________.
9．(2023·全国·高一专题练习）设实数且，已知函数，则__________．
四、解答题
10．(2023·全国·高一专题练习）计算
(1)
(2)
11．(2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
12．(2023·全国·高一课时练习）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；
(2)计算的值；
(3)因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注：）
4.3.2 对数的运算（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·高一单元测试）计算：（ ）
A．10B．1C．2D．
答案：B
分析：应用对数的运算性质求值即可.
【详解】.
故选：B
2．(2023·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
答案：A
分析：由换底公式对原式变型即可求解.
【详解】∵
,
∴，∴．
故选：A．
二、多选题
3．(2023·全国·高一单元测试）若，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
分析：根据对数运算求得正确答案.
【详解】依题意，
由，得，
所以，且，
即，．
故选：AB
三、填空题
4．(2023·广西贺州·高一期末）___．
答案：
分析：根据对数的运算法则计算可得；
【详解】解：；
故答案为：
5．(2023·云南红河·高一期末）方程的解是_________．
答案：
分析：根据对数的运算法则和运算性质，即可求解.
【详解】由对数的运算性质，可得，可得，解得．
故答案为：.
6．(2023·湖南·高一课时练习）计算：________.
答案：
分析：利用换底公式化简可得结果.
【详解】原式.
故答案为：.
7．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）计算：____________.
答案：1
分析：利用对数运算法则及换底公式运算即可
【详解】，
故答案为：1
8．(2023·全国·高一课时练习），则___________.
答案：
分析：利用对数的性质，及指数式与对数式的互化求出x即可计算作答.
【详解】因，则，即，解得，
所以.
故答案为：
四、解答题
9．(2023·湖南·高一课时练习）利用换底公式求值：
(1)；
(2)．
答案：(1)；
(2).
分析：应用换底公式，将（1）换为，（2）换为的形式，即可求值.
(1)
由.
(2)
由.
10．(2023·全国·高一课时练习）求证:.
答案：见解析
【解析】利用换底公式，证得等式成立.
【详解】∵左边,右边,∴左边=右边,得证.
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查推理论证能力，属于基础题.
11．(2023·全国·高一课时练习）求证:.
答案：见解析
【解析】利用换底公式，证得等式成立.
【详解】左边右边,得证.
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查推理论证能力，属于基础题.
12．(2023·全国·高一单元测试）计算
(1)
(2).
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据对数的运算性质求解，
（2）根据对数的运算性质和换底公式求解.
（1）
；
（2）
原式＝.
13．(2023·全国·高一课时练习）已知，（，且）．
(1)求的值；
(2)若，，且，求的值．
答案：(1)12
(2)
分析：（1）根据指数与对数的关系将对数式化为指数式，再根据指数的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算求出，再根据乘法公式求出，即可得解.
（1）
解：由，得，，
因此．
（2）
解：∵，∴，即，因此，
于是，
由知，从而，
∴．
14．(2023·全国·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
答案：(1)0
(2)3
(3)1
分析：（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；
（2）提公因式，逐步化简即可求解；
（3）逐步将原式化成只含和形式.
（1）
方法一：（直接运算）原式．
方法二：（拆项后运算）原式
．
（2）
原式
．
（3）
原式
．
15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，若，求的值.
答案：
分析：根据对数式与指数式互化公式得到，解方程求出答案.
【详解】设，，，
则，，，
∴，
整理得，
又，，∴.
故答案为：
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为（参考数据：，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据指数式与对数式的互化以及对数的运算法则即可求出结果．
【详解】，，
，，
，
．
故选：B
二、多选题
2．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
分析：利用对数运算的公式计算即可.
【详解】由换底公式得：，，，
其中，，故
故选：ABD.
三、填空题
3．(2023·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）若，则的最小值为________．
答案：16
分析：由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以.
所以
所以.
当且仅当时取等.
故答案为：16
4．(2023·全国·高一单元测试）化简____________
答案：2
分析：结合、换底公式化简计算即可
【详解】原式
.
故答案为：2.
5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________．
答案：2022
分析：化简计算得，即得解.
【详解】解：.
.
所以
故答案为：2022
6．(2023·全国·高一单元测试）已知二次函数的最小值为，则实数______，的值为______．
答案：
分析：对于题空①，根据开口向上的二次函数，自变量取对称轴对应的值达到最小值，解得的值；
对于题空②，把的值代入表达式，根据对数的运算，化简求值即可.
【详解】因为的最小值为3，所以，
，
即，
所以，
解得或（舍去），所以，
故．
故答案为：①；②.
7．(2023·全国·高一课时练习）心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）______．
答案：0.021
分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将，带入即可得出结论.
【详解】由题意可知，
所以，，
所以，
解得．
故答案为：0.021.
8．(2023·上海·高一单元测试）已知，若，则___________.
答案：8
分析：利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．
【详解】解：由，且
所以是方程的两根，
解得或，
又，所以，即，又
从而，且，则，．
所以.
故答案为：8.
9．(2023·全国·高一专题练习）设实数且，已知函数，则__________．
答案：1
分析：根据题意计算，进而根据求解即可
【详解】，
而，则；
故答案为：1
四、解答题
10．(2023·全国·高一专题练习）计算
(1)
(2)
答案：(1)
(2)1
分析：（1）根据对数的运算法则化简，即可求得答案;
（2）根据对数的运算法则结合完全平方公式化简，即可求得答案;
（1）
;
（2）
.
11．(2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
答案：(1)
(2)
分析：（1）、（2）结合对数函数的定义与性质、对数运算求得不等式的解集.
（1）
由题且，且，得且，
，则，由，
，
化简得，
则或，解得或，
故不等式解集为.
（2）
由题，
则或，解得.
故不等式解集为.
12．(2023·全国·高一课时练习）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；
(2)计算的值；
(3)因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注：）
答案：(1)答案见解析
(2)
(3)位数为6689．
分析：(1)根据指数与对数之间的转换证明即可；
(2)根据对数的运算性质将真数转化为指数幂的形式再化简求值，亦可通过换底公式化简求值；
(3)通过对数的运算公式分析的值的范围进而确定其位数.
（1）
方法一：设，所以，
所以，
所以．
方法二：设，所以，所以，
所以，所以，
所以．
方法三：因为，，
所以，所以．
（2）
方法一：．
方法二：根据换底公式可得
．
（3）
方法一：设，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以的位数为6689．
方法二：设，所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以N的位数为6689，即的位数为6689．