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人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课时练习
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课时练习，共38页。
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
【自主学习】
一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
二、如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件.
思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p⇔q，则p是q的充要条件．
③若p⇒q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
④若p eq \(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若p eq \(⇒,/)q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
三．“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有 ，即p是s的充要条件．
【当堂达标基础练】
1.下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
2.已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
【当堂达标提升练】
1.已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
2.已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3.（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（ ）
A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
4.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
5.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【当堂达标素养练】
1.已知，．
(1)是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
2.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
3.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
4.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
5.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
6.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
7.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)0.
8.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件．
9.已知方程x2+2k−1x+k2=0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
1.4.2 充要条件导学案
【学习目标】
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
【自主学习】
一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
p⇒q q⇒p p⇔q 充要
二、如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件.
充要
思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p⇔q，则p是q的充要条件．
③若p⇒q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
④若p eq \(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若p eq \(⇒,/)q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
三．“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有 ，即p是s的充要条件．
p⇔s
【当堂达标基础练】
1.下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
解:（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q eq \(⇒,/)p，所以p不是q的充要条件。
（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p ⇔ q，所以p是q的充要条件。
（3）因为当xy >0时，x>0,y>0不一定成立，所以p eq \(⇒,/)q,所以p不是q的充要条件。
（4）若，则，即；若，则，即，故，
所以p是q的充要条件．
2.已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切.
（1）充分性( ):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.
若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，
连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线
l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共
点P.所以直线l与 O 相切.
（2）必要性():若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
充分性: AC=BD梯形ABCD为等腰梯形.
必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD
【当堂达标提升练】
1.已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
【答案】B
【详解】对于A选项，，解得：或，
所以，但，
故为的充分不必要条件，故A错误；
B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确；
C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误；
D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，
但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等，
例如：中，，斜边，
中，，则斜边，
故为的必要不充分条件．
故选：B．
2.已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】为充要条件．
3.（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（ ）
A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
【答案】BD
【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件；
对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；
对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件；
对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．
4.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
[解析]
(1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零，因此q⇒p，但p⇒q，p是q的必要
不充分条件；
(2)，|x＋y|＝|x|＋|y|⇔(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2⇔x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2⇔xy＝|xy|⇔ xy≥0，所以p是q的充要条件；
(3)，方程x2－x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－eq \f(1,4)，所以p⇒q但q⇒p，p是q的充分不必要条件；
(4)，|x－1|＞2⇒x＞3或x＜－1，所以p⇒q但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．
5.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
[解析]
(1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．
6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】－2≤a≤2
【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，即AB，
可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内
∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.
【当堂达标素养练】
1.已知，．
(1)是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）∵
∴要使是的充分条件，需使，
即，解得，
∴存在实数，使是的充分条件．
（2）要使是的必要条件，需使．
当时，，解得，满足题意；.
当时，，解得，
要使，则有，解得，
∴，
综上得，当实数时，是的必要条件．
2.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
【答案】
（1）a=0时适合.
（2）当a≠0时，显然方程没有零根，
若方程有两异号的实根，则必须满足；
若方程有两个负的实根，则必须满足
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1
3.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
②③，并注意到，得．④
将④代入③，得⑤
即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．
4.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
【答案】（1）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
。
（2）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
5.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
【答案】（1）（充分性)由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4
设f(x)=x2+ax+b，则f(x)的图象是开口向上的抛物线
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
即有4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线
∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根
∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2
6.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
【证明】①充分性：因为a＋b＝1，所以b＝1-a,
所以a3+b3+ab−a2−b2=a3+1−a3+a1−a−a2−1−a2
=a3+1−3a+3a2−a3+a−a2−a2−1+2a−a2=0,即a3+b3+ab−a2−b2=0；
②必要性：因为a3+b3+ab−a2−b2=0，所以a+ba2−ab+b2−a2−ab+b2=0,
所以a2−ab+b2a+b−1=0，因为ab≠0，所以a，b均不为0，所以a2−ab+b2≠0，
所以a+b−1=0，即a+b=1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
7.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)0.
【证明】法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)必要性：由eq \f(1,x)y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以eq \f(1,x)0.
法二：eq \f(1,x)y⇔y－x<0，故由eq \f(y－x,xy)<0⇔xy>0.
所以eq \f(1,x)0，即eq \f(1,x)0.
8.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件．
[解析] ①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－eq \f(1,2)，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2+2x+1=0有实根的充要条件是
判别式Δ≥0，
即4－4a≥0，从而a≤1.
设方程ax2+2x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(2,a)，x1x2＝eq \f(1,a).
(Ⅰ)方程ax2+2x+1=0有一负根一正根的充要条件为a≤11a<0,
(Ⅱ)方程ax2+2x+1=0有两个负根的充要条件为a≤1−2a<01a>0⟹0综上所述，方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
9.已知方程x2+2k−1x+k2=0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【解析】方程x2+2k−1x+k2=0，有两个大于1的实数根x1,x2
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,x1－1x2－1>0，,x1－1＋x2－1>0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,x1x2－x1＋x2＋1>0，,x1＋x2－2>0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,k2＋2k－1＋1>0，,－2k－1－2>0))⇔k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
【自主学习】
一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
二、如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件.
思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p⇔q，则p是q的充要条件．
③若p⇒q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
④若p eq \(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若p eq \(⇒,/)q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
三．“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有 ，即p是s的充要条件．
【当堂达标基础练】
1.下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
2.已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
【当堂达标提升练】
1.已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
2.已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3.（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（ ）
A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
4.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
5.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【当堂达标素养练】
1.已知，．
(1)是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
2.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
3.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
4.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
5.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
6.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
7.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)
8.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件．
9.已知方程x2+2k−1x+k2=0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
1.4.2 充要条件导学案
【学习目标】
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
【自主学习】
一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
p⇒q q⇒p p⇔q 充要
二、如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件.
充要
思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p⇔q，则p是q的充要条件．
③若p⇒q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
④若p eq \(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若p eq \(⇒,/)q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
三．“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有 ，即p是s的充要条件．
p⇔s
【当堂达标基础练】
1.下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
解:（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q eq \(⇒,/)p，所以p不是q的充要条件。
（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p ⇔ q，所以p是q的充要条件。
（3）因为当xy >0时，x>0,y>0不一定成立，所以p eq \(⇒,/)q,所以p不是q的充要条件。
（4）若，则，即；若，则，即，故，
所以p是q的充要条件．
2.已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切.
（1）充分性( ):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.
若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，
连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线
l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共
点P.所以直线l与 O 相切.
（2）必要性():若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
充分性: AC=BD梯形ABCD为等腰梯形.
必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD
【当堂达标提升练】
1.已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
【答案】B
【详解】对于A选项，，解得：或，
所以，但，
故为的充分不必要条件，故A错误；
B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确；
C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误；
D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，
但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等，
例如：中，，斜边，
中，，则斜边，
故为的必要不充分条件．
故选：B．
2.已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】为充要条件．
3.（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（ ）
A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
【答案】BD
【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件；
对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；
对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件；
对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．
4.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
[解析]
(1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零，因此q⇒p，但p⇒q，p是q的必要
不充分条件；
(2)，|x＋y|＝|x|＋|y|⇔(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2⇔x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2⇔xy＝|xy|⇔ xy≥0，所以p是q的充要条件；
(3)，方程x2－x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－eq \f(1,4)，所以p⇒q但q⇒p，p是q的充分不必要条件；
(4)，|x－1|＞2⇒x＞3或x＜－1，所以p⇒q但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．
5.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
[解析]
(1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．
6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】－2≤a≤2
【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，即AB，
可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内
∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.
【当堂达标素养练】
1.已知，．
(1)是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）∵
∴要使是的充分条件，需使，
即，解得，
∴存在实数，使是的充分条件．
（2）要使是的必要条件，需使．
当时，，解得，满足题意；.
当时，，解得，
要使，则有，解得，
∴，
综上得，当实数时，是的必要条件．
2.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
【答案】
（1）a=0时适合.
（2）当a≠0时，显然方程没有零根，
若方程有两异号的实根，则必须满足；
若方程有两个负的实根，则必须满足
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1
3.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
②③，并注意到，得．④
将④代入③，得⑤
即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．
4.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
【答案】（1）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
。
（2）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
5.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
【答案】（1）（充分性)由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4
设f(x)=x2+ax+b，则f(x)的图象是开口向上的抛物线
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
即有4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线
∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根
∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2
6.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
【证明】①充分性：因为a＋b＝1，所以b＝1-a,
所以a3+b3+ab−a2−b2=a3+1−a3+a1−a−a2−1−a2
=a3+1−3a+3a2−a3+a−a2−a2−1+2a−a2=0,即a3+b3+ab−a2−b2=0；
②必要性：因为a3+b3+ab−a2−b2=0，所以a+ba2−ab+b2−a2−ab+b2=0,
所以a2−ab+b2a+b−1=0，因为ab≠0，所以a，b均不为0，所以a2−ab+b2≠0，
所以a+b−1=0，即a+b=1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
7.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)
【证明】法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)
所以eq \f(1,x)
法二：eq \f(1,x)
所以eq \f(1,x)
8.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件．
[解析] ①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－eq \f(1,2)，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2+2x+1=0有实根的充要条件是
判别式Δ≥0，
即4－4a≥0，从而a≤1.
设方程ax2+2x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(2,a)，x1x2＝eq \f(1,a).
(Ⅰ)方程ax2+2x+1=0有一负根一正根的充要条件为a≤11a<0,
(Ⅱ)方程ax2+2x+1=0有两个负根的充要条件为a≤1−2a<01a>0⟹0
9.已知方程x2+2k−1x+k2=0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【解析】方程x2+2k−1x+k2=0，有两个大于1的实数根x1,x2
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,x1－1x2－1>0，,x1－1＋x2－1>0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,x1x2－x1＋x2＋1>0，,x1＋x2－2>0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,k2＋2k－1＋1>0，,－2k－1－2>0))⇔k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
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