人教A版 (2019)1.4 充分条件与必要条件导学案

1.4　充分条件与必要条件

1.4.1  充分条件与必要条件

【学习目标】

【自主学习】

一．充分条件与必要条件的概念

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个     条件．

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个       条件．

注意：充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．

二．充分条件、必要条件与集合的关系

设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}

【小试牛刀】

思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

（1）若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　 　)

（2）若q是p的必要条件，则p是q的充分条件(　 　)

（3）若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．(　  　)

（4）q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(　　)

【经典例题】

题型一  充分条件、必要条件的判定

点拨：定义法判断充分条件、必要条件

1.确定谁是条件，谁是结论；

2.尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；

3.尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。

例1：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。

（4）

（5）若a=b，则ac=bc。

（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。

【跟踪训练】1 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。

（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。

（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。

（5）若ac=bc，则a=b

（6）若xy为无理数，则x，y为无理数

题型二　充分条件、必要条件求参数的范围

点拨：利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围

1.化简p，q两命题；

2.根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；

3.利用集合间的关系建立不等式；

4.求解参数范围.

例2　已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

【跟踪训练】2 是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由．

【当堂达标】

1.(多选)使ab>0成立的充分条件是(   )

A.a>0，b>0     B.a＋b>0

C.a<0，b<0     D.a>1，b>1

2.设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　)

A．充分条件                       B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件       D．既不充分又不必要条件

3.设x∈R，则x>2的一个必要条件是(　　)

A．x>1                             B．x<1

C．x>3                             D．x<3

4.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)

A．充分条件                         B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件     D．无法判断

5.若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的   条件．(填必要、不必要)

6.已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．

【课堂小结】

充分条件、必要条件的判断方法

1.定义法：直接利用定义进行判断．

2.等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．

3.利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．

【参考答案】

【自主学习】

⇒ ⇏ 充分　必要 充分　必要

【小试牛刀】

× √ √ √

【经典例题】

例1 （1）这是平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。

（2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。

（3）这是一条菱形的性质定理， p⇒q，所以p是q的充分条件。

（4）由于(-1)2  =1，但是-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件。

（5）由等式的性质知， p⇒q，所以p是q的充分条件。

（6）p⇏q，所以p不是q的充分条件。

【跟踪训练】1

（1）这是平行四边形的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。

（2）这是三角形相似的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。

（3）如图，对角线垂直，但不是菱形，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。

（4）显然p⇒q，所以 q是p的必要条件。

（5）p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。

（6）p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。

例2  解　由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．

由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为p⇒q，所以A⊆B，

所以解得－≤a<0，

所以实数a的取值范围是.

【跟踪训练】2  解　由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.

令A＝{x|x>2或x<－1}，

由4x＋p<0，得B＝.

由题意得B⊆A，即－≤－1，即p≥4，

此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件．

【当堂达标】

1.ACD 解析：因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，

所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件.

2.B 解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.

3.A 解析：因为x>2⇒x>1，所以选A.

4. A解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．

∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．

5.不必要

6.由已知可得

A＝＝， B＝{x|x≥－2m}．

因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，

所以－2m≤－，所以m≥，即m的取值范围是7.(1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}

由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}．

所以m≤1.故m的取值范围为{m|m≤1}．