初中数学11.2.2 三角形的外角教案及反思

这是一份初中数学11.2.2 三角形的外角教案及反思，共7页。教案主要包含了直接判断，类比验证，实际运用，拓展延伸，问题引入，教学建议，对应训练，随堂训练等内容，欢迎下载使用。


解题大招一 用三角形外角的性质进行计算
用三角形外角的性质解题时，关键是确定相关的角是哪个三角形的外角，再准确找出与之不相邻的两个内角，根据条件进行计算．
如图，点D在△ABC的AB边的延长线上，∠A＝80°，∠CBD＝120°，则∠C＝40°.
解析：∵∠CBD是△ABC的外角，∠A＝80°，∠CBD＝120°，∴∠C＝∠CBD－∠A＝120°－80°＝40°，故答案为40.
例2 将含30°角的直角三角板(∠3＝30°)和直尺按如图所示的方式叠放在一起，已知∠1＝80°，则∠2＝（ C ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
解析：∵∠1＝∠2＋∠3，∴∠2＝∠1－∠3＝80°－30°＝50°.故选C.
例3 如图为商场某品牌椅子的侧面图，AF与BD相交于点C，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝（ A ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
分析：由平行线的性质可得∠D＝∠ABD＝50°，再利用三角形外角的性质可求得∠DCE的度数，结合对顶角相等即可得∠ACB的度数．
解析：∵DE∥AB，∴∠D＝∠ABD＝50°.∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角，∴∠DCE＝∠DEF－∠D＝120°－50°＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°.故选A.
例4 (教材P17习题T11变式题)如图，在△ABC中，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B＝25°，∠E＝36°，则∠BAC＝97°；
(2)若∠BAC＝100°，且∠E＝2∠B，求∠E的度数．
分析：(1)由三角形外角的性质可求得∠DCE＝61°，再由角平分线的定义可求得∠ACD＝122°，再次利用三角形外角的性质即可求∠BAC的度数；
(2)由三角形的外角性质可得∠DCE＝∠B＋∠E，再由角平分线的定义可得∠ACE＝∠B＋∠E，再由三角形的外角性质可得∠E＋∠ACE＝100°，从而可求解．
解：(1)解析：∵∠B＝25°，∠E＝36°，∠DCE是△BCE的外角，∴∠DCE＝∠B＋∠E＝61°.∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACD＝2∠DCE＝122°.∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝97°.
(2)∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠DCE＝∠B＋∠E.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠DCE＝∠B＋∠E.
∵∠BAC是△ACE的外角，∴∠BAC＝∠E＋∠ACE.
又∠BAC＝100°，∠E＝2∠B，
∴100°＝2∠B＋∠B＋2∠B，解得∠B＝20°，∴∠E＝2∠B＝40°.
解题大招二 用三角形外角的性质进行证明
三角形外角的性质揭示的是角之间的和差关系，其本质上是对三角形内角和定理进行演绎从而得到的推论，因此我们在推理论证时进行角度转化又多了一种手段，可以据此简化推理过程．
例5 如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线．求证：∠BED＝90°－eq \f(1,2)∠C.
分析：
证明：∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC，∠ABE＝eq \f(1,2)∠ABC，
∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝eq \f(1,2)(∠BAC＋∠ABC)＝eq \f(1,2)(180°－∠C)＝90°－eq \f(1,2)∠C.
例6 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠ABC的平分线与外角∠EAC的平分线交于点D.
(1)求证：AD∥BC；
(2)若∠BAC＝36°，求∠ADB的度数．
分析：(1)先根据角平分线的定义及三角形外角的性质得到∠C＝∠CAD，再根据平行线的判定定理即可得证；
(2)先根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠C＝72°，然后根据角平分线的定义得到∠CBD＝36°，最后根据平行线的性质即可得解．
(1)证明：由三角形外角的性质，得∠EAC＝∠ABC＋∠C.∵∠ABC＝∠C，∴∠EAC＝2∠C.
∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠CAD，∴∠C＝∠CAD，∴AD∥BC.
(2)解：∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠BAC)＝72°.
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝eq \f(1,2)∠ABC＝36°.又AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD＝36°.
解题大招三 推论“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”的运用
如图，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(∠ACD＝∠A＋∠B)完成下列填空：
(1)∠ACD>∠A(填“<”或“>”)；
(2)∠ACD>∠B(填“<”或“>”)．
因此，我们还可以得出这样的结论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
几何符号语言：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.
例7 如图，点D为△ABC的边BC上的一点，且∠ADC＝∠ACD.证明：∠ACB>∠B.
证明：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC>∠B.∵∠ADC＝∠ACD，∴∠ACD>∠B，即∠ACB>∠B.
例8 如图，在绿茵场上，某足球队员在O处受到阻挡需要传球．请帮他做出选择，传给在A处的球员还是B处的球员(点A，B，D在一条直线上)，其射门不易射偏(射门角度越大，越有利于进球)？请说明理由．
解：应传给在B处的球员．理由：∵∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD＞∠A，故位于B处的球员射门角度更大，故应传给在B处的球员．
培优点一 利用三角形外角的性质探究“飞镖”图问题
例1 阅读下列材料，并完成相应的任务．
“飞镖”图的性质和应用
如图①，我们把四边形ABDC称为“飞镖图”图案，该图案有这样一个性质：
∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.
下面是该性质的证明过程：
证明：如图②，连接AD并延长到点E.∵∠1是△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠BAD(根据1)．∵∠2是△ACD的外角，∴∠2＝∠C＋∠CAD，∴∠BDC＝∠1＋∠2＝∠B＋∠BAD＋∠CAD＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.
任务：
(1)【直接判断】 填空：材料中的根据1是指三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
(2)【类比验证】 你还能想出其他解法吗？请写出解答过程．
(3)【实际运用】 一个零件的形状如图③所示，按规定∠A应等于110°才合格，经检验∠B＝18°，∠C＝20°，∠BDC＝145°，那么这个零件不合格．(填“合格”或“不合格”)
(4)【拓展延伸】 请你应用材料中的方法，探究图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
分析：(1)根据三角形外角的性质得出∠1＝∠B＋∠BAD；
(2)延长CD交AB于点E，根据三角形外角的性质进行推理即可；
(3)求出∠A的度数与110°比较即可判断；
(4)通过仿照材料做法作辅助线，再利用外角的性质、对顶角的性质将所求各角转化到同一个三角形中解决．
解：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(2)能想出其他解法. 解法如下：
如图⑤，延长CD交AB于点E.
∵∠BED＝∠A＋∠C，∠BDC＝∠B＋∠BED，∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.
(3)解析：∵∠B＝18°，∠C＝20°，∠BDC＝145°，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，
∴∠A＝145°－18°－20°＝107°≠110°，∴这个零件不合格．
(4)对于四边形ABFC，由材料可知，∠BFC＝∠A＋∠B＋∠C.
∵∠D＋∠E＋∠EFD＝180°，∠EFD＝∠BFC，
∴∠D＋∠E＋∠BFC＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
培优点二 三角形内外角平分线夹角关系的综合探究
例2 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究内容，回答所提出的问题．
(1)如图①，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠A＝50°，则∠BOC＝115°；
(2)如图②，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC＝eq \f(1,2)∠A；
(3)如图③，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，写出∠BOC与∠A的关系，并说明理由．
分析：(1)根据角平分线的定义可得∠1＝eq \f(1,2)∠ABC，∠2＝eq \f(1,2)∠ACB，再根据三角形的内角和定理整理即可得解；
(2)根据角平分线的定义可得∠OBC＝eq \f(1,2)∠ABC，∠OCD＝eq \f(1,2)∠ACD，再结合三角形外角的性质可得∠OCD＝eq \f(1,2)∠ACD＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)，∠BOC＝∠OCD－∠OBC，然后整理即可得解；
(3)根据三角形外角的性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理求解．
(1)解析：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠1＝eq \f(1,2)∠ABC，∠2＝eq \f(1,2)∠ACB.
∴∠1＋∠2＝eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)．又∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠1＋∠2＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq \f(1,2)∠A.
∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－(90°－eq \f(1,2)∠A)＝90°＋eq \f(1,2)∠A＝90°＋eq \f(1,2)×50°＝115°.
(2)证明：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD，∴∠OBC＝eq \f(1,2)∠ABC，∠OCD＝eq \f(1,2)∠ACD.
∵∠ACD是△ABC的外角，∠OCD是△OBC的外角，
∴∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠OBC＋∠BOC，
∴∠BOC＝∠OCD－∠OBC＝eq \f(1,2)∠ACD－eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)(∠ACD－∠ABC)＝eq \f(1,2)∠A.
(3)解：∠BOC＝90°－eq \f(1,2)∠A.理由如下：
∵∠CBD，∠BCE是△ABC的外角，∴∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠BCE＝∠A＋∠ABC.
∵BO，CO分别平分∠CBD，∠BCE，∴∠OBC＝eq \f(1,2)∠CBD，∠OCB＝eq \f(1,2)∠BCE，
∴∠OBC＋∠OCB＝eq \f(1,2)∠CBD＋eq \f(1,2)∠BCE＝eq \f(1,2)(∠CBD＋∠BCE)＝eq \f(1,2)[(∠A＋∠ACB)＋(∠A＋∠ABC)]＝eq \f(1,2)[(∠A＋∠ABC＋∠ACB)＋∠A]＝eq \f(1,2)(180°＋∠A)＝90°＋eq \f(1,2)∠A.
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(90°＋eq \f(1,2)∠A)＝90°－eq \f(1,2)∠A.
模型提炼：
结论：∠BDC＝90°＋eq \f(1,2)∠A ∠D＝eq \f(1,2)∠A ∠BDC＝90°－eq \f(1,2)∠A
教学目标
课题
11.2.2 三角形的外角
授课人
素养目标
1.理解三角形的外角的概念.
2.经历由特殊到一般的数学思维过程，掌握三角形内角和定理的推论，体会数学推理的严谨性.
教学重点
三角形外角的性质．
教学难点
运用三角形外角的性质进行有关计算时能准确表达推理过程.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：提出疑问，启发思考
设计意图
通过提问的方式为引入三角形外角的概念做铺垫.
【问题引入】
我们在学习三角形内角和定理时，某个证明思路
是通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内
角集中在一起拼成一个平角，这样就可以证明三角形
的内角和等于180°.如图，先把△ABC的一边BC延
长，这时在△ABC外得到∠ACD.类比三角形的内角，
我们该如何概括类似∠ACD这样的角呢？它又具有什么性质呢？让我们在本节课的学习中找寻答案吧！
【教学建议】
教师板书作图，使学生直观感受，并提及三角形的内角引导式发问，学生顺其自然可想到外角这一称谓.
活动二：动手操作，探究新知
设计意图
引入三角形外角的概念，探究三角形外角的性质，并利用性质解决简单的角度计算问题.
探究点 三角形外角的概念及性
概念引入：三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形外角的特征：(1)角的顶点是三角形的顶点；(2)角的一边是三角形的一边；(3)角的另一边是三角形某边的延长线.
向两个方向延长三角形各边，可以画出一个三角形所有的外角，如图②.可以发现：三角形每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以一个三角形共有6个外角，其中有三个与另外三个分别相等．研究时，通常只在每个顶点处取一个外角进行讨论.
思考
(1)如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°， ∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
由∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，得∠ACB＝180°－
∠A－∠B＝180°－70°－60°＝50°.
由∠ACB＋∠ACD＝180°，得∠ACD＝180°－
∠ACB＝180°－50°＝130°.
由以上计算结果发现：∠ACD＝∠A＋∠B.
（2）任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？请由三角形内角和定理自行证明.
【教学建议】
由活动一中的问题自然过渡，学生可类比联想到三角形外角的称谓．教师可以直接给出三角形外角的概念，注意强调识别外角时，一个三角形的内角的对顶角不是这个三角形的外角，这里容易出现概念混淆.
【教学建议】
引导学生自主思考、合作交流，最后论证归纳出三角形外角的性质，培养学生的自主探究能力及语言表达能力．在应用三角形内角和定理的推论时，
教学步骤
师生活动
设计意图
问题4揭示图形语言与文字语言之间的联系，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形的各个基本要素.
都有这种关系.这里介绍两种证明方法：
证法1：在上图中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B.
∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB.
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-（180°-∠A-∠B）=∠A+∠B.
证法2：如图，过点C作CE∥AB，
∴∠ACE=∠A，∠ECD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B.
于是得到三角形内角和定理的推论（三角形外角的性质）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
例（教材P15例4）如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).
由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
问题：你还有其他解法吗？
解：由∠BAE+∠1=∠CBF+∠2=∠ACD+∠3=180°，
得∠BAE+∠CBF+∠ACD=3×180°-（∠1+∠2+∠3）=540°-180°=360°.
归纳总结：
三角形的外角和等于360°.
【对应训练】
1.教材P15练习.
2.如图，AB∥CD，连接BC，E是BC上一点，∠A=15°，∠C=27°，则∠AEC的大小为（ B ）
A27° B42°
C45° D70°
一定要正确理解“与它不相邻”的含义，找准所需内角.三角形内角和定理还有另一个推论，课标不做要求，详见备课素材，教师可根据需要选讲.
【教学建议】
例题是为了使学生掌握三角形外角的性质而设，推得的结论是为后面学习多边形外角和做准备.需要注意的是：三角形外角和是针对每个顶点处只取一个外角而言的，不是所有外角的和，这一点已在之前阐述过，若有学生不明确可在这里再次加以强调，结合图形更加直观易懂．
活动三：新知运用，巩固提升
设计意图
利用三角形外角的性质求解角度问题，加强学生对它的掌握程度.
例 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=38°，E是BC边上一点，ED交CA的延长线于点D，交AB于点F，∠D=32°.求∠AFE的大小.
解：∵∠B=45°，∠C=38°，
∴∠DAB=∠B+∠C=45°+38°=83°.
又∠D=32°，
∴∠AFE=∠DAB+∠D=83°+32°=115°.
【对应训练】
如图，在△ABC中，∠A=35°，∠ABD=35°，∠ACB=80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数.
【教学建议】
以学生自主探究为主，锻炼学生解题能力.解答此类题目的关键是确定要求的角是哪个三角形的外角，从而梳理已知条件，设法求出相应的两个内角，再求和即可得解.过程中可能会多次用
教学步骤
师生活动
解：∵∠A=35°，∠ABD=35°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=70°.
∵CE平分∠ACB，∠ACB=80°，
∴∠DCE=12∠ACB=40°.
∴∠BEC=∠BDC+∠DCE=70°+40°=110°.
到三角形外角的性质，注意不要出错.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
什么是三角形的外角？它具有什么性质？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P16～17习题11.2第5，6，8，11题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
板书设计
11.2.2 三角形的外角
1.三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角.
2.三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
教学反思
在教学过程中，应让学生自主探索，同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学推理的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力. 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新能力.