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人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角课时训练
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这是一份人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角课时训练，文件包含专题113三角形的外角运用核心考点七大题型原卷版docx、专题113三角形的外角运用核心考点七大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
题型1 三角形的外角
三角形外角是三角形的一个重要概念，它指的是三角形中任意一边的延长线与相邻的另一边所组成的角。这个角位于三角形的外部，与三角形的一个内角形成线性对。
一、三角形外角的定义：
在△ABC中，如果延长边BC到点D，则∠ACD（或写作∠C）是△ABC在顶点C处的一个外角。类似地，可以定义在顶点A和B处的外角。
二、三角形外角的性质：
1、外角等于不相邻两内角之和：
对于△ABC，在顶点C处的外角∠ACD满足：∠ACD=∠A+∠B
这个性质是三角形外角的基本性质，也是三角形内角和定理的一个推论。
2、外角大于任何一个不相邻的内角：
由于外角等于不相邻两内角之和，而两个角的和总是大于其中任何一个角，因此：
∠ACD>∠A,∠ACD>∠B
三角形外角的应用
三角形外角的性质在解决三角形相关问题时非常有用，例如：
1、求解未知角：当知道三角形中的两个内角时，可以利用外角性质求出第三个角的外角，进而可能求出第三个内角。
2、证明角的大小关系：利用外角大于不相邻内角的性质，可以证明三角形中角之间的大小关系。
3、分析三角形的形状：在某些情况下，通过外角的性质可以推断出三角形的形状（如等腰三角形、直角三角形等）。
示例：在△ABC中，已知∠A=50∘，∠B=40∘，求△ABC在顶点C处的一个外角的大小。
解答：根据三角形外角的性质，△ABC在顶点C处的一个外角∠ACD（或写作∠外∠C）等于不相邻的两内角∠A和∠B之和：∠ACD=∠A+∠B=50∘+40∘=90∘
因此，△ABC在顶点C处的一个外角的大小为90。注意，虽然题目只问了一个外角的大小，但三角形在每个顶点处都有一个外角，它们的大小可能不同（除非三角形是等边三角形或等腰三角形等特殊情况）。在这个例子中，我们选择了与∠A和∠B不相邻的外角∠ACD进行计算。
【题型1 三角形的外角】
1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC边上一点，连接AE，OE，则下列角中是△AEO的外角的是（ ）
∠AEBB．∠AODC．∠OECD．∠EOC
2、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是△BDE的外角的是（ ）
A．∠AEDB．∠AECC．∠ADED．∠BAE
3、如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、如图，有 个三角形，∠1是 的外角，∠ADB是 的外角．
题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）
三角形的外角性质在比较角的大小时非常有用。具体来说，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。这是三角形外角的一个基本且重要的性质。
三角形外角的性质（比较角的大小）
在△ABC中，若延长边BC到点D，则∠ACD是△ABC在顶点C处的一个外角。根据性质，我们有：
∠ACD>∠A,∠ACD>∠B
这里，∠ACD是外角，而∠A和∠B是与它不相邻的内角。
证明：为了证明这个性质，我们可以考虑三角形的内角和定理。三角形
△ABC的内角和为180∘，即：∠A+∠B+∠C=180∘
由于∠ACD是∠C的外角，根据外角的定义，我们有：∠ACD=∠A+∠B+（在BC延长线上的一段小角）
由于“在BC延长线上的一段小角”是正数（角度不能为负），因此：在△ABC中，已知∠A=5∘，∠B=70∘
，求△ABC在顶点C处的一个外角的大小，并比较它与∠A和∠B的大小。
解答：首先，根据三角形内角和定理，我们可以求出∠C的大小。∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−50∘−70∘=60∘
然后，我们考虑△ABC在顶点C处的一个外角。由于三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和，但在这里我们实际上不需要用到这个等式来直接计算外角的具体大小（因为题目只问了外角与内角的大小关系）。不过，为了完整性，我们可以说，如果延长边BC到点D，则∠ACD是△ABC在顶点C处的一个外角，并且∠ACD与∠C是补角，即它们之和为180。
但更重要的是，根据三角形外角的性质，我们知道∠ACD（作为外角）大于∠A和∠B中的每一个。
因此，我们可以直接比较大小：∠ACD>∠A=50∘,∠ACD>∠B=70∘
由于∠ACD与∠C是补角，所以∠ACD=180∘−∠C=180∘−60∘=120∘
。但这一具体大小在比较时并不是必需的，因为我们只需要知道∠ACD大于∠A和∠B即可。
综上所述，△ABC在顶点C处的一个外角∠ACD的大小为120∘
（虽然这个具体值在比较时不是必需的），并且它大于∠A和∠B。
【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】
1、点P是△ABC内任意一点，则∠APC与∠B的大小关系是（ ）
A．∠APC＞∠BB．∠APC＝∠BC．∠APC＜∠BD．不能确定
2、如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1
3、如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．则下列结论正确的是（ ）
∠1＞∠DB．∠D＞∠2C．∠1＝∠2+∠3D．∠3＝∠A
4、如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠B＞∠2B．∠B＞∠2＞∠1C．∠2＞∠1＞∠BD．∠1＞∠2＞∠B
题型3 三角形的外角性质（求角）
当我们使用三角形外角性质来求角时，我们主要利用的是“三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和”这一性质。但在这个特定的问题中，如果我们没有直接给出与所求外角相邻的内角的具体值，并且已经知道了三角形的两个内角，我们可以利用三角形内角和为180∘的性质来间接求解。
不过，为了直接应用外角性质，我们通常会假设或构造一个与所求外角相邻的内角。但在这个场景下，我们可以直接利用已知的内角来求出第三个内角，然后再利用外角与相邻内角的关系（即它们是补角）来求出外角。
然而，为了更直接地回答问题，我们可以这样表述：
【例】已知在△ABC中，∠A=50∘，∠B=70∘
首先求出∠C：∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−50∘−70∘=60∘
接下来，我们要求△ABC在顶点C处的一个外角。假设延长边BC到点D，则∠ACD是△ABC在顶点
C处的一个外角。
根据三角形外角的性质，∠ACD与∠C是补角，即：∠ACD=180∘−∠C=180∘−60∘=120∘
所以，△ABC在顶点C处的一个外角∠ACD的大小为120∘
注意：虽然题目中只问了一个外角，但三角形在每个顶点处都有一个外角，且它们都是相邻内角的补角。在这个例子中，如果我们延长边AB或AC，也会得到另外两个外角，它们的大小分别是180∘−∠B和180∘−∠A，即110∘和130∘。但题目只问了在顶点C处的外角，所以我们只计算了∠ACD。
1、三角形中，三个内角的比为1：3：6，它的三个外角的比为（ ）
A．1：3：6B．6：3：1C．9：7：4D．3：5：2
2、如图，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3、小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
4、某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
题型4 ： 三角形的外角性质（含角平分线）
三角形的外角和性质与角平分线的结合，主要涉及到的是如何利用这些性质来求解或证明与三角形相关的问题。
首先，我们需要明确两个关键性质：
1、三角形的外角和性质：三角形的三个外角之和等于360∘
2、角平分线的性质：角平分线将一个角分为两个相等的角，并且这个角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
然而，在直接结合这两个性质来求解问题时，我们通常会关注于如何利用角平分线来构造或证明与三角形外角有关的关系。但需要注意的是，三角形的外角和性质本身并不直接涉及到角平分线，而是我们在解决具体问题时可能会将它们结合起来使用。
1、如图，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，则∠CFE＝ ．
2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C＝26°，则∠ADB的度数是（ ）
A．61°B．64°C．71°D．109°
3、如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP的角平分线，CE是∠ACP的角平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100°B．90°C．85°D．95°
4、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
题型5 三角形的外角性质（折叠问题）
在解答三角形外角性质与折叠问题相结合的题目时，我们需要综合运用三角形外角的性质以及折叠过程中角度保持不变的性质。以下是对这类问题性质的详细解释和示例解答：
1、三角形外角性质
三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和。即，对于三角形△ABC，其外角∠DAC（其中D是BC延长线上的一点）满足：∠DAC=∠B+∠C
2、折叠问题性质
在折叠问题中，纸片或图形沿着某条直线（折痕）折叠后，折痕两侧对应的部分会重合，且重合部分的角度、边长等属性在折叠前后保持不变。
1、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
2、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
3、如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
4、如图，将△ABC的∠C折叠，使C点在AC边上，折痕为DE，则（ ）
A．∠BDC＝∠DCE+90°B．∠BDC＝2∠DCE
C．∠BDC+∠DCE＝180°D．∠BDC＝3∠DCE
题型6 三角形的外角性质（内外角平分线模型）
在三角形中，内外角平分线模型是一个重要的几何概念，它涉及到三角形的内角平分线和外角平分线。这里，我们主要讨论三角形的一个内角平分线与相邻的外角平分线相交时形成的模型及其性质。
一、三角形内外角平分线模型
考虑三角形△ABC，其中AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线（注意，这里的外角是∠BAC与△ABC外部的一个角形成的，通常记作∠FAC，其中F是AC延长线上的一点）。
性质角度关系：∠BAD=1/2∠BAC（因为AD是∠BAC的平分线）。∠EAC=1/2∠FAC（因为AE是∠FAC的平分线）。进一步，如果考虑∠EAD（即∠BAD和∠EAC的和），它等于1/2(∠BAC+∠FAC)。但注意，
∠FAC是∠BAC的补角加上∠B，即∠FAC=180∘−∠BAC+∠B。因此，∠EAD的表达式会涉及三角形的内角。
交点D和E的位置：D位于△ABC内部，是∠BAC的平分线与BC的交点（或BC的延长线，取决于三角形的形状和AD的具体位置）。
E位于△ABC的外部，是∠FAC的平分线与AC的延长线（或反向延长线，取决于具体情况）的交点。
二、与三角形其他元素的关系：
内外角平分线的交点D和E可以与三角形的其他元素（如边、其他角平分线、高、中线等）形成各种几何关系，这些关系可能因三角形的具体形状和大小而异。
三、应用：
在解决与三角形内外角平分线相关的问题时，可以利用上述性质来建立方程或不等式，从而求解未知量。
内外角平分线模型也常用于证明与三角形角度、边长相关的几何定理。
注意
在实际应用中，需要仔细分析题目条件，确定内外角平分线的具体位置和方向。
有时可能需要结合其他几何知识（如相似三角形、全等三角形、三角函数等）来解决问题。
1、如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
2、如图，在中，，的平分线交于点，是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数为
A．B．C．D．
3、如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
4、如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
题型7三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）
内外角平分线在三角形中遵循一些特定的规律和性质。这些性质通常与角度、边长以及与其他三角形元素（如中线、高、垂直平分线等）的关系有关。以下是一些内外角平分线的基本规律和性质：
1. 角度关系
内角平分线：在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC。
外角平分线：若AE∠BAC的外角∠FAC（其中F是AC延长线上的一点）的平分线，则
∠EAC=1/2∠FAC。但注意，外角平分线通常不在三角形内部，而是在三角形外部。
2. 交点与线段
内外角平分线一般不相交于三角形内部（除非考虑特殊情况，如等腰三角形）。但在某些问题中，可能会考虑从三角形的一个顶点出发，分别作相邻内角和不相邻外角的平分线，这两条平分线会相交于三角形外部的一点。
3. 与其他三角形元素的关系
中线：内外角平分线与三角形的中线没有直接的固定关系，但它们的交点可能与中线形成某些特定的角度或线段关系，这取决于三角形的具体形状和大小。
高：同样，内外角平分线与三角形的高也没有直接的固定关系，但可以通过角度和边长的计算来找出它们之间的潜在联系。
特殊三角形的内外角平分线
等腰三角形：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。对于底角的平分线，它们与对应的腰之间的角度和线段关系具有特定的性质。
等边三角形：在等边三角形中，每个角的平分线都是对应边的中线和高，且都相等。
5. 应用与解题
在解决与内外角平分线相关的问题时，首先要明确题目中的条件和要求，然后利用上述性质和规律进行推理和计算。
有时可能需要结合其他几何知识（如相似三角形、全等三角形、三角函数等）来综合解决问题。
示例
问题：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，交BC的延长线于点E。若
∠BAC=60∘，求∠DAE的度数。
解答：已知∠BAC=60∘，则∠BAD=1/2∠BAC=30∘。∠FAC是∠BAC的外角，所以∠FAC=180∘−∠BAC=120∘。因此，∠EAC=1/2∠FAC=60∘。
最后，∠DAE=∠EAC−∠BAD=60∘−30∘=30∘。
注意：在这个示例中，我们实际上并没有直接考虑内外角平分线的交点（因为AE并不在三角形ABC内部），而是分别计算了内角平分线和外角平分线与BC（或其延长线）的夹角，并求出了它们的差。
1、如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．
如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．
根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示）∠BOn﹣1C＝（ ）
A．×180°+∠AB．×180°+∠A
C．×180°+∠AD．×180°+∠A
2、如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
3、【探究发现】
如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝ ．
4、【问题引入】
（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．
【类比猜想】
（3）如图3，在△ABC中，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB则∠BOC＝ （用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
题型1 三角形的外角
三角形外角是三角形的一个重要概念，它指的是三角形中任意一边的延长线与相邻的另一边所组成的角。这个角位于三角形的外部，与三角形的一个内角形成线性对。
一、三角形外角的定义：
在△ABC中，如果延长边BC到点D，则∠ACD（或写作∠C）是△ABC在顶点C处的一个外角。类似地，可以定义在顶点A和B处的外角。
二、三角形外角的性质：
1、外角等于不相邻两内角之和：
对于△ABC，在顶点C处的外角∠ACD满足：∠ACD=∠A+∠B
这个性质是三角形外角的基本性质，也是三角形内角和定理的一个推论。
2、外角大于任何一个不相邻的内角：
由于外角等于不相邻两内角之和，而两个角的和总是大于其中任何一个角，因此：
∠ACD>∠A,∠ACD>∠B
三角形外角的应用
三角形外角的性质在解决三角形相关问题时非常有用，例如：
1、求解未知角：当知道三角形中的两个内角时，可以利用外角性质求出第三个角的外角，进而可能求出第三个内角。
2、证明角的大小关系：利用外角大于不相邻内角的性质，可以证明三角形中角之间的大小关系。
3、分析三角形的形状：在某些情况下，通过外角的性质可以推断出三角形的形状（如等腰三角形、直角三角形等）。
示例：在△ABC中，已知∠A=50∘，∠B=40∘，求△ABC在顶点C处的一个外角的大小。
解答：根据三角形外角的性质，△ABC在顶点C处的一个外角∠ACD（或写作∠外∠C）等于不相邻的两内角∠A和∠B之和：∠ACD=∠A+∠B=50∘+40∘=90∘
因此，△ABC在顶点C处的一个外角的大小为90。注意，虽然题目只问了一个外角的大小，但三角形在每个顶点处都有一个外角，它们的大小可能不同（除非三角形是等边三角形或等腰三角形等特殊情况）。在这个例子中，我们选择了与∠A和∠B不相邻的外角∠ACD进行计算。
【题型1 三角形的外角】
1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC边上一点，连接AE，OE，则下列角中是△AEO的外角的是（ ）
∠AEBB．∠AODC．∠OECD．∠EOC
2、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是△BDE的外角的是（ ）
A．∠AEDB．∠AECC．∠ADED．∠BAE
3、如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、如图，有 个三角形，∠1是 的外角，∠ADB是 的外角．
题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）
三角形的外角性质在比较角的大小时非常有用。具体来说，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。这是三角形外角的一个基本且重要的性质。
三角形外角的性质（比较角的大小）
在△ABC中，若延长边BC到点D，则∠ACD是△ABC在顶点C处的一个外角。根据性质，我们有：
∠ACD>∠A,∠ACD>∠B
这里，∠ACD是外角，而∠A和∠B是与它不相邻的内角。
证明：为了证明这个性质，我们可以考虑三角形的内角和定理。三角形
△ABC的内角和为180∘，即：∠A+∠B+∠C=180∘
由于∠ACD是∠C的外角，根据外角的定义，我们有：∠ACD=∠A+∠B+（在BC延长线上的一段小角）
由于“在BC延长线上的一段小角”是正数（角度不能为负），因此：在△ABC中，已知∠A=5∘，∠B=70∘
，求△ABC在顶点C处的一个外角的大小，并比较它与∠A和∠B的大小。
解答：首先，根据三角形内角和定理，我们可以求出∠C的大小。∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−50∘−70∘=60∘
然后，我们考虑△ABC在顶点C处的一个外角。由于三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和，但在这里我们实际上不需要用到这个等式来直接计算外角的具体大小（因为题目只问了外角与内角的大小关系）。不过，为了完整性，我们可以说，如果延长边BC到点D，则∠ACD是△ABC在顶点C处的一个外角，并且∠ACD与∠C是补角，即它们之和为180。
但更重要的是，根据三角形外角的性质，我们知道∠ACD（作为外角）大于∠A和∠B中的每一个。
因此，我们可以直接比较大小：∠ACD>∠A=50∘,∠ACD>∠B=70∘
由于∠ACD与∠C是补角，所以∠ACD=180∘−∠C=180∘−60∘=120∘
。但这一具体大小在比较时并不是必需的，因为我们只需要知道∠ACD大于∠A和∠B即可。
综上所述，△ABC在顶点C处的一个外角∠ACD的大小为120∘
（虽然这个具体值在比较时不是必需的），并且它大于∠A和∠B。
【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】
1、点P是△ABC内任意一点，则∠APC与∠B的大小关系是（ ）
A．∠APC＞∠BB．∠APC＝∠BC．∠APC＜∠BD．不能确定
2、如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1
3、如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．则下列结论正确的是（ ）
∠1＞∠DB．∠D＞∠2C．∠1＝∠2+∠3D．∠3＝∠A
4、如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠B＞∠2B．∠B＞∠2＞∠1C．∠2＞∠1＞∠BD．∠1＞∠2＞∠B
题型3 三角形的外角性质（求角）
当我们使用三角形外角性质来求角时，我们主要利用的是“三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和”这一性质。但在这个特定的问题中，如果我们没有直接给出与所求外角相邻的内角的具体值，并且已经知道了三角形的两个内角，我们可以利用三角形内角和为180∘的性质来间接求解。
不过，为了直接应用外角性质，我们通常会假设或构造一个与所求外角相邻的内角。但在这个场景下，我们可以直接利用已知的内角来求出第三个内角，然后再利用外角与相邻内角的关系（即它们是补角）来求出外角。
然而，为了更直接地回答问题，我们可以这样表述：
【例】已知在△ABC中，∠A=50∘，∠B=70∘
首先求出∠C：∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−50∘−70∘=60∘
接下来，我们要求△ABC在顶点C处的一个外角。假设延长边BC到点D，则∠ACD是△ABC在顶点
C处的一个外角。
根据三角形外角的性质，∠ACD与∠C是补角，即：∠ACD=180∘−∠C=180∘−60∘=120∘
所以，△ABC在顶点C处的一个外角∠ACD的大小为120∘
注意：虽然题目中只问了一个外角，但三角形在每个顶点处都有一个外角，且它们都是相邻内角的补角。在这个例子中，如果我们延长边AB或AC，也会得到另外两个外角，它们的大小分别是180∘−∠B和180∘−∠A，即110∘和130∘。但题目只问了在顶点C处的外角，所以我们只计算了∠ACD。
1、三角形中，三个内角的比为1：3：6，它的三个外角的比为（ ）
A．1：3：6B．6：3：1C．9：7：4D．3：5：2
2、如图，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3、小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
4、某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
题型4 ： 三角形的外角性质（含角平分线）
三角形的外角和性质与角平分线的结合，主要涉及到的是如何利用这些性质来求解或证明与三角形相关的问题。
首先，我们需要明确两个关键性质：
1、三角形的外角和性质：三角形的三个外角之和等于360∘
2、角平分线的性质：角平分线将一个角分为两个相等的角，并且这个角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
然而，在直接结合这两个性质来求解问题时，我们通常会关注于如何利用角平分线来构造或证明与三角形外角有关的关系。但需要注意的是，三角形的外角和性质本身并不直接涉及到角平分线，而是我们在解决具体问题时可能会将它们结合起来使用。
1、如图，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，则∠CFE＝ ．
2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C＝26°，则∠ADB的度数是（ ）
A．61°B．64°C．71°D．109°
3、如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP的角平分线，CE是∠ACP的角平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100°B．90°C．85°D．95°
4、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
题型5 三角形的外角性质（折叠问题）
在解答三角形外角性质与折叠问题相结合的题目时，我们需要综合运用三角形外角的性质以及折叠过程中角度保持不变的性质。以下是对这类问题性质的详细解释和示例解答：
1、三角形外角性质
三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和。即，对于三角形△ABC，其外角∠DAC（其中D是BC延长线上的一点）满足：∠DAC=∠B+∠C
2、折叠问题性质
在折叠问题中，纸片或图形沿着某条直线（折痕）折叠后，折痕两侧对应的部分会重合，且重合部分的角度、边长等属性在折叠前后保持不变。
1、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
2、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
3、如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
4、如图，将△ABC的∠C折叠，使C点在AC边上，折痕为DE，则（ ）
A．∠BDC＝∠DCE+90°B．∠BDC＝2∠DCE
C．∠BDC+∠DCE＝180°D．∠BDC＝3∠DCE
题型6 三角形的外角性质（内外角平分线模型）
在三角形中，内外角平分线模型是一个重要的几何概念，它涉及到三角形的内角平分线和外角平分线。这里，我们主要讨论三角形的一个内角平分线与相邻的外角平分线相交时形成的模型及其性质。
一、三角形内外角平分线模型
考虑三角形△ABC，其中AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线（注意，这里的外角是∠BAC与△ABC外部的一个角形成的，通常记作∠FAC，其中F是AC延长线上的一点）。
性质角度关系：∠BAD=1/2∠BAC（因为AD是∠BAC的平分线）。∠EAC=1/2∠FAC（因为AE是∠FAC的平分线）。进一步，如果考虑∠EAD（即∠BAD和∠EAC的和），它等于1/2(∠BAC+∠FAC)。但注意，
∠FAC是∠BAC的补角加上∠B，即∠FAC=180∘−∠BAC+∠B。因此，∠EAD的表达式会涉及三角形的内角。
交点D和E的位置：D位于△ABC内部，是∠BAC的平分线与BC的交点（或BC的延长线，取决于三角形的形状和AD的具体位置）。
E位于△ABC的外部，是∠FAC的平分线与AC的延长线（或反向延长线，取决于具体情况）的交点。
二、与三角形其他元素的关系：
内外角平分线的交点D和E可以与三角形的其他元素（如边、其他角平分线、高、中线等）形成各种几何关系，这些关系可能因三角形的具体形状和大小而异。
三、应用：
在解决与三角形内外角平分线相关的问题时，可以利用上述性质来建立方程或不等式，从而求解未知量。
内外角平分线模型也常用于证明与三角形角度、边长相关的几何定理。
注意
在实际应用中，需要仔细分析题目条件，确定内外角平分线的具体位置和方向。
有时可能需要结合其他几何知识（如相似三角形、全等三角形、三角函数等）来解决问题。
1、如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
2、如图，在中，，的平分线交于点，是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数为
A．B．C．D．
3、如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
4、如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
题型7三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）
内外角平分线在三角形中遵循一些特定的规律和性质。这些性质通常与角度、边长以及与其他三角形元素（如中线、高、垂直平分线等）的关系有关。以下是一些内外角平分线的基本规律和性质：
1. 角度关系
内角平分线：在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC。
外角平分线：若AE∠BAC的外角∠FAC（其中F是AC延长线上的一点）的平分线，则
∠EAC=1/2∠FAC。但注意，外角平分线通常不在三角形内部，而是在三角形外部。
2. 交点与线段
内外角平分线一般不相交于三角形内部（除非考虑特殊情况，如等腰三角形）。但在某些问题中，可能会考虑从三角形的一个顶点出发，分别作相邻内角和不相邻外角的平分线，这两条平分线会相交于三角形外部的一点。
3. 与其他三角形元素的关系
中线：内外角平分线与三角形的中线没有直接的固定关系，但它们的交点可能与中线形成某些特定的角度或线段关系，这取决于三角形的具体形状和大小。
高：同样，内外角平分线与三角形的高也没有直接的固定关系，但可以通过角度和边长的计算来找出它们之间的潜在联系。
特殊三角形的内外角平分线
等腰三角形：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。对于底角的平分线，它们与对应的腰之间的角度和线段关系具有特定的性质。
等边三角形：在等边三角形中，每个角的平分线都是对应边的中线和高，且都相等。
5. 应用与解题
在解决与内外角平分线相关的问题时，首先要明确题目中的条件和要求，然后利用上述性质和规律进行推理和计算。
有时可能需要结合其他几何知识（如相似三角形、全等三角形、三角函数等）来综合解决问题。
示例
问题：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，交BC的延长线于点E。若
∠BAC=60∘，求∠DAE的度数。
解答：已知∠BAC=60∘，则∠BAD=1/2∠BAC=30∘。∠FAC是∠BAC的外角，所以∠FAC=180∘−∠BAC=120∘。因此，∠EAC=1/2∠FAC=60∘。
最后，∠DAE=∠EAC−∠BAD=60∘−30∘=30∘。
注意：在这个示例中，我们实际上并没有直接考虑内外角平分线的交点（因为AE并不在三角形ABC内部），而是分别计算了内角平分线和外角平分线与BC（或其延长线）的夹角，并求出了它们的差。
1、如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．
如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．
根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示）∠BOn﹣1C＝（ ）
A．×180°+∠AB．×180°+∠A
C．×180°+∠AD．×180°+∠A
2、如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
3、【探究发现】
如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝ ．
4、【问题引入】
（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．
【类比猜想】
（3）如图3，在△ABC中，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB则∠BOC＝ （用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
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