还剩47页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.2三角形的高、中线与角平分线【十大题型】(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.3三角形的内角和定理【十大题型】(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.5多边形及其内角和【十大题型】(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.6三角形中的经典模型【九大题型】(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.7与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练(40题)(学生版+解析) 试卷 0 次下载
人教版（2024）八年级上册11.2.2 三角形的外角同步测试题
展开
这是一份人教版（2024）八年级上册11.2.2 三角形的外角同步测试题，共50页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25539" 【题型1 外角的定义】 PAGEREF _Tc25539 \h 1
\l "_Tc3479" 【题型2 求三角形外角的度数】 PAGEREF _Tc3479 \h 2
\l "_Tc9893" 【题型3 由三角形的外角性质求角度】 PAGEREF _Tc9893 \h 3
\l "_Tc5643" 【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】 PAGEREF _Tc5643 \h 4
\l "_Tc23954" 【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc23954 \h 5
\l "_Tc13702" 【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc13702 \h 7
\l "_Tc4868" 【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】 PAGEREF _Tc4868 \h 8
\l "_Tc14251" 【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】 PAGEREF _Tc14251 \h 9
\l "_Tc2749" 【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】 PAGEREF _Tc2749 \h 10
\l "_Tc9510" 【题型10 三角形的外角性质的实际应用】 PAGEREF _Tc9510 \h 11
知识点1：三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【题型1 外角的定义】
【例1】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是（ ）
A．∠ACDB．∠AEBC．∠AEFD．∠CEF
【变式1-1】（23-24八年级·河北廊坊·期中）下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，∠ADB是△ 和△ 的外角；以AC为一边长的三角形有 个．
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
已知：__________________
求证：__________________
证明：
【题型2 求三角形外角的度数】
【例2】（23-24八年级·四川泸州·阶段练习）在△ABC中，若3(∠A+∠B)=2∠C，则∠C的外角的度数为（ ）
A．36°B．72°C．108°D．144°
【变式2-1】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是 ( )
A．80°或140°B．80°或100°C．100°或140°D．140°
【变式2-2】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，直线a∥b，一块有60°的直角三角尺如图放置，∠1=135°，则∠2= ．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠A=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠CDB的度数为 ．
【题型3 由三角形的外角性质求角度】
【例3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”
【问题解决】
（1）在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDA=______；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠A=60°，求∠P的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A=m°，∠B=n°，且m>n，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【变式3-1】（23-24·江西南昌·模拟预测）将一个含45°角和一个含30°角的直角三角形按如图所示的方式放置，若点D在线段AB上，BC=BD，则∠CFE的度数为 ．
【变式3-2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，将线段AB平移得到线段CD，点P在AC延长线上，点Q在射线OB上，∠PCD、∠QBA的角平分线所在直线相交于点E，若∠OAB=α，∠OBA=β，则∠CEB= ．（用α，β表示）
【变式3-3】（23-24八年级·四川内江·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A．120°B．130°C．150°D．180°
【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】
【例4】（23-24八年级·北京朝阳·期中）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB=AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60°B．72°C．36°D．90°
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A=28°，∠BDA'=90°，则∠A'EC的大小为 ．
【变式4-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中、∠B=50°，∠C=30°，点D是BC边上一点，连接AD，将△ABD沿着AD折叠，点B落在点B1处、若AB1∥BC，则∠CAD的度数为 °．
【变式4-3】（23-24八年级·河南南阳·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，点D在BC边上，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE和边AC重合时结束，边AE交边BC于点F．若折叠过程中，△DEF中有两个角相等，则此时∠BAD的度数为 ．
【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则∠A的度数为 ．
【变式5-1】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P，AP交BC于D．过B作BG⊥AP于G．若∠GBP=58°，求∠ACB的度数．
【变式5-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=78°，则∠E的度数为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③ ∠BOC=90°+∠1；④∠BOC=90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，∠BCD=∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F=75°，则∠A= ．
【变式6-1】（23-24·河北沧州·二模）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，两三角板斜边在同一直线上，含30°角的三角板的一直角边在l1上，则∠α的度数为（ ）
A．8°B．10°C．12°D．15°
【变式6-2】（23-24·吉林长春·二模）如图，将一块含30°角的三角尺和一把直尺叠放在一起．若∠1=72°，则∠2的度数为 ．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，已知AM∥BN，∠A=x°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D，当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ADB的度数为 （用含有x的代数式表示）
【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】
【例7】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB<∠A，BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=12∠A；④∠A−∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-1】（23-24八年级·湖南长沙·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
(1)∠ABE=15∘，∠BAD=25∘，求∠BED的度数；
(2)若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．
【变式7-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC=50°，若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB= ．
【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A=α，∠H=β，则α与β之间的数量关系为 ．
【变式8-1】（23-24上·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，D、E在边AB上，∠A，∠1，∠2的大小关系是 ．
【变式8-2】（23-24八年级·甘肃张掖·期末）如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( ).
A．∠A>∠DOE>∠BECB．∠DOE>∠A>∠BEC
C．∠BEC>∠DOE>∠AD．∠DOE>∠BEC>∠A
【变式8-3】（23-24八年级·河南商丘·期末）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC．
(1)∠1、∠2、∠A的大小关系是： ＞ ＞ ；
(2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解．
【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】
【例9】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数为 ．
【变式9-1】（23-24八年级·广东茂名·阶段练习）如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，以此类推，若∠B=20°，则∠A4的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【变式9-2】（23-24·全国·八年级专题练习）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°−7°=83°．当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A= °．若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值= °．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，∠A=20°,∠EBC,∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与∠DCB的平分线交于点A1,∠EBA1与∠DCA1的平分线交于点A2,…,∠EBAn−1与∠DCAn−1的平分线相交于点An，当两条角平分线无交点时，则n的值为 ．
【题型10 三角形的外角性质的实际应用】
【例10】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图是国家级非物质文化遗产——“抖空竹”．在“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，若将图①抽象成图②的数学问题：AB∥CD，∠EAB=70°，∠ECD=110°，则∠E的大小是 度．
【变式10-1】（23-24·河南·三模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P=10°，∠CFP=105°，则∠ABP的大小为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．85°
【变式10-2】（23-24·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成．在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．
（1）当∠EFH=56°，BC∥EF时，∠ABC= 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=70°，此时∠ABC= 度．思路一
先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数．
思路二
先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数．
专题11.4 三角形的外角【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25539" 【题型1 外角的定义】 PAGEREF _Tc25539 \h 1
\l "_Tc3479" 【题型2 求三角形外角的度数】 PAGEREF _Tc3479 \h 4
\l "_Tc9893" 【题型3 由三角形的外角性质求角度】 PAGEREF _Tc9893 \h 6
\l "_Tc5643" 【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】 PAGEREF _Tc5643 \h 13
\l "_Tc23954" 【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc23954 \h 16
\l "_Tc13702" 【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc13702 \h 20
\l "_Tc4868" 【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】 PAGEREF _Tc4868 \h 23
\l "_Tc14251" 【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】 PAGEREF _Tc14251 \h 28
\l "_Tc2749" 【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】 PAGEREF _Tc2749 \h 31
\l "_Tc9510" 【题型10 三角形的外角性质的实际应用】 PAGEREF _Tc9510 \h 35
知识点1：三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【题型1 外角的定义】
【例1】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是（ ）
A．∠ACDB．∠AEBC．∠AEFD．∠CEF
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，据此即可求解．
【详解】解：根据三角形外角的定义可知：
∠AEF是△ABE的外角，
故选：C．
【变式1-1】（23-24八年级·河北廊坊·期中）下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可．
【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意；
故选D．
【变式1-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，∠ADB是△ 和△ 的外角；以AC为一边长的三角形有 个．
【答案】 ADC DFC 4
【分析】本题考查了三角形的认识及三角形外角的定义，熟记三角形的定义：“三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”及三角形外角的定义：“三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角”是解题的关键．
【详解】解：根据图形可得：∠ADB是△ADC和△DFC的外角；
以AC为一边长的三角形有：△ACF，△ADC，△ACB，△ACE，共4个；
故答案为：ADC；DFC；4．
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
已知：__________________
求证：__________________
证明：
【答案】三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；证明过程见解析
【分析】根据三角形的内角和，结合平角的定义，利用等量代换即可求证．
【详解】解：
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
∠ACD+∠ACB=180°
∴∠ACD=∠A+∠B
【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质证明．掌握三角形的内角和及平角的定义是解题关键．
【题型2 求三角形外角的度数】
【例2】（23-24八年级·四川泸州·阶段练习）在△ABC中，若3(∠A+∠B)=2∠C，则∠C的外角的度数为（ ）
A．36°B．72°C．108°D．144°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角定义，根据三角形内角和定理得∠A+∠B=180°−∠C，再结合已知条件3(∠A+∠B)=2∠C，得3(180°−∠C)=2∠C，即可得出∠C的度数，再根据∠C的外角的度数等于180°−∠C即可得出答案，解题关键是掌握三角形内角和定理．
【详解】解：∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=180°−∠C，
∵ 3(∠A+∠B)=2∠C，
∴ 3(180°−∠C)=2∠C，
∴ ∠C=108°，
∴ ∠C的外角的度数为180°−∠C=72°，
故选：B．
【变式2-1】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是 ( )
A．80°或140°B．80°或100°C．100°或140°D．140°
【答案】A
【详解】试题分析：由题意得，如果∠A=∠B=40°，则∠C的外角的大小是80°，如果∠C=40°，则∠C的外角的大小是140°.
考点：三角形的外角
点评：该题主要考查学生对三角形内角及外角之间的关系，对于该中题型，学生要考虑全面．
【变式2-2】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，直线a∥b，一块有60°的直角三角尺如图放置，∠1=135°，则∠2= ．
【答案】105°/105度
【分析】根据平行线的性质，得到∠3=135°，再根据三角形外角的定义，得出∠4=105°，最后利用对顶角相等，即可求出∠2的度数．
【详解】解：∵a∥b
∴∠1=∠3=135°
∵∠A=30°
∠3=∠A+∠4
∴∠4=∠3−∠A=105°
∵∠2=∠4
∴∠2=105°
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了三角尺的特征，平行线的性质，三角形外角的定义，对顶角，解题关家是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠A=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠CDB的度数为 ．
【答案】109°
【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形的性质、折叠的性质以及平行线的性质是解题的关键．
如图：连接B'C，由平行线的性质可得∠ADB'=∠A=38°，再轴对称的性质可得∠CDB=∠CDB'，再根据角的和差及三角形外角的性质可得∠CDB=∠A+∠ACD,∠CDB'=∠ADB'+∠CDA，即∠ACD=∠CDA，再结合三角形内角和定理可得∠ACD=71°，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接B'C，
∵B'D∥AC，
∴∠ADB'=∠A=38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B'，
∴∠CDB=∠CDB'，
∵∠CDB=∠A+∠ACD,∠CDB'=∠ADB'+∠CDA，
∴∠ACD=∠CDA，
∴∠ACD=180°−∠A2=71°，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=109°．
故答案为：109°
【题型3 由三角形的外角性质求角度】
【例3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”
【问题解决】
（1）在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDA=______；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠A=60°，求∠P的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A=m°，∠B=n°，且m>n，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【答案】（1）95°或80°
（2）∠P的度数是140°
（3）23m°或13m°或13m−n°或23m+13n°
【分析】（1）分BD是“邻AB三分线”，“邻BC三分线”，两种情况讨论，求出∠ABD的度数，在△ABD中，应用内角和定理，即可求解，
（2）根据已知，得到∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，在△ABC中，求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得到∠PBC+∠PCB=40°，在△ABC中，应用内角和定理，即可求解，
（3）分四种情况进行讨论，根据三角形外角定理，用含m、n的代数式，表示出∠BPC，即可求解，
本题考查了角分线的新定义，三角形内角和定理，三角形外角定理，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】（1）解：当BD是“邻AB三分线”时，
∵∠A=70°，∠B=45°，
∴∠ABD=13∠ABC=13×45°=15°，
在△ABD中，∠BDA=180°−∠A−∠ABD=180°−70°−15°=95°，
当BD是“邻BC三分线”时，
∵∠A=70°，∠B=45°，
∴∠ABD=23∠ABC=23×45°=30°，
在△ABD中，∠BDA=180°−∠A−∠ABD=180°−70°−30°=80°，
故答案为：95°或80°，
（2）解：
∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，
∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，
在△ABC中，∠PBC+∠PCB=13∠ABC+13∠ACB=13∠ABC+∠ACB=13×120°=40°，
∠APB=180°−∠PBC+∠PCB=180°−40°=140°，
即：∠P的度数是140°，
（3）解：分四种情况进行讨论：
情况一：当BP是“邻AB三分线”，CP是“邻AC三分线”，
∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n°，
∴∠PBC=23∠ABC=23n°，∠PCD=23∠ACD=23m+n°，
∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，
∴23n°+∠BPC=23m+n°，
∴∠BPC=23m°，
情况二：BP是“邻BC三分线”，CP是“邻CD三分线”，
∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n°，
∴∠PBC=13∠ABC=13n°，∠PCD=13∠ACD=13m+n°，，
∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，
∴13n°+∠BPC=13m+n°，
∴∠BPC=13m°，
情况三：当BP是“邻AB三分线”，CP是“邻CD三分线”，
∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n°，
∴∠PBC=23∠ABC=23n°，∠PCD=13∠ACD=13m+n°，，
∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，
∴23n°+∠BPC=13m+n°，
∴∠BPC=13m−n°，
情况四：当BP是“邻BC三分线”， CP是“邻AC三分线”，
∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n°，
∴∠PBC=13∠ABC=13n°，∠PCD=23∠ACD=23m+n°，
∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，
∴13n°+∠BPC=23m+n°，
∴∠BPC=23m+13n°，
即：23m°或13m°或13m−n°或23m+13n°．
【变式3-1】（23-24·江西南昌·模拟预测）将一个含45°角和一个含30°角的直角三角形按如图所示的方式放置，若点D在线段AB上，BC=BD，则∠CFE的度数为 ．
【答案】82.5°
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：一个含45°角和一个含30°角的直角三角形如图所示，
∴∠B=∠A=45°，∠CDF=60°，∠BCA=90°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=12180°−∠B=67.5°，
∵∠BCA=90°，
∴∠DCA=90°−∠BCA=90°−67.5°=22.5°，
∴∠EFC=∠EDC+∠DCA=60°+22.5°=82.5°．
故答案为：82.5°．
【变式3-2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，将线段AB平移得到线段CD，点P在AC延长线上，点Q在射线OB上，∠PCD、∠QBA的角平分线所在直线相交于点E，若∠OAB=α，∠OBA=β，则∠CEB= ．（用α，β表示）
【答案】α+β2或90°−α+β2
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质和对顶角的性质，三角形外角的性质；对点Q在点B的左侧和右侧进行分类，再画出相应的示意图，结合所画图形即可解决问题，能根据题意画出示意图及熟知图形平移的性质是解题的关键．
【详解】解：当点Q在点B的左侧时，如图所示，
由平移可知，CD∥AB，
∴∠OCD=∠OAB=α，
∴∠PCD=180°−α，
∵CN平分∠PCD，
∴∠PCN=12∠PCD=90∘−12α，
∴∠ECM=∠PCN=90∘−12α；
∵BE平分∠QBA，
∴∠ABE=12∠QBA=12β，
∴∠AMB=180∘−α−12β，
∴∠CEB=∠AMB−∠ECM=90∘−α+β2，
当点Q在点B的右侧时，如图所示，
同理可得，∠ECH=90∘−12α，∠ABH=90∘−12β，
由平移可知，CD∥AB，
∴∠CHE=∠ABH=90∘−12β，
∴∠CEB=180∘−90∘−12α−90∘−12β=α+β2，
综上所述，∠CEB的度数为：α+β2或90∘−α+β2，
故答案为：α+β2或 90∘−α+β2．
【变式3-3】（23-24八年级·四川内江·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A．120°B．130°C．150°D．180°
【答案】D
【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．根据三角形外角的性质把这七个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答即可．
【详解】解：如图，设BF与CG交于点O，AD与CG交于点P，CG与BE交于点M，AD与BE交于点N，
∴∠PNM=∠A+∠E，∠MPN=∠D+∠G，∠BOM=∠C+∠F，∠PMN=∠B+∠BOM．
∵∠PNM+∠MPN+∠PMN=180°，
∴∠PNM+∠MPN+∠PMN=∠A+∠E+∠D+∠G+∠B+∠BOM=∠A+∠E+∠D+∠G+∠B+∠C+∠F=180°．
故选D．
【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】
【例4】（23-24八年级·北京朝阳·期中）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB=AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60°B．72°C．36°D．90°
【答案】B
【分析】设∠A=x，由折叠的性质得到∠EDA=∠A=x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=2x，再利用三角形内角和定理求出x，即可求出答案．
【详解】解：设∠A=x，
由折叠得：∠EDA=∠A=x，∠C=∠BED=∠A+∠EDA=2x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠ABC=2x=72°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A=28°，∠BDA'=90°，则∠A'EC的大小为 ．
【答案】34°/34度
【分析】利用折叠性质得∠ADE=∠A'DE=45°，∠AED=∠A'ED，再根据三角形外角性质得∠CED=74°，利用邻补角得到∠AED=106°，则∠A'ED=106°，然后利用∠A'EC=∠A'ED−∠CED进行计算即可．
【详解】解：∵∠BDA'=90°，
∴∠ADA'=90°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴∠ADE=∠A'DE=45°，∠AED=∠A'ED，
∵∠CED=∠A+∠ADE=28°+45°=73°，
∴∠AED=107°，
∴∠A'ED=107°，
∴∠A'EC=∠A'ED−∠CED=107°−73°=34°．
故答案为：34°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键．
【变式4-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中、∠B=50°，∠C=30°，点D是BC边上一点，连接AD，将△ABD沿着AD折叠，点B落在点B1处、若AB1∥BC，则∠CAD的度数为 °．
【答案】35
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握轴对称的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
先由轴对称的性质得出∠B1=∠B=50°，∠ADB1=∠ADB，再由平行线的性质得∠CDB1=∠B1=50°，从而求得∠ADB=65°，然后根据三角形外角的性质求解．
【详解】解：由折叠可得：∠B1=∠B=50°，∠ADB1=∠ADB，
∵AB1∥BC，
∴∠CDB1=∠B1=50°，
∵∠CDB1+∠ADB1+∠ADB=180°，
∴∠ADB=12180°−50°=65°，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠CAD=∠ADB−∠C=65°−30°=35°．
故答案为：35．
【变式4-3】（23-24八年级·河南南阳·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，点D在BC边上，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE和边AC重合时结束，边AE交边BC于点F．若折叠过程中，△DEF中有两个角相等，则此时∠BAD的度数为 ．
【答案】45°或22.5°
【分析】设∠BAD=x°，根据三角形的外角性质可得∠ADF=30°+x°，求得∠ADB=150°−x°，根据折叠的性质可得∠ADE=∠ADB=150°−x°，∠B=∠E=30°，求得∠FDE=120°−2x°，根据三角形内角和定理求得∠DFE=2x°+30°，分∠FDE=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可求解．
【详解】解：设∠BAD=x°，
∵∠BAC=90°，∠C=2∠B，
∴∠B+∠C=3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∴∠ADF=∠B+∠BAD=30°+x°，
∴∠ADB=180°−∠ADF=150°−x°，
∵折叠，
∴∠ADE=∠ADB=150°−x°，∠B=∠E=30°，
∴∠FDE=∠ADE−∠ADF=120°−2x°，
∴∠DFE=180°−∠FDE−∠E=2x°+30°，
当△DEF中有两个角相等，分三种情况：
当∠DFE=∠E时，则30°=2x°+30°，x=0（舍去）；
当∠FDE=∠E时，则30°=120°−2x°，x=45；
当∠DFE=∠FDE时，则120°−2x°=2x°+30°，x=22.5；
故答案为：45°或22.5°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则∠A的度数为 ．
【答案】60°或120°或45°或135°
【分析】首先利用角平分线定义和三角形外角的性质证明∠A=2∠E，然后求出∠E+∠Q=90°，再分4种情况讨论，求解即可．
【详解】解：如图，延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=90°，
∴∠E+∠Q=90°，
如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
若∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，
∴∠A=2∠E=60°；
若∠EBQ=3∠Q=90°，则∠Q=30°，
∴∠E=60°，
∴∠A=2∠E=120°；
若∠Q=3∠E，则∠E=90°×14=22.5°，
∴∠A=2∠E=45°；
若∠E=3∠Q，则∠E=90°×34=67.5°，
∴∠A=2∠E=135°；
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°，
故答案为：60°或120°或45°或135°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P，AP交BC于D．过B作BG⊥AP于G．若∠GBP=58°，求∠ACB的度数．
【答案】64°
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角性质；由∠GBP=58°，∠BGP=90°，得到∠BPG=32°，根据角平分线的定义得到∠EBP=∠CBP，根据三角形外角的性质得到∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+32°，由∠ACB=∠EBC−∠BAC=2∠EBP−2∠BAP，于是得到结论．
【详解】解：∵∠GBP=58°，∠BGP=90°，
∴∠BPG=32°，
∵BP平分∠CBE，
∴∠EBP=∠CBP，
∵∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+32°，
∵AP平分∠BAC，
∵∠ACB=∠EBC−∠BAC=2∠EBP−2∠BAP
=2(∠BAP+32°−∠BAP)
=64°．
【变式5-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=78°，则∠E的度数为 ．
【答案】31°/31度
【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键．
由三角形外角的性质求出∠BAC的度数，由角平分线定义求出∠BAD的度数，再由三角形外角的性质求出∠ADC的度数，即可求出∠E的度数．
【详解】解：∵∠ACE=∠B+∠BAC，∠B=40°，∠ACE=78°，
∴∠BAC=∠ACE−∠B=78°−40°=38°，
∵ AD平分∠BAC，
∴∠DAB=12∠BAC=19°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=40°+19°=59°，
∵ EF⊥AD于F，
∴∠EFD=90°，
∴∠E=90°−∠ADC=90°−59°=31°，
故答案为：31°．
【变式5-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③ ∠BOC=90°+∠1；④∠BOC=90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
【答案】①④/④①
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质，解题关键是理解并能灵活运用相关概念得到角之间的关系．先利用角平分线的定义得到∠ABC=2∠EBC，∠ACD=2∠ECD，∠ACB=2∠ACO，再利用三角形的外角的性质转化各角之间的关系即可求解．
【详解】解：∵BO平分∠ABC， CE为外角∠ACD的平分线，
∴∠ABC=2∠EBC，∠ACD=2∠ECD，
∴∠1=∠ACD−∠ABC=2∠ECD−∠EBC=2∠2，故①正确；
∵CO平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACO，
∴∠OCE=∠ACE+∠ACO=12∠ACD+∠ACB=12×180°=90°，
∴∠BOC=∠2+90°，故④正确；
∵∠2不一定是45°，故②不正确；
由于∠1=2∠2，
∴∠BOC=12∠1+90°，故③不正确；
故答案为：①④．
【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，∠BCD=∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F=75°，则∠A= ．
【答案】150°/150度
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形的外角，平行得到∠ADC+∠BCD=180°，角平分线结合∠BCD=∠BDC，得到∠EDB=90°，进而求出∠FGD=15°，外角的性质，求出∠FBD+∠EDB=15°，进而得到∠ABD+∠ADB=30°，再利用三角形的内角和求解即可．
【详解】解：如图，设BF,DE交于点G，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DE平分∠ADB，∠BCD=∠BDC，
∴∠BDE=12∠ADB，
∴∠EDB+∠BDC=12∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠EDC=90°，
∴∠FGD=90°−∠F=15°，
∵∠FGD=∠EDB+∠FBD，
∴∠EDB+∠FBD=15°，
∵∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，
∴∠ABD=2∠FBD,∠ADB=2∠EDB，
∴∠ABD+∠ADB=2∠FBD+∠EDB=30°，
∴∠A=180°−∠ABD+∠ADB=150°；
故答案为：150°．
【变式6-1】（23-24·河北沧州·二模）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，两三角板斜边在同一直线上，含30°角的三角板的一直角边在l1上，则∠α的度数为（ ）
A．8°B．10°C．12°D．15°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠2=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3=∠α+∠2，从而求出∠α的度数，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵直线l1∥l2，
∴∠1=∠2=30°，
∵∠3=∠α+∠2，且∠3=45°，
∴∠α=45°−30°=15°，
故选：D．
【变式6-2】（23-24·吉林长春·二模）如图，将一块含30°角的三角尺和一把直尺叠放在一起．若∠1=72°，则∠2的度数为 ．
【答案】132°/132度
【分析】
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可．
【详解】
如图，
∵MN∥GH，∠1=72°，
∴∠AGH=∠1=72°，
∵∠A=60°，∠2=∠A+∠AGH，
∴∠2=132°，
故答案为：132°．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，已知AM∥BN，∠A=x°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D，当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ADB的度数为 （用含有x的代数式表示）
【答案】45−14x°
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质可得∠ABN=180°−x°，再结合角平分线的定义，三角形的外角的性质可证明∠ABC=∠CBP=∠PBD=∠DBN，即可得到∠ABC的度数．
【详解】解：∵AM∥BN，∠A=x°，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=180°−x°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠ABC=∠CBP，∠DBP=∠DBN，
∵∠ACB=∠ABD，∠ACB=∠ADB+∠DBC，∠ABD=∠ABC+∠DBC，
∴∠ABC=∠ADB，
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠PBD=∠DBN，
∴∠ABC=14∠ABC=45−14x°，
故答案为：45−14x°．
【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】
【例7】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB<∠A，BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=12∠A；④∠A−∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．
由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，从而可得出∠G=12∠A，可判断③，由2∠EBD=290°−∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，可得2∠EBD=180°−2∠DBC+2∠ACB =∠A−∠ACB，从而可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵BD是△ABC角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，故①正确；
∵BE是边AC上的高，
∴∠ABE+∠A=90°，故②正确；
∵BD是△ABC角平分线，CG平分∠ACF，
∴∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，
∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，
∴2∠GCF=2∠GBC+∠A，
∴∠G=12∠A，故③正确；
∵2∠DBE=290°−∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，
∴2∠DBE=180°−2∠DBC+2∠ACB
=180°−(∠ABC+2∠ACB)
=180°−(180°−∠A+∠ACB)
=∠A−∠ACB，故④正确；
∴正确的有①②③④共4个，
故选：D．
【变式7-1】（23-24八年级·湖南长沙·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
【答案】105°/105度
【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．先求出∠BCD=45°，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵∠ACB=90°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=45°，
∴∠α=∠B+∠BCD=60°+45°=105°．
故答案为：105°．
【变式7-2】（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
(1)∠ABE=15∘，∠BAD=25∘，求∠BED的度数；
(2)若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．
【答案】(1)40∘
(2)3
【分析】（1）根据三角形内角与外角性质解答即可．
（2）根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE=152，根据三角形面积公司求得CD=BD=3
【详解】（1）解：∠BED是△ABE的一个外角，
∵∠ABE=15∘，∠BAD=25∘，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15∘+25∘=40∘．
（2）解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=12S△ABC，
∵S△ABC=30，
∴S△ABD=12×30=15，
∵ BE为△ABD的中线，
∴S△BDE=12S△ABD=12×15=152，
∵EF⊥BC，EF=5，
∴S△ABD=12⋅BD⋅EF，
∴12⋅BD×5=152，
∴BD=3，
∴CD=BD=3．
【点睛】本题主要涉及三角形外角性质及三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半．本题运用了数形结合的数学思维．熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC=50°，若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB= ．
【答案】10°或20°或40°或110°
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法．分为四种情况，画出图形，分别求出∠AP1B、∠AP2B、∠AP3B、∠AP4B的度数即可．
【详解】解：如图，若点P1在点B左侧，△ABP1是“准直角三角形”，且2∠BAP1+∠AP1B=90°，
∵∠BAP1+∠AP1B=∠ABC=50°，
∴∠BAP1+50°=90°，
∴∠BAP1=40°，
∴∠AP1B=∠ABC−∠BAP1=10°；
若点P2在点B左侧，△ABP2是“准直角三角形”，且2∠AP2B+∠BAP2=90°，
∵∠AP2B+∠BAP2=∠ABC=50°，
∴∠AP2B+50°=90°，
∴∠AP2B=40°；
若点P3在点B右侧，△ABP3是“准直角三角形”，且2∠BAP3+∠ABP3=90°，
∵∠ABP3=∠ABC=50°，
∴2∠BAP3+50°=90°，
∴∠BAP3=20°，
∴∠AP3B=180°−∠ABP3−∠BAP3=180°−50°−20°=110°；
若点P4在点B右侧，△ABP4是“准直角三角形”，且2∠AP4B+∠ABP4=90°，
∵∠ABP4=∠ABC=50°，
∴2∠AP4B+50°=90°，
∴∠AP4B=20°，
综上所述，∠APB的度数为10°或20°或40°或110°
故答案为：10°或20°或40°或110°．
【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A=α，∠H=β，则α与β之间的数量关系为 ．
【答案】90°−12α
【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，对顶角的性质，三角形内角和定理，由三角形外角性质可得∠ABD=α+∠ACB，∠ACE=α+∠ABC，由角平分线定义得∠DBF=12∠ABD=12α+∠ACB，∠ECG=12∠ACE=12α+∠ABC，进而得∠CBH=∠DBF=12α+∠ACB，∠BCH=∠ECG=12α+∠ABC，再根据三角形内角和定理可得12α+∠ACB+12α+∠ABC+β=180°，即可得到α+β+12180°−α=180°，进而即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键．
【详解】解：由三角形外角性质可得，∠ABD=α+∠ACB，∠ACE=α+∠ABC，
∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，
∴∠DBF=12∠ABD=12α+∠ACB，∠ECG=12∠ACE=12α+∠ABC，
∴∠CBH=∠DBF=12α+∠ACB，∠BCH=∠ECG=12α+∠ABC，
∵∠CBH+∠BCH+∠H=180°，
∴12α+∠ACB+12α+∠ABC+β=180°，
∴α+β+12∠ACB+∠ABC=180°，
∴α+β+12180°−α=180°，
即β=90°−12α，
故答案为：90°−12α．
【变式8-1】（23-24上·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，D、E在边AB上，∠A，∠1，∠2的大小关系是 ．
【答案】∠2>∠1>∠A
【分析】根据三角形的外角性质，即可解答．
【详解】解：∵∠2是△DEC的一个外角，
∴∠2>∠1，
∵∠1是△ADC的一个外角，
∴∠1>∠A，
∴∠2>∠1>∠A，
故答案为：∠2>∠1>∠A．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角是解题的关键．
【变式8-2】（23-24八年级·甘肃张掖·期末）如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( ).
A．∠A>∠DOE>∠BECB．∠DOE>∠A>∠BEC
C．∠BEC>∠DOE>∠AD．∠DOE>∠BEC>∠A
【答案】D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】解：在△ABE中，∠BEC=∠A+∠B，
∴∠BEC>∠A，
在△COE中，∠DOE=∠BEC+∠C，
∴∠DOE>∠BEC，
∴∠DOE>∠BEC>∠A，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·河南商丘·期末）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC．
(1)∠1、∠2、∠A的大小关系是： ＞ ＞ ；
(2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解．
【答案】(1)∠1；∠2；∠A
(2)∠1=132°
【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理；
（1）根据三角形外角的性质可得∠2=∠3+∠A，∠1=∠2+∠4，然后可得答案；
（2）思路一：先在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠PBC+∠PCB的度数，再在△PBC中利用三角形内角和定理求出∠1的度数；
思路二：先利用三角形外角的性质求出∠2的度数，再利用三角形外角的性质求出∠1的度数．
【详解】（1）解：∵∠2是△ABD的外角，∠1是△CDP的外角，
∴∠2=∠3+∠A，∠1=∠2+∠4，
∴∠2>∠A，∠1>∠2
∴∠1>∠2>∠A，
故答案为：∠1；∠2；∠A；
（2）思路一：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4=180°，
∴∠PBC+∠PCB=180°−∠A−∠3−∠4=180°−67°−25°−40°=48°，
在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠1=180°−∠PBC+∠PCB=180°−48°=132°；
思路二：∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°．
【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】
【例9】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数为 ．
【答案】122024α/α22024
【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．
【详解】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴12∠ABC+∠A=12∠ABC+∠A1，
∴∠A1=12∠A，
∵∠A=α，
∴∠A1=α2；
同理可得∠A2=12∠A1=α22，∠A3=12∠A2=α23，⋯，
∴∠An=α2n，
∴∠A2024=α22024，
故答案为：α22024．
【变式9-1】（23-24八年级·广东茂名·阶段练习）如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，以此类推，若∠B=20°，则∠A4的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】A
【分析】由∠B=20°根据三角形内角和公式可求得∠AA1B的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠AA1B与∠A4的关系即可解答．
【详解】解：∵AB=A1B，∠B=20°，
∴∠A=∠AA1B=12180°−20°=80°．
∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，
∴∠CA2A=12∠AA1B，∠DA3A=12∠CA2A，∠A4=12∠DA3A，
∴∠A4=18∠AA1B，
∴∠A4=10°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【变式9-2】（23-24·全国·八年级专题练习）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°−7°=83°．当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A= °．若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值= °．
【答案】 76 6
【分析】根据入射角等于反射角得出∠1=∠2=90°−7°=83°，再由∠1是△AA1O的外角即可得∠A度数；如图，当MN⊥OA时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出∠5、∠9的度数，从而得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．
【详解】解：∵A1A2⊥AO，∠AOB=7°，
∴∠1=∠2=90°−7°=83°，
∴∠A=∠1−∠AOB=76°，
如图：
当MN⊥OA时，光线沿原路返回，
∴∠4=∠3=90°−7°=83°，
∴∠6=∠5=∠4−∠AOB=83°−7°=76°=90°−2×7°，
∴∠8=∠7=∠6−∠AOB=76°−7°=90°−3×7°，
∴∠9=∠8−∠AOB=69°−7°=62°=90°−4×7°，
由以上规律可知，∠A=90°−2n⋅7°，
当n=6时，∠A取得最小值，最小度数为6°，
故答案为：76，6．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，∠A=20°,∠EBC,∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与∠DCB的平分线交于点A1,∠EBA1与∠DCA1的平分线交于点A2,…,∠EBAn−1与∠DCAn−1的平分线相交于点An，当两条角平分线无交点时，则n的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查图形变化的规律，三角形内角和定理及整体思想的运用是解题的关键.利用整体思想结合三角形的内角和定理即可依次求出∠A1,∠A2,⋯⋅∠An的度数，根据发现的规律即可解决问题.
【详解】∵∠A=20°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−20°=160°，
∴∠EBC+∠DCB=360°−160°=200°，
又 ∵BA1和 CA1分别平分∠EBC和∠DCB,
∴∠A1BC=12∠EBC,∠A1CB=12∠DCB,
∴∠A1BC+∠A1CB=12∠EBC+∠DCB=12×200°=100°，
∴∠A1=180°−∠A₁BC+∠A₁CB=180°−100°=80°，
∵BA2和 CA2分别平分 ∠EBA1和 ∠DCA1,
∴∠A2BA1=12∠EBA1,∠A2CA1=12∠DCA1，
∴∠EBA1+∠DCA1=∠EBC+∠DCB−∠A1BC+∠A1CB=100° ，
∴∠A2BA1+∠A2CA1=12∠EBA1+∠DCA1=50°
∴∠A2BC+∠A2CB=100°+50°=150°，
∴∠A2=180°−150°=30°，
同理可得，∠A3BC+∠A3CB=175°,
∴∠A3=180°−175°=5°，
∠A4BC+∠A4CB=187.5°，
∵187.5°>180°，
∴无法组成三角形，即两条角平分线无交点，
故n的值为3.
故答案为: 3.
【题型10 三角形的外角性质的实际应用】
【例10】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图是国家级非物质文化遗产——“抖空竹”．在“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，若将图①抽象成图②的数学问题：AB∥CD，∠EAB=70°，∠ECD=110°，则∠E的大小是 度．
【答案】40
【分析】延长DC交AE于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可．
【详解】如图，延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，∠EAB=70°，∠ECD=110°，
∴∠CFE=∠EAB=70°，∠E=∠ECD-∠CFE=110°-70°=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式10-1】（23-24·河南·三模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P=10°，∠CFP=105°，则∠ABP的大小为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．85°
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到∠AEP=105°，再由三角形外角定理即可求解．此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．
【详解】解：∵AB∥CD，∠CFP=105°，
∴∠AEP=∠CFP=105°，
∵∠AEP=∠ABP+∠P，∠P=10°，
∴∠ABP=∠AEP−∠P=105°−10°=95°，
故选：C．
【变式10-2】（23-24·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
【答案】 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成．在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．
（1）当∠EFH=56°，BC∥EF时，∠ABC= 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=70°，此时∠ABC= 度．
【答案】 124 160
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
（1）在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH=∠EFH=56°，再利用AB∥GH，可得∠ABK的度数，从而可求∠ABC的度数；
（2）在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得∠Q=∠EFH=70°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得∠ABC的度数．
【详解】解：（1）如图2，延长CB，HG，相交于点K，
∵BC∥EF，∠EFH=56°，
∴∠K=∠EFH=56°，
∵AB∥KH，
∴∠ABK=∠K=56°，
∴∠ABC=180°−56°=124°，
故答案为：124．
（2）如图3，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，
∵AB∥FH，∠EFH=70°，
∴∠Q=∠EFH=70°，
∵∠BPQ=90°，
∴∠ABC=90°+70°=160°．
故答案为：160．思路一
先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数．
思路二
先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25539" 【题型1 外角的定义】 PAGEREF _Tc25539 \h 1
\l "_Tc3479" 【题型2 求三角形外角的度数】 PAGEREF _Tc3479 \h 2
\l "_Tc9893" 【题型3 由三角形的外角性质求角度】 PAGEREF _Tc9893 \h 3
\l "_Tc5643" 【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】 PAGEREF _Tc5643 \h 4
\l "_Tc23954" 【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc23954 \h 5
\l "_Tc13702" 【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc13702 \h 7
\l "_Tc4868" 【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】 PAGEREF _Tc4868 \h 8
\l "_Tc14251" 【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】 PAGEREF _Tc14251 \h 9
\l "_Tc2749" 【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】 PAGEREF _Tc2749 \h 10
\l "_Tc9510" 【题型10 三角形的外角性质的实际应用】 PAGEREF _Tc9510 \h 11
知识点1：三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【题型1 外角的定义】
【例1】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是（ ）
A．∠ACDB．∠AEBC．∠AEFD．∠CEF
【变式1-1】（23-24八年级·河北廊坊·期中）下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，∠ADB是△ 和△ 的外角；以AC为一边长的三角形有 个．
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
已知：__________________
求证：__________________
证明：
【题型2 求三角形外角的度数】
【例2】（23-24八年级·四川泸州·阶段练习）在△ABC中，若3(∠A+∠B)=2∠C，则∠C的外角的度数为（ ）
A．36°B．72°C．108°D．144°
【变式2-1】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是 ( )
A．80°或140°B．80°或100°C．100°或140°D．140°
【变式2-2】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，直线a∥b，一块有60°的直角三角尺如图放置，∠1=135°，则∠2= ．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠A=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠CDB的度数为 ．
【题型3 由三角形的外角性质求角度】
【例3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”
【问题解决】
（1）在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDA=______；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠A=60°，求∠P的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A=m°，∠B=n°，且m>n，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【变式3-1】（23-24·江西南昌·模拟预测）将一个含45°角和一个含30°角的直角三角形按如图所示的方式放置，若点D在线段AB上，BC=BD，则∠CFE的度数为 ．
【变式3-2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，将线段AB平移得到线段CD，点P在AC延长线上，点Q在射线OB上，∠PCD、∠QBA的角平分线所在直线相交于点E，若∠OAB=α，∠OBA=β，则∠CEB= ．（用α，β表示）
【变式3-3】（23-24八年级·四川内江·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A．120°B．130°C．150°D．180°
【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】
【例4】（23-24八年级·北京朝阳·期中）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB=AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60°B．72°C．36°D．90°
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A=28°，∠BDA'=90°，则∠A'EC的大小为 ．
【变式4-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中、∠B=50°，∠C=30°，点D是BC边上一点，连接AD，将△ABD沿着AD折叠，点B落在点B1处、若AB1∥BC，则∠CAD的度数为 °．
【变式4-3】（23-24八年级·河南南阳·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，点D在BC边上，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE和边AC重合时结束，边AE交边BC于点F．若折叠过程中，△DEF中有两个角相等，则此时∠BAD的度数为 ．
【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则∠A的度数为 ．
【变式5-1】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P，AP交BC于D．过B作BG⊥AP于G．若∠GBP=58°，求∠ACB的度数．
【变式5-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=78°，则∠E的度数为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③ ∠BOC=90°+∠1；④∠BOC=90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，∠BCD=∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F=75°，则∠A= ．
【变式6-1】（23-24·河北沧州·二模）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，两三角板斜边在同一直线上，含30°角的三角板的一直角边在l1上，则∠α的度数为（ ）
A．8°B．10°C．12°D．15°
【变式6-2】（23-24·吉林长春·二模）如图，将一块含30°角的三角尺和一把直尺叠放在一起．若∠1=72°，则∠2的度数为 ．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，已知AM∥BN，∠A=x°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D，当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ADB的度数为 （用含有x的代数式表示）
【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】
【例7】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB<∠A，BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=12∠A；④∠A−∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-1】（23-24八年级·湖南长沙·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
(1)∠ABE=15∘，∠BAD=25∘，求∠BED的度数；
(2)若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．
【变式7-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC=50°，若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB= ．
【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A=α，∠H=β，则α与β之间的数量关系为 ．
【变式8-1】（23-24上·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，D、E在边AB上，∠A，∠1，∠2的大小关系是 ．
【变式8-2】（23-24八年级·甘肃张掖·期末）如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( ).
A．∠A>∠DOE>∠BECB．∠DOE>∠A>∠BEC
C．∠BEC>∠DOE>∠AD．∠DOE>∠BEC>∠A
【变式8-3】（23-24八年级·河南商丘·期末）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC．
(1)∠1、∠2、∠A的大小关系是： ＞ ＞ ；
(2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解．
【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】
【例9】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数为 ．
【变式9-1】（23-24八年级·广东茂名·阶段练习）如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，以此类推，若∠B=20°，则∠A4的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【变式9-2】（23-24·全国·八年级专题练习）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°−7°=83°．当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A= °．若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值= °．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，∠A=20°,∠EBC,∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与∠DCB的平分线交于点A1,∠EBA1与∠DCA1的平分线交于点A2,…,∠EBAn−1与∠DCAn−1的平分线相交于点An，当两条角平分线无交点时，则n的值为 ．
【题型10 三角形的外角性质的实际应用】
【例10】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图是国家级非物质文化遗产——“抖空竹”．在“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，若将图①抽象成图②的数学问题：AB∥CD，∠EAB=70°，∠ECD=110°，则∠E的大小是 度．
【变式10-1】（23-24·河南·三模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P=10°，∠CFP=105°，则∠ABP的大小为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．85°
【变式10-2】（23-24·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成．在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．
（1）当∠EFH=56°，BC∥EF时，∠ABC= 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=70°，此时∠ABC= 度．思路一
先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数．
思路二
先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数．
专题11.4 三角形的外角【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25539" 【题型1 外角的定义】 PAGEREF _Tc25539 \h 1
\l "_Tc3479" 【题型2 求三角形外角的度数】 PAGEREF _Tc3479 \h 4
\l "_Tc9893" 【题型3 由三角形的外角性质求角度】 PAGEREF _Tc9893 \h 6
\l "_Tc5643" 【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】 PAGEREF _Tc5643 \h 13
\l "_Tc23954" 【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc23954 \h 16
\l "_Tc13702" 【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc13702 \h 20
\l "_Tc4868" 【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】 PAGEREF _Tc4868 \h 23
\l "_Tc14251" 【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】 PAGEREF _Tc14251 \h 28
\l "_Tc2749" 【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】 PAGEREF _Tc2749 \h 31
\l "_Tc9510" 【题型10 三角形的外角性质的实际应用】 PAGEREF _Tc9510 \h 35
知识点1：三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【题型1 外角的定义】
【例1】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是（ ）
A．∠ACDB．∠AEBC．∠AEFD．∠CEF
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，据此即可求解．
【详解】解：根据三角形外角的定义可知：
∠AEF是△ABE的外角，
故选：C．
【变式1-1】（23-24八年级·河北廊坊·期中）下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可．
【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意；
故选D．
【变式1-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，∠ADB是△ 和△ 的外角；以AC为一边长的三角形有 个．
【答案】 ADC DFC 4
【分析】本题考查了三角形的认识及三角形外角的定义，熟记三角形的定义：“三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”及三角形外角的定义：“三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角”是解题的关键．
【详解】解：根据图形可得：∠ADB是△ADC和△DFC的外角；
以AC为一边长的三角形有：△ACF，△ADC，△ACB，△ACE，共4个；
故答案为：ADC；DFC；4．
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
已知：__________________
求证：__________________
证明：
【答案】三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；证明过程见解析
【分析】根据三角形的内角和，结合平角的定义，利用等量代换即可求证．
【详解】解：
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
∠ACD+∠ACB=180°
∴∠ACD=∠A+∠B
【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质证明．掌握三角形的内角和及平角的定义是解题关键．
【题型2 求三角形外角的度数】
【例2】（23-24八年级·四川泸州·阶段练习）在△ABC中，若3(∠A+∠B)=2∠C，则∠C的外角的度数为（ ）
A．36°B．72°C．108°D．144°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角定义，根据三角形内角和定理得∠A+∠B=180°−∠C，再结合已知条件3(∠A+∠B)=2∠C，得3(180°−∠C)=2∠C，即可得出∠C的度数，再根据∠C的外角的度数等于180°−∠C即可得出答案，解题关键是掌握三角形内角和定理．
【详解】解：∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=180°−∠C，
∵ 3(∠A+∠B)=2∠C，
∴ 3(180°−∠C)=2∠C，
∴ ∠C=108°，
∴ ∠C的外角的度数为180°−∠C=72°，
故选：B．
【变式2-1】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是 ( )
A．80°或140°B．80°或100°C．100°或140°D．140°
【答案】A
【详解】试题分析：由题意得，如果∠A=∠B=40°，则∠C的外角的大小是80°，如果∠C=40°，则∠C的外角的大小是140°.
考点：三角形的外角
点评：该题主要考查学生对三角形内角及外角之间的关系，对于该中题型，学生要考虑全面．
【变式2-2】（23-24八年级·四川达州·期末）如图，直线a∥b，一块有60°的直角三角尺如图放置，∠1=135°，则∠2= ．
【答案】105°/105度
【分析】根据平行线的性质，得到∠3=135°，再根据三角形外角的定义，得出∠4=105°，最后利用对顶角相等，即可求出∠2的度数．
【详解】解：∵a∥b
∴∠1=∠3=135°
∵∠A=30°
∠3=∠A+∠4
∴∠4=∠3−∠A=105°
∵∠2=∠4
∴∠2=105°
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了三角尺的特征，平行线的性质，三角形外角的定义，对顶角，解题关家是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠A=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠CDB的度数为 ．
【答案】109°
【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形的性质、折叠的性质以及平行线的性质是解题的关键．
如图：连接B'C，由平行线的性质可得∠ADB'=∠A=38°，再轴对称的性质可得∠CDB=∠CDB'，再根据角的和差及三角形外角的性质可得∠CDB=∠A+∠ACD,∠CDB'=∠ADB'+∠CDA，即∠ACD=∠CDA，再结合三角形内角和定理可得∠ACD=71°，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接B'C，
∵B'D∥AC，
∴∠ADB'=∠A=38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B'，
∴∠CDB=∠CDB'，
∵∠CDB=∠A+∠ACD,∠CDB'=∠ADB'+∠CDA，
∴∠ACD=∠CDA，
∴∠ACD=180°−∠A2=71°，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=109°．
故答案为：109°
【题型3 由三角形的外角性质求角度】
【例3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”
【问题解决】
（1）在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDA=______；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠A=60°，求∠P的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A=m°，∠B=n°，且m>n，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【答案】（1）95°或80°
（2）∠P的度数是140°
（3）23m°或13m°或13m−n°或23m+13n°
【分析】（1）分BD是“邻AB三分线”，“邻BC三分线”，两种情况讨论，求出∠ABD的度数，在△ABD中，应用内角和定理，即可求解，
（2）根据已知，得到∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，在△ABC中，求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得到∠PBC+∠PCB=40°，在△ABC中，应用内角和定理，即可求解，
（3）分四种情况进行讨论，根据三角形外角定理，用含m、n的代数式，表示出∠BPC，即可求解，
本题考查了角分线的新定义，三角形内角和定理，三角形外角定理，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】（1）解：当BD是“邻AB三分线”时，
∵∠A=70°，∠B=45°，
∴∠ABD=13∠ABC=13×45°=15°，
在△ABD中，∠BDA=180°−∠A−∠ABD=180°−70°−15°=95°，
当BD是“邻BC三分线”时，
∵∠A=70°，∠B=45°，
∴∠ABD=23∠ABC=23×45°=30°，
在△ABD中，∠BDA=180°−∠A−∠ABD=180°−70°−30°=80°，
故答案为：95°或80°，
（2）解：
∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，
∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，
在△ABC中，∠PBC+∠PCB=13∠ABC+13∠ACB=13∠ABC+∠ACB=13×120°=40°，
∠APB=180°−∠PBC+∠PCB=180°−40°=140°，
即：∠P的度数是140°，
（3）解：分四种情况进行讨论：
情况一：当BP是“邻AB三分线”，CP是“邻AC三分线”，
∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n°，
∴∠PBC=23∠ABC=23n°，∠PCD=23∠ACD=23m+n°，
∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，
∴23n°+∠BPC=23m+n°，
∴∠BPC=23m°，
情况二：BP是“邻BC三分线”，CP是“邻CD三分线”，
∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n°，
∴∠PBC=13∠ABC=13n°，∠PCD=13∠ACD=13m+n°，，
∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，
∴13n°+∠BPC=13m+n°，
∴∠BPC=13m°，
情况三：当BP是“邻AB三分线”，CP是“邻CD三分线”，
∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n°，
∴∠PBC=23∠ABC=23n°，∠PCD=13∠ACD=13m+n°，，
∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，
∴23n°+∠BPC=13m+n°，
∴∠BPC=13m−n°，
情况四：当BP是“邻BC三分线”， CP是“邻AC三分线”，
∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n°，
∴∠PBC=13∠ABC=13n°，∠PCD=23∠ACD=23m+n°，
∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，
∴13n°+∠BPC=23m+n°，
∴∠BPC=23m+13n°，
即：23m°或13m°或13m−n°或23m+13n°．
【变式3-1】（23-24·江西南昌·模拟预测）将一个含45°角和一个含30°角的直角三角形按如图所示的方式放置，若点D在线段AB上，BC=BD，则∠CFE的度数为 ．
【答案】82.5°
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：一个含45°角和一个含30°角的直角三角形如图所示，
∴∠B=∠A=45°，∠CDF=60°，∠BCA=90°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=12180°−∠B=67.5°，
∵∠BCA=90°，
∴∠DCA=90°−∠BCA=90°−67.5°=22.5°，
∴∠EFC=∠EDC+∠DCA=60°+22.5°=82.5°．
故答案为：82.5°．
【变式3-2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，将线段AB平移得到线段CD，点P在AC延长线上，点Q在射线OB上，∠PCD、∠QBA的角平分线所在直线相交于点E，若∠OAB=α，∠OBA=β，则∠CEB= ．（用α，β表示）
【答案】α+β2或90°−α+β2
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质和对顶角的性质，三角形外角的性质；对点Q在点B的左侧和右侧进行分类，再画出相应的示意图，结合所画图形即可解决问题，能根据题意画出示意图及熟知图形平移的性质是解题的关键．
【详解】解：当点Q在点B的左侧时，如图所示，
由平移可知，CD∥AB，
∴∠OCD=∠OAB=α，
∴∠PCD=180°−α，
∵CN平分∠PCD，
∴∠PCN=12∠PCD=90∘−12α，
∴∠ECM=∠PCN=90∘−12α；
∵BE平分∠QBA，
∴∠ABE=12∠QBA=12β，
∴∠AMB=180∘−α−12β，
∴∠CEB=∠AMB−∠ECM=90∘−α+β2，
当点Q在点B的右侧时，如图所示，
同理可得，∠ECH=90∘−12α，∠ABH=90∘−12β，
由平移可知，CD∥AB，
∴∠CHE=∠ABH=90∘−12β，
∴∠CEB=180∘−90∘−12α−90∘−12β=α+β2，
综上所述，∠CEB的度数为：α+β2或90∘−α+β2，
故答案为：α+β2或 90∘−α+β2．
【变式3-3】（23-24八年级·四川内江·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A．120°B．130°C．150°D．180°
【答案】D
【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．根据三角形外角的性质把这七个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答即可．
【详解】解：如图，设BF与CG交于点O，AD与CG交于点P，CG与BE交于点M，AD与BE交于点N，
∴∠PNM=∠A+∠E，∠MPN=∠D+∠G，∠BOM=∠C+∠F，∠PMN=∠B+∠BOM．
∵∠PNM+∠MPN+∠PMN=180°，
∴∠PNM+∠MPN+∠PMN=∠A+∠E+∠D+∠G+∠B+∠BOM=∠A+∠E+∠D+∠G+∠B+∠C+∠F=180°．
故选D．
【题型4 三角形的外角性质与翻折的综合运用】
【例4】（23-24八年级·北京朝阳·期中）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB=AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60°B．72°C．36°D．90°
【答案】B
【分析】设∠A=x，由折叠的性质得到∠EDA=∠A=x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=2x，再利用三角形内角和定理求出x，即可求出答案．
【详解】解：设∠A=x，
由折叠得：∠EDA=∠A=x，∠C=∠BED=∠A+∠EDA=2x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠ABC=2x=72°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A=28°，∠BDA'=90°，则∠A'EC的大小为 ．
【答案】34°/34度
【分析】利用折叠性质得∠ADE=∠A'DE=45°，∠AED=∠A'ED，再根据三角形外角性质得∠CED=74°，利用邻补角得到∠AED=106°，则∠A'ED=106°，然后利用∠A'EC=∠A'ED−∠CED进行计算即可．
【详解】解：∵∠BDA'=90°，
∴∠ADA'=90°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴∠ADE=∠A'DE=45°，∠AED=∠A'ED，
∵∠CED=∠A+∠ADE=28°+45°=73°，
∴∠AED=107°，
∴∠A'ED=107°，
∴∠A'EC=∠A'ED−∠CED=107°−73°=34°．
故答案为：34°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键．
【变式4-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中、∠B=50°，∠C=30°，点D是BC边上一点，连接AD，将△ABD沿着AD折叠，点B落在点B1处、若AB1∥BC，则∠CAD的度数为 °．
【答案】35
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握轴对称的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
先由轴对称的性质得出∠B1=∠B=50°，∠ADB1=∠ADB，再由平行线的性质得∠CDB1=∠B1=50°，从而求得∠ADB=65°，然后根据三角形外角的性质求解．
【详解】解：由折叠可得：∠B1=∠B=50°，∠ADB1=∠ADB，
∵AB1∥BC，
∴∠CDB1=∠B1=50°，
∵∠CDB1+∠ADB1+∠ADB=180°，
∴∠ADB=12180°−50°=65°，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠CAD=∠ADB−∠C=65°−30°=35°．
故答案为：35．
【变式4-3】（23-24八年级·河南南阳·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，点D在BC边上，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE和边AC重合时结束，边AE交边BC于点F．若折叠过程中，△DEF中有两个角相等，则此时∠BAD的度数为 ．
【答案】45°或22.5°
【分析】设∠BAD=x°，根据三角形的外角性质可得∠ADF=30°+x°，求得∠ADB=150°−x°，根据折叠的性质可得∠ADE=∠ADB=150°−x°，∠B=∠E=30°，求得∠FDE=120°−2x°，根据三角形内角和定理求得∠DFE=2x°+30°，分∠FDE=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可求解．
【详解】解：设∠BAD=x°，
∵∠BAC=90°，∠C=2∠B，
∴∠B+∠C=3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∴∠ADF=∠B+∠BAD=30°+x°，
∴∠ADB=180°−∠ADF=150°−x°，
∵折叠，
∴∠ADE=∠ADB=150°−x°，∠B=∠E=30°，
∴∠FDE=∠ADE−∠ADF=120°−2x°，
∴∠DFE=180°−∠FDE−∠E=2x°+30°，
当△DEF中有两个角相等，分三种情况：
当∠DFE=∠E时，则30°=2x°+30°，x=0（舍去）；
当∠FDE=∠E时，则30°=120°−2x°，x=45；
当∠DFE=∠FDE时，则120°−2x°=2x°+30°，x=22.5；
故答案为：45°或22.5°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
【题型5 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则∠A的度数为 ．
【答案】60°或120°或45°或135°
【分析】首先利用角平分线定义和三角形外角的性质证明∠A=2∠E，然后求出∠E+∠Q=90°，再分4种情况讨论，求解即可．
【详解】解：如图，延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=90°，
∴∠E+∠Q=90°，
如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
若∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，
∴∠A=2∠E=60°；
若∠EBQ=3∠Q=90°，则∠Q=30°，
∴∠E=60°，
∴∠A=2∠E=120°；
若∠Q=3∠E，则∠E=90°×14=22.5°，
∴∠A=2∠E=45°；
若∠E=3∠Q，则∠E=90°×34=67.5°，
∴∠A=2∠E=135°；
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°，
故答案为：60°或120°或45°或135°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P，AP交BC于D．过B作BG⊥AP于G．若∠GBP=58°，求∠ACB的度数．
【答案】64°
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角性质；由∠GBP=58°，∠BGP=90°，得到∠BPG=32°，根据角平分线的定义得到∠EBP=∠CBP，根据三角形外角的性质得到∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+32°，由∠ACB=∠EBC−∠BAC=2∠EBP−2∠BAP，于是得到结论．
【详解】解：∵∠GBP=58°，∠BGP=90°，
∴∠BPG=32°，
∵BP平分∠CBE，
∴∠EBP=∠CBP，
∵∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+32°，
∵AP平分∠BAC，
∵∠ACB=∠EBC−∠BAC=2∠EBP−2∠BAP
=2(∠BAP+32°−∠BAP)
=64°．
【变式5-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=78°，则∠E的度数为 ．
【答案】31°/31度
【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键．
由三角形外角的性质求出∠BAC的度数，由角平分线定义求出∠BAD的度数，再由三角形外角的性质求出∠ADC的度数，即可求出∠E的度数．
【详解】解：∵∠ACE=∠B+∠BAC，∠B=40°，∠ACE=78°，
∴∠BAC=∠ACE−∠B=78°−40°=38°，
∵ AD平分∠BAC，
∴∠DAB=12∠BAC=19°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=40°+19°=59°，
∵ EF⊥AD于F，
∴∠EFD=90°，
∴∠E=90°−∠ADC=90°−59°=31°，
故答案为：31°．
【变式5-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③ ∠BOC=90°+∠1；④∠BOC=90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
【答案】①④/④①
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质，解题关键是理解并能灵活运用相关概念得到角之间的关系．先利用角平分线的定义得到∠ABC=2∠EBC，∠ACD=2∠ECD，∠ACB=2∠ACO，再利用三角形的外角的性质转化各角之间的关系即可求解．
【详解】解：∵BO平分∠ABC， CE为外角∠ACD的平分线，
∴∠ABC=2∠EBC，∠ACD=2∠ECD，
∴∠1=∠ACD−∠ABC=2∠ECD−∠EBC=2∠2，故①正确；
∵CO平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACO，
∴∠OCE=∠ACE+∠ACO=12∠ACD+∠ACB=12×180°=90°，
∴∠BOC=∠2+90°，故④正确；
∵∠2不一定是45°，故②不正确；
由于∠1=2∠2，
∴∠BOC=12∠1+90°，故③不正确；
故答案为：①④．
【题型6 三角形的外角性质与平行线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，∠BCD=∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F=75°，则∠A= ．
【答案】150°/150度
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形的外角，平行得到∠ADC+∠BCD=180°，角平分线结合∠BCD=∠BDC，得到∠EDB=90°，进而求出∠FGD=15°，外角的性质，求出∠FBD+∠EDB=15°，进而得到∠ABD+∠ADB=30°，再利用三角形的内角和求解即可．
【详解】解：如图，设BF,DE交于点G，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DE平分∠ADB，∠BCD=∠BDC，
∴∠BDE=12∠ADB，
∴∠EDB+∠BDC=12∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠EDC=90°，
∴∠FGD=90°−∠F=15°，
∵∠FGD=∠EDB+∠FBD，
∴∠EDB+∠FBD=15°，
∵∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，
∴∠ABD=2∠FBD,∠ADB=2∠EDB，
∴∠ABD+∠ADB=2∠FBD+∠EDB=30°，
∴∠A=180°−∠ABD+∠ADB=150°；
故答案为：150°．
【变式6-1】（23-24·河北沧州·二模）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之间，两三角板斜边在同一直线上，含30°角的三角板的一直角边在l1上，则∠α的度数为（ ）
A．8°B．10°C．12°D．15°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠2=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3=∠α+∠2，从而求出∠α的度数，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵直线l1∥l2，
∴∠1=∠2=30°，
∵∠3=∠α+∠2，且∠3=45°，
∴∠α=45°−30°=15°，
故选：D．
【变式6-2】（23-24·吉林长春·二模）如图，将一块含30°角的三角尺和一把直尺叠放在一起．若∠1=72°，则∠2的度数为 ．
【答案】132°/132度
【分析】
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可．
【详解】
如图，
∵MN∥GH，∠1=72°，
∴∠AGH=∠1=72°，
∵∠A=60°，∠2=∠A+∠AGH，
∴∠2=132°，
故答案为：132°．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，已知AM∥BN，∠A=x°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D，当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ADB的度数为 （用含有x的代数式表示）
【答案】45−14x°
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质可得∠ABN=180°−x°，再结合角平分线的定义，三角形的外角的性质可证明∠ABC=∠CBP=∠PBD=∠DBN，即可得到∠ABC的度数．
【详解】解：∵AM∥BN，∠A=x°，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=180°−x°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠ABC=∠CBP，∠DBP=∠DBN，
∵∠ACB=∠ABD，∠ACB=∠ADB+∠DBC，∠ABD=∠ABC+∠DBC，
∴∠ABC=∠ADB，
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠PBD=∠DBN，
∴∠ABC=14∠ABC=45−14x°，
故答案为：45−14x°．
【题型7 三角形的外角性质与垂线的综合运用】
【例7】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB<∠A，BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=12∠A；④∠A−∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．
由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，从而可得出∠G=12∠A，可判断③，由2∠EBD=290°−∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，可得2∠EBD=180°−2∠DBC+2∠ACB =∠A−∠ACB，从而可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵BD是△ABC角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，故①正确；
∵BE是边AC上的高，
∴∠ABE+∠A=90°，故②正确；
∵BD是△ABC角平分线，CG平分∠ACF，
∴∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，
∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，
∴2∠GCF=2∠GBC+∠A，
∴∠G=12∠A，故③正确；
∵2∠DBE=290°−∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，
∴2∠DBE=180°−2∠DBC+2∠ACB
=180°−(∠ABC+2∠ACB)
=180°−(180°−∠A+∠ACB)
=∠A−∠ACB，故④正确；
∴正确的有①②③④共4个，
故选：D．
【变式7-1】（23-24八年级·湖南长沙·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
【答案】105°/105度
【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．先求出∠BCD=45°，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵∠ACB=90°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=45°，
∴∠α=∠B+∠BCD=60°+45°=105°．
故答案为：105°．
【变式7-2】（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
(1)∠ABE=15∘，∠BAD=25∘，求∠BED的度数；
(2)若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．
【答案】(1)40∘
(2)3
【分析】（1）根据三角形内角与外角性质解答即可．
（2）根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE=152，根据三角形面积公司求得CD=BD=3
【详解】（1）解：∠BED是△ABE的一个外角，
∵∠ABE=15∘，∠BAD=25∘，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15∘+25∘=40∘．
（2）解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=12S△ABC，
∵S△ABC=30，
∴S△ABD=12×30=15，
∵ BE为△ABD的中线，
∴S△BDE=12S△ABD=12×15=152，
∵EF⊥BC，EF=5，
∴S△ABD=12⋅BD⋅EF，
∴12⋅BD×5=152，
∴BD=3，
∴CD=BD=3．
【点睛】本题主要涉及三角形外角性质及三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半．本题运用了数形结合的数学思维．熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC=50°，若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB= ．
【答案】10°或20°或40°或110°
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法．分为四种情况，画出图形，分别求出∠AP1B、∠AP2B、∠AP3B、∠AP4B的度数即可．
【详解】解：如图，若点P1在点B左侧，△ABP1是“准直角三角形”，且2∠BAP1+∠AP1B=90°，
∵∠BAP1+∠AP1B=∠ABC=50°，
∴∠BAP1+50°=90°，
∴∠BAP1=40°，
∴∠AP1B=∠ABC−∠BAP1=10°；
若点P2在点B左侧，△ABP2是“准直角三角形”，且2∠AP2B+∠BAP2=90°，
∵∠AP2B+∠BAP2=∠ABC=50°，
∴∠AP2B+50°=90°，
∴∠AP2B=40°；
若点P3在点B右侧，△ABP3是“准直角三角形”，且2∠BAP3+∠ABP3=90°，
∵∠ABP3=∠ABC=50°，
∴2∠BAP3+50°=90°，
∴∠BAP3=20°，
∴∠AP3B=180°−∠ABP3−∠BAP3=180°−50°−20°=110°；
若点P4在点B右侧，△ABP4是“准直角三角形”，且2∠AP4B+∠ABP4=90°，
∵∠ABP4=∠ABC=50°，
∴2∠AP4B+50°=90°，
∴∠AP4B=20°，
综上所述，∠APB的度数为10°或20°或40°或110°
故答案为：10°或20°或40°或110°．
【题型8 由三角形的外角性质确定角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A=α，∠H=β，则α与β之间的数量关系为 ．
【答案】90°−12α
【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，对顶角的性质，三角形内角和定理，由三角形外角性质可得∠ABD=α+∠ACB，∠ACE=α+∠ABC，由角平分线定义得∠DBF=12∠ABD=12α+∠ACB，∠ECG=12∠ACE=12α+∠ABC，进而得∠CBH=∠DBF=12α+∠ACB，∠BCH=∠ECG=12α+∠ABC，再根据三角形内角和定理可得12α+∠ACB+12α+∠ABC+β=180°，即可得到α+β+12180°−α=180°，进而即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键．
【详解】解：由三角形外角性质可得，∠ABD=α+∠ACB，∠ACE=α+∠ABC，
∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，
∴∠DBF=12∠ABD=12α+∠ACB，∠ECG=12∠ACE=12α+∠ABC，
∴∠CBH=∠DBF=12α+∠ACB，∠BCH=∠ECG=12α+∠ABC，
∵∠CBH+∠BCH+∠H=180°，
∴12α+∠ACB+12α+∠ABC+β=180°，
∴α+β+12∠ACB+∠ABC=180°，
∴α+β+12180°−α=180°，
即β=90°−12α，
故答案为：90°−12α．
【变式8-1】（23-24上·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，D、E在边AB上，∠A，∠1，∠2的大小关系是 ．
【答案】∠2>∠1>∠A
【分析】根据三角形的外角性质，即可解答．
【详解】解：∵∠2是△DEC的一个外角，
∴∠2>∠1，
∵∠1是△ADC的一个外角，
∴∠1>∠A，
∴∠2>∠1>∠A，
故答案为：∠2>∠1>∠A．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角是解题的关键．
【变式8-2】（23-24八年级·甘肃张掖·期末）如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( ).
A．∠A>∠DOE>∠BECB．∠DOE>∠A>∠BEC
C．∠BEC>∠DOE>∠AD．∠DOE>∠BEC>∠A
【答案】D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】解：在△ABE中，∠BEC=∠A+∠B，
∴∠BEC>∠A，
在△COE中，∠DOE=∠BEC+∠C，
∴∠DOE>∠BEC，
∴∠DOE>∠BEC>∠A，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·河南商丘·期末）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC．
(1)∠1、∠2、∠A的大小关系是： ＞ ＞ ；
(2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解．
【答案】(1)∠1；∠2；∠A
(2)∠1=132°
【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理；
（1）根据三角形外角的性质可得∠2=∠3+∠A，∠1=∠2+∠4，然后可得答案；
（2）思路一：先在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠PBC+∠PCB的度数，再在△PBC中利用三角形内角和定理求出∠1的度数；
思路二：先利用三角形外角的性质求出∠2的度数，再利用三角形外角的性质求出∠1的度数．
【详解】（1）解：∵∠2是△ABD的外角，∠1是△CDP的外角，
∴∠2=∠3+∠A，∠1=∠2+∠4，
∴∠2>∠A，∠1>∠2
∴∠1>∠2>∠A，
故答案为：∠1；∠2；∠A；
（2）思路一：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4=180°，
∴∠PBC+∠PCB=180°−∠A−∠3−∠4=180°−67°−25°−40°=48°，
在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠1=180°−∠PBC+∠PCB=180°−48°=132°；
思路二：∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°．
【题型9 与三角形的外角性质有关的规律探究】
【例9】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数为 ．
【答案】122024α/α22024
【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．
【详解】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴12∠ABC+∠A=12∠ABC+∠A1，
∴∠A1=12∠A，
∵∠A=α，
∴∠A1=α2；
同理可得∠A2=12∠A1=α22，∠A3=12∠A2=α23，⋯，
∴∠An=α2n，
∴∠A2024=α22024，
故答案为：α22024．
【变式9-1】（23-24八年级·广东茂名·阶段练习）如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，以此类推，若∠B=20°，则∠A4的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】A
【分析】由∠B=20°根据三角形内角和公式可求得∠AA1B的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠AA1B与∠A4的关系即可解答．
【详解】解：∵AB=A1B，∠B=20°，
∴∠A=∠AA1B=12180°−20°=80°．
∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，
∴∠CA2A=12∠AA1B，∠DA3A=12∠CA2A，∠A4=12∠DA3A，
∴∠A4=18∠AA1B，
∴∠A4=10°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【变式9-2】（23-24·全国·八年级专题练习）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°−7°=83°．当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A= °．若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值= °．
【答案】 76 6
【分析】根据入射角等于反射角得出∠1=∠2=90°−7°=83°，再由∠1是△AA1O的外角即可得∠A度数；如图，当MN⊥OA时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出∠5、∠9的度数，从而得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．
【详解】解：∵A1A2⊥AO，∠AOB=7°，
∴∠1=∠2=90°−7°=83°，
∴∠A=∠1−∠AOB=76°，
如图：
当MN⊥OA时，光线沿原路返回，
∴∠4=∠3=90°−7°=83°，
∴∠6=∠5=∠4−∠AOB=83°−7°=76°=90°−2×7°，
∴∠8=∠7=∠6−∠AOB=76°−7°=90°−3×7°，
∴∠9=∠8−∠AOB=69°−7°=62°=90°−4×7°，
由以上规律可知，∠A=90°−2n⋅7°，
当n=6时，∠A取得最小值，最小度数为6°，
故答案为：76，6．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，∠A=20°,∠EBC,∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与∠DCB的平分线交于点A1,∠EBA1与∠DCA1的平分线交于点A2,…,∠EBAn−1与∠DCAn−1的平分线相交于点An，当两条角平分线无交点时，则n的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查图形变化的规律，三角形内角和定理及整体思想的运用是解题的关键.利用整体思想结合三角形的内角和定理即可依次求出∠A1,∠A2,⋯⋅∠An的度数，根据发现的规律即可解决问题.
【详解】∵∠A=20°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−20°=160°，
∴∠EBC+∠DCB=360°−160°=200°，
又 ∵BA1和 CA1分别平分∠EBC和∠DCB,
∴∠A1BC=12∠EBC,∠A1CB=12∠DCB,
∴∠A1BC+∠A1CB=12∠EBC+∠DCB=12×200°=100°，
∴∠A1=180°−∠A₁BC+∠A₁CB=180°−100°=80°，
∵BA2和 CA2分别平分 ∠EBA1和 ∠DCA1,
∴∠A2BA1=12∠EBA1,∠A2CA1=12∠DCA1，
∴∠EBA1+∠DCA1=∠EBC+∠DCB−∠A1BC+∠A1CB=100° ，
∴∠A2BA1+∠A2CA1=12∠EBA1+∠DCA1=50°
∴∠A2BC+∠A2CB=100°+50°=150°，
∴∠A2=180°−150°=30°，
同理可得，∠A3BC+∠A3CB=175°,
∴∠A3=180°−175°=5°，
∠A4BC+∠A4CB=187.5°，
∵187.5°>180°，
∴无法组成三角形，即两条角平分线无交点，
故n的值为3.
故答案为: 3.
【题型10 三角形的外角性质的实际应用】
【例10】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图是国家级非物质文化遗产——“抖空竹”．在“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，若将图①抽象成图②的数学问题：AB∥CD，∠EAB=70°，∠ECD=110°，则∠E的大小是 度．
【答案】40
【分析】延长DC交AE于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可．
【详解】如图，延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，∠EAB=70°，∠ECD=110°，
∴∠CFE=∠EAB=70°，∠E=∠ECD-∠CFE=110°-70°=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式10-1】（23-24·河南·三模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P=10°，∠CFP=105°，则∠ABP的大小为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．85°
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到∠AEP=105°，再由三角形外角定理即可求解．此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．
【详解】解：∵AB∥CD，∠CFP=105°，
∴∠AEP=∠CFP=105°，
∵∠AEP=∠ABP+∠P，∠P=10°，
∴∠ABP=∠AEP−∠P=105°−10°=95°，
故选：C．
【变式10-2】（23-24·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
【答案】 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成．在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．
（1）当∠EFH=56°，BC∥EF时，∠ABC= 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=70°，此时∠ABC= 度．
【答案】 124 160
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
（1）在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH=∠EFH=56°，再利用AB∥GH，可得∠ABK的度数，从而可求∠ABC的度数；
（2）在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得∠Q=∠EFH=70°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得∠ABC的度数．
【详解】解：（1）如图2，延长CB，HG，相交于点K，
∵BC∥EF，∠EFH=56°，
∴∠K=∠EFH=56°，
∵AB∥KH，
∴∠ABK=∠K=56°，
∴∠ABC=180°−56°=124°，
故答案为：124．
（2）如图3，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，
∵AB∥FH，∠EFH=70°，
∴∠Q=∠EFH=70°，
∵∠BPQ=90°，
∴∠ABC=90°+70°=160°．
故答案为：160．思路一
先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数．
思路二
先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数．
相关试卷
人教版（2024）11.3.1 多边形课时作业： 这是一份人教版（2024）<a href="/sx/tb_c102676_t7/?tag_id=28" target="_blank">11.3.1 多边形课时作业</a>，共45页。
初中数学人教版（2024）八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角巩固练习： 这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册<a href="/sx/tb_c102674_t7/?tag_id=28" target="_blank">第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角巩固练习</a>，共53页。
初中数学人教版（2024）八年级上册11.1.1 三角形的边精练： 这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册<a href="/sx/tb_c102667_t7/?tag_id=28" target="_blank">11.1.1 三角形的边精练</a>，共33页。
