专题2-2实数（考题猜想，实数与数轴的关系解题的三种技巧与常见估算的五种题型）（人教版）（原卷版+解析版）

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专题2-2实数（考点猜想，利用实数与数轴的关系解题的三种技巧与常见估算的五种题型） 技巧1：利用数轴上的点表示实数【例题1】（22-23七年级下·山东日照·期中）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　）A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间【答案】D【分析】本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出的值是解答此题的关键．先估算出的值，再确定出其位置即可．【详解】即∴表示数的点应在之间．故选：D．【变式1】（23-24九年级上·广东潮州·期中）如图，数轴上，两点对应的实数分别是和．若，则表示的实数为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是实数与数轴，数轴上两点之间的距离的含义，熟练掌握两点间的距离公式是解题关键．设，根据，列方程即可求解．【详解】解：设，，数轴上，两点对应的实数分别是和，，． 故选：C．【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）在数轴上对应的点可能是（　　）A．点M B．点N C．点O D．点P【答案】A【详解】估算在哪两个连续的整数之间，即可解决问题．本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键．【解答】， 同时开算术平方根得，，同时乘得，，即在数轴上对应的点为点M．故选：A．【变式3】（22-23七年级下·贵州遵义·期中）若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是（　　）  A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查无理数的估算，涉及数轴定义，由题中数轴图示可知数的取值范围是到之间，对，，，这四个无理数的范围进行估算即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．【详解】解：；由得；由得；由得；∴能被阴影覆盖的数是，故选：D．技巧2：利用数轴表示实数的大小【例题2】（23-24七年级下·甘肃武威·期中）在如图所示的数轴上近似地表示下列各数：，，，，并用“”连接．【答案】在数轴上表示如解析图， ．【分析】本题考查了用数轴表示实数及利用数轴比较实数的大小，根据用数轴表示实数的方法表示出实数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴表示实数的方法及数轴上点的特点是解题的关键．【详解】如图，根据数轴上点的特点可得：．【变式1】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．1，，，，【答案】数轴见解析；【分析】本题考查实数的大小比较，解题的关键是正确理解实数的大小比较法则，以及数轴上右边的数永远大于左边的数．根据实数的大小比较以及数轴与实数是一一对应的关系即可求出答案．【详解】解：，，由各数在数轴上的位置可得：，【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．，，0，，，【答案】数轴见解析；【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴的特点，将各个点表示在数轴上，利用数轴比较大小即可．【详解】解：，，用“”连接为：．【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“【变式2】（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）比较大小：1 ．（填“>”或“【分析】本题考查了无理数的估算，先得出，再得出，即可作答．【详解】解：∵∴∴∴即故答案为：>【变式3】（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）比较大小： 1（选填“”“”或“”）．【答案】【分析】本题考查了无理数的估算、实数的比较大小，先估算出，从而得出，即可得解，正确估算出的大小是解此题的关键．【详解】解：，，即，，即，，故答案为：．题型6：利用估算确定一个数的整数部分和小数部分【例题6】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值为（　　）A．2 B．0 C．1 D．【答案】A【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可．【详解】的整数部分为a，小数部分为b，，故选：A．【变式1】（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（  ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算出及的值，从而估算出与的值，进而求出，的值，进行计算即可解答．【详解】解：，，，的整数部分是：10，，，，的小数部分是，，，故选：B【变式2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知为的整数部分，是400的算术平方根，求．【答案】【分析】本题考查无理数估算、算术平方根及代数式求值等知识，根据无理数的估算，求出的整数部分为13，即，再由算术平方根定义计算，解得，代值求解即可得到答案，熟记算术平方根及无理数估算是解决问题的关键．【详解】解：∵，∴，∴的整数部分为13，即，又∵是400的算术平方根，即，解得，∴．【变式3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）（1）的整数部分是______，小数部分是______．（2）如果的小数部分为的整数部分为，求的值．（3）已知是的小数部分，是小数部分，求出的值．【答案】（1）5；；（2）；（3）．【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的计算是关键．（1）先估算的大小，继而即可求得其整数部分与小数部分；（2）分别估算，的大小，进而求得，的值，代入代数式进行计算即可求解；（3）由已知条件可先求出，从而求出，代入即可求解．【详解】解：（1），，的整数部分为5，小数部分为，故答案为：5；；（2），，，，，；（3），，，是的小数部分，是小数部分，，，．题型7：利用估算探究规律【例题7】（21-22七年级下·安徽芜湖·期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：(1)已知，且x为整数．∵，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是______；划去10648后面的三位648得10，∵，∴x的十位数字一定是______；∴______．(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．【答案】(1)2#，2#，22#(2)【分析】（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．【详解】（1）解：∵，且x为整数．∵，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是2；划去10648后面的三位648得10，∵，∴x的十位数字一定是2；∴22．故答案为：2，2，22．（2）∵，∴y一定是两位数；∵614125的个位数字是5，∴y的个位数字一定是5；划去614125后面的三位125得614，∵，∴y的十位数字一定是8；∴．【点睛】本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．(1)化简：；(2)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值．(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了分母有理化，无理数的估算：（1）仿照题意进行分母有理化即可；（2）将进行分母有理化为，进而可得的整数部分为，小数部分为，代入即可求解；（3）先分母有理化得到，据此把所求式子对应项分母有理化，然后根据二次根式的加减计算法则化简求解即可得到答案．【详解】（1）解：解：；（2）解：∵，∴，∴的整数部分为，小数部分为，∴；（3）解：∵，∴．【变式2】（22-23七年级下·山东济宁·期中）【阅读理解】对于正整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．【问题解答】(1)直接写出的值为______；(2)对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后可变为1．类似地：对进行______次操作后可变为1；(3)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)；(2)三(3)，【分析】（1）先确定的取值范围，再根据定义求解即可；（2）根据题中的步骤，对依次进行运算，求解即可；（3）根据整式的加减运算进行化简，再求得的值，代入求解即可．【详解】（1）解：∵∴根据题中的定义，可得故答案为：（2）解：，对进行三次操作后可变为1故答案为：三（3）解：，∵∴∴将代入得，原式【点睛】此题考查了无理数的估算，新定义问题，整式的化简求值，解题的关键是理解新定义规则，掌握无理数的估算方法．【变式3】（22-23七年级下·贵州黔西·期中）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为1，小数部分为．请根据材料提示，进行解答：(1)的整数部分是______，小数部分是______．(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．(3)已知：，其中是整数，且，请直接写出，的值．【答案】(1)3，(2)(3)，【分析】（1）用夹逼法估算，即可写出其整数部分和小数部分；（2）先估算和，得出m和n的值，再代入求解即可；（3）根据题意，求出的整数部分和小数部分即可．【详解】（1）解：∵，即，∴的整数部分为3，小数部分为，故答案为：3，；（2）解：∵，∴．∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的大小，根据无理数的估算找出其整数部分和小数部分．题型8：利用估算解决实际问题【例题8】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）现有一根铁丝围成面积为的正方形，将其改造为面积为的长方形，使其长宽之比为，问铁丝是否够用？【答案】铁丝够用【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，设改造后的长方形的长为，宽为，先根据正方形面积公式求出正方形的边长为，则铁丝的总长度为，再由长方形面积公式列出方程，解得，进而得到改造后的长方形的周长为，再只需要比较与80的大小即可得到结论．【详解】解：设改造后的长方形的长为，宽为，∵面积为的正方形的边长为，∴铁丝的总长度为，由题意得，，解得（负值舍去），∴改造后的长方形的周长为，∵，∴，∴，∴铁丝够用．【变式1】（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出符合要求的纸片吗？若能，请求出该长方形纸片的长和宽，若不能，请说明理由．【答案】不能裁出，理由见解析【分析】本题考查了算术平方根、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．设长方形的长为，宽为，分别求出长方形的长和正方形的边长，再比较大小即可得．【详解】解：设长方形的长为，宽为，由题意得，，解得或（不符合题意，舍去），∴长方形的长为，宽为，∵正方形的面积为，∴正方形的边长为，∵，∴，∴不能裁出长和宽之比为的长方形．【变式2】（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数）【答案】该汽车超速了，见解析【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，根据二次根式性质进行运算即可．【详解】解：该汽车超速了；理由：∵，，， ∴．故该汽车超速了．【变式3】（23-24七年级下·贵州安顺·阶段练习）小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．(1)求此长方形信封的长和宽．(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．【答案】(1)长方形信封的长为，宽为(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．（1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可；（2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可．【详解】（1）解：∵信封的长、宽之比为，∴设长方形信封的长为，宽为，由题意得，∴（负值舍去），∴长方形信封的长为，宽为；（2）解：正方形贺卡的边长是，∵，∴，∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．