人教A版高中数学必修第二册第8章8-3-2第2课时球的表面积和体积讲义

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第2课时　球的表面积和体积2022年2月6日，在2022年印度女足亚洲杯决赛中，中国女足在0比2落后的情况下逆转，以3比2力克韩国队夺冠，时隔16年重登亚洲之巅．问题：你知道2022女足亚洲杯决赛中所使用的足球的表面积和体积吗？知识点　球的表面积和体积1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝______，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝________．1．表面积为4π的球的半径是________．2．若一个球的体积为36π，则它的表面积为________． 类型1　球的表面积与体积【例1】　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝43πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．[跟进训练]1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为(　　)A．43π　　　　 B．83πC．163π D．323π 类型2　球的截面问题【例2】　(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1．球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为(　　)A．6π　 B．43π　 C．46π　 D．63π(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.[跟进训练]2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________． 类型3　与球有关的切、接问题【例3】　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．[思路导引]　正方体与球 直观想象 轴截面 数学运算 棱长与半径的关系．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题．(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．(2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．[跟进训练]3．(1)长方体的一个顶点处的三条棱长分别是3，3，6，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是(　　)A．12π　　B．18π　　C．36π　　D．6π(2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于(　　)A．12 　　　　B．1　　　C．2　　　D．32．已知正方体的内切球的体积是82π3，则正方体的棱长为(　　)A．22 　　　B．223　　　C．423　　　D．4333．一平面截一球得到直径为25 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是(　　)A．12π cm3 B．36π cm3C．646π cm3 D．108π cm34．将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．球的表面积和体积公式是什么？2．解决球的截面问题的关键是什么？3．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？4．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球半径R′与棱长a呢？5．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？我国古代数学中球的体积公式我国古代数学名著《九章算术》中的“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈3169V.实际上，“开立圆术”认为，球的体积V≈916d3.不过，我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时就发现，上述公式的近似效果并不好，于是想到了推算球体积的方法，他创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形．如图①所示，在一个立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图②所示．牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同球相切．如果用同一水平面去截它们，就得到一个圆(球的截面)和它的外切正方形(牟合方盖的截面)．刘徽指出，在每一高度的水平截面圆与其外切正方形的面积之比等于π4，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于π4.因此，只要知道了牟合方盖的体积，就能得出球的体积．遗憾的是，刘徽当时并没有得出牟合方盖的体积，他说：“敢不阙疑，以候能言者．”刘徽所盼的“能言者”过了两百多年才出现，那就是祖冲之和他的儿子祖暅．祖氏父子继承了刘徽的思路，即从计算牟合方盖体积来突破．他们考虑了立方体切除牟合方盖之后的那部分的体积，取牟合方盖的八分之一，考虑它与其外切正方体所围成的立体，如图③甲所示．将它分成四个小立体，如图③乙、③丙、③丁、③戊．其中图③乙就是牟合方盖的八分之一．祖氏父子通过考察截面的面积发现，图③丙、丁、戊的立体体积之和等于如图③己所示的四棱锥体积，这个四棱锥的底面边长和高都等于如图③甲所示的正方体的边长．因此，如果设球的半径为r，则图③甲中的正方体边长也为r，从而可知八分之一牟合方盖的体积为r3－13r3＝23r3.因此牟合方盖的体积为163r3.再结合刘徽所得到的结论，就可以知道球的体积为43πr3.上面的介绍中，多次使用了“祖暅原理”，所涉及的计算也都没有超出高中数学的范围，感兴趣的同学再仔细推敲一遍吧！　学习任务1．了解并掌握球的体积和表面积公式．(数学抽象)2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(数学运算)3．会解决球的切、接问题．(直观想象、数学运算)