初中数学1.1 一元二次方程综合训练题

这是一份初中数学1.1 一元二次方程综合训练题，文件包含第06讲一元二次方程应用二知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第06讲一元二次方程应用二知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；
懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；
懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。
知识点 1：销售利润问题 ：
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
知识点2：几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则

知识点3 ：动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
【题型 1 销售利润问题】
【典例1】（2022秋•信宜市校级期中）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）y与x之间的函数关系式为 ；
（2）当每千克干果降价1元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2210元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，120），（4，140）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100（0＜x＜20）．
故答案为：y＝10x+100（0＜x＜20）．
（2）（60﹣1﹣40）×（10×1+100）
＝（60﹣1﹣40）×（10+100）
＝19×110
＝2090（元）．
答：当每千克干果降价1元时，超市获利2090元．
（3）根据题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝2210，
整理得：x2﹣10x+21＝0，
解得：x1＝3，x2＝7，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝7．
答：这种干果每千克应降价7元．
【变式1-1】（2021秋•天府新区期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+100 （2）6元或7元
【解答】解：（1）由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（3，70），（9，10）代人得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+100；
（2）由题意得：（x﹣3）y＝120，
即（x﹣3）（﹣10x+100）＝120，
解得：x＝6或x＝7，
∴销售单价应为6元或7元
【变式1-2】（2022秋•顺德区期中）佛山市加快建设制造业创新高地，全球每生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台430元的价格进货一批微波炉，计划以每台500元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y（台）与每台微波炉上涨价格x（元）之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若该商场要求微波炉的月销售量不少于750台，并且每月销售微波炉的利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为71250元时，微波炉的销售单价应定为多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（35，650），（50，500）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x+1000．
（2）依题意得：（500+x﹣430）（﹣10x+1000）＝71250，
整理得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25，
当x＝5时，﹣10x+1000＝﹣10×5+1000＝950＞750，利润率为×100%≈17.44%＜20%，不符合题意；
当x＝25时，﹣10x+1000＝﹣10×25+1000＝750，利润率为×100%≈22.09%＞20%，符合题意，
∴500+x＝500+25＝525．
答：微波炉的销售单价应定为525元．
【变式1-3】（2023•临川区校级一模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160．
（2）依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70．
又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，
∴x＝40，
∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80．
答：每天的销售量应为80千克．
【典例2】（2022•南海区一模）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【答案】(1) 1800元 (2)30元
【解答】解：（1）（270﹣210）×30＝1800 （元）．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
（2）设每件商品应降价x元，
由题意，得（270﹣x﹣210）（30+3x）＝1800×2，
解得 x1＝20，x2＝30．
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
【变式2-1】（2021秋•纳溪区期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件，当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件（x＞40），请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元．
（2）在第（1）间的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．
【解答】解：（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），
则y＝600﹣10（x﹣40）＝1000﹣10x，
∴w＝（x﹣30）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）依题意得：﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，
解得：x1＝50，x2＝80，
答：该玩具的销售价格应定为50元/件或80元/件
【变式2-2】（2022秋•东明县期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【解答】解：（1）500×（1+20%）2＝500×1.44＝720（个）．
答：该工厂在四月份能生产720个“冰墩墩”．
（2）设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利（40﹣x）元，平均每天可售出20+×10＝（20+5x）个，
依题意得：（40﹣x）（20+5x）＝1440，
整理得：x2﹣36x+128＝0，
解得：x1＝4，x2＝32（不符合题意，舍去）
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
【变式2-3】（2022秋•宁德期末）随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率；
（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利14880元，同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元？
【解答】解：（1）设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x，
依题意，得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该宾馆这两年床位的年平均增长率为20%．
（2）设每张床位定价m元，
依题意，得：m（288﹣20•）＝14880，
整理，得：m2﹣184m+7440＝0，
解得m1＝60，m2＝124．
∵为了减轻游客的经济负担，
∴x＝60．
答：每张床位应定价60元．
【题型2 几何面积问题】
【典例3】（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】（1）2m （2）10%
【解答】解：（1）设小路的宽度是xm，
根据题意得：（21+2x）（12+2x）＝400，
整理得：4x2+66x﹣148＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣18.5（舍去）．
答：小路的宽度是2m；
（2）设每次降价的百分率为y，
依题意得：50（1﹣y）2＝40.5，
解得：y1＝0.1，y2＝1.9（舍去），
答：每次降价的百分率为10%．
【变式3-1】（2021•南岗区校级模拟）如图，依靠一面长18米的墙，用38米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD长为x米．
（1）用含有x的代数式表示AB的长，并直接写出x的取值范围；
（2）当矩形场地的面积为180平方米时，求AD的长．
【答案】（1）AB＝38﹣2x（10≤x＜19） （2）AD=10米
【解答】解：（1）∵AD＝x，
∴BC＝x，AB＝38﹣AD﹣BC＝38﹣2x．
又∵墙长18米，
∴，
∴10≤x＜19．
∴AB＝38﹣2x（10≤x＜19）．
（2）依题意得：x(38﹣2x)＝180，
整理得：x2﹣19x+90＝0，
解得：x1＝9（不合题意，舍去），x2＝10．
答：AD的长为10米．
【变式3-2】（2021秋•喀什地区期末）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
【答案】4米
【解答】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为（28﹣x）米的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（28﹣x）＝128×6，
整理得：x2﹣48x+176＝0，
解得：x1＝4，x2＝44（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应为4米．
【变式3-3】（2021秋•萍乡期末）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
【答案】（1）12m （2）不能围成面积为480m2的矩形花园．
【解答】解：（1）设BC＝xm，则AB＝ m，
依题意得：x•＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：
设BC＝ym，则AB＝ m，
依题意得：y•＝480，
整理得：y2﹣62y+960＝0，
解得：y1＝30，y2＝32．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴y1＝30，y2＝32均不符合题意，舍去，
∴不能围成面积为480m2的矩形花园．
【题型3 动点与几何问题】
【典例4】（2022•霍林）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．
（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
【答案】（1） 1秒 （2） 2秒 （3）不可能等于7cm2．
【解答】解：（1）设x秒后，△BPQ的面积为4cm2，此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由BP×BQ＝4，得（5﹣x）×2x＝4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）．
当x＝4时，2x＝8＞7，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去．
答：1秒后△BPQ的面积为4cm2．
（2）由BP2+BQ2＝52，得（5﹣x）2+（2x）2＝52，
整理得x2﹣2x＝0，
解方程得：x＝0（舍去），x＝2．
所以2秒后PQ的长度等于5cm；
（3）不可能．
设（5﹣x）×2x＝7，整理得x2﹣5x+7＝0，
∵b2﹣4ac＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，
所以△BPQ的面积为的面积不可能等于7cm2．
【变式4-1】（2022•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（ ）
A．3sB．3s或5sC．4sD．5s
【答案】A
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故选：A．
【变式4-2】（2022•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？
【答案】1.2s或3s
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝CA＝6，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当点P在边AC上时，由题意知，AP＝2t，AQ＝6﹣t，
当∠APQ＝90°时，AP＝AQ，即2t＝（6﹣t），解得t＝1.2，
当∠AQP＝90°时，AQ＝AP，即6﹣t＝×2t，解得t＝3，
所以，点P在边AC上，当t为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
【变式4-3】（2022•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【答案】（1）（12﹣2t）；4t （2）t＝2或4时
【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案是：（12﹣2t）；4t；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC．
∴AB∥DH．
又∵D是AC的中点，
∴BH＝BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．
∴DH＝AB＝6cm．
根据题意，得﹣×（12﹣2t）﹣×（24﹣4t）×6﹣×2t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0．
解得：t1＝2，t2＝4，
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
1．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得，30（1+x）2＝50．
故选：A．
2．（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
【答案】D
【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，
故选：D．
3.（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】（11﹣2x）（7﹣2x）＝21
【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，
故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21
4．（2020•西藏）列方程（组）解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
【解答】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得
x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得
x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
5.（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式得：，
解得：，
故函数的关系式为：y＝10x+100（0＜x＜20）；
（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，
整理，得x2﹣10x﹣24＝0．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．
所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
6.（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，
根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，
根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形绿地面积为1500m2．
7.（2022•南岸区自主招生）北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个（售价不得低于进价）．第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完．
注：销售利润＝销售量×（售价﹣进价）
（1）若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；
（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；
（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量．
【解答】解：（1）依题意得：第二周每个纪念品的销售利润为（10﹣m﹣6）＝（4﹣m）元，销售量为（200+50m）个，
∴这批纪念品第二周的销售利润为（4﹣m）（200+50m）元．
（2）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）＝1400，
整理得：m2﹣4＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴10﹣m＝10﹣2＝8．
答：第二周每个纪念品的售价为8元．
（3）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）+[（10﹣m）×（1﹣20%）﹣6][600﹣200﹣（200+50m）]＝1730，
整理得：m2+26m﹣27＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣27（不符合题意，舍去），
∴600﹣200﹣（200+50m）＝600﹣200﹣（200+50×1）＝150．
答：这批纪念品第三周的销售数量为150个
1．（2022秋•大渡口区校级期末）某网店以每件100元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为120元，则平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，网店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出5件，每件商品售价为多少元时，该网店日盈利可达到800元？设每件商品售价为x元时，该网店日盈利可达到800元，则可列方程为（ ）
A．（20﹣x）（30+5x）＝800B．（20﹣x）（30+x）＝800
C．（x﹣100）（630﹣5x）＝800D．（x﹣100）（630﹣x）＝800
【答案】C
【解答】解：设每件商品售价为x元，则每天可销售[30+5（120﹣x）]件，
依题意，得：（x﹣100）[30+5（120﹣x）]＝800，
即（x﹣100）（630﹣5x）＝800．
故选：C．
2．（2022秋•河北区期末）某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（ ）
A．50B．60C．50或60D．100
【答案】B
【解答】解：设定价为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，销售量为180﹣10（x﹣52）＝（700﹣10x）个，
根据题意得：（x﹣40）（700﹣10x）＝2000，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60，
当x＝50时，700﹣10x＝700﹣10×50＝200＞180，不符合题意，舍去；
当x＝60时，700﹣10x＝700﹣10×60＝100＜180，符合题意，
∴定价为60元．
故选：B．
3．（2022秋•江岸区校级月考）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则x的值为（ ）
A．10B．8C．7D．5
【答案】D
【解答】解：设金色纸边的宽度为x厘米，
则（50+2x）（80+2x）＝5400，
化简为：x2+65﹣350＝0，
解得：x1＝﹣70（不合题意舍去），x2＝5，
故选：D．
4．（2022秋•甘井子区校级月考）如图，把一块长为40cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求剪去小正方形的边长．
【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则该无盖纸盒的底面是长为（40﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，
根据题意得：（40﹣2x）（20﹣2x）＝576，
整理得：x2﹣30x+56＝0，
解得：x1＝2，x2＝28（不符合题意，舍去）．
答：剪去小正方形的边长为2cm．
5．（2021秋•平定县期末）如图所示，某景区计划在一个长为36m，宽为20m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为336m2，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？
【解答】解：设行车通道的宽度是xm，则三块停车区域可合成长为（36﹣4x）m，宽为（20﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（36﹣4x）（20﹣2x）＝336，
整理得：x2﹣19x+48＝0，
解得：x1＝3，x2＝16（不合题意，舍去）．
答：行车通道的宽度是3m．
6．（2021秋•昌图县期末）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？
（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设AD的长为x 米，则AB＝27﹣3x，根据题意，得x（27﹣3x）＝54，
整理，得x2﹣9x+18＝0，
解得x1＝3，x2＝6
∵墙的最大可用长度为12米，
∴27﹣3x≤12，
∴x≥5，
∴x＝6，即AD的长为6米；
（2）不能围成面积为90平方米的花圃．
理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，
于是有（27﹣3y）•y＝90，
整理得y2﹣9y+30＝0，
∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×30＝﹣39＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为90平方米的花圃．
7．（2021秋•平山区校级月考）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润为320元？
【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×，
∴y＝﹣40x+880（16≤x≤22）；
（2）设销售单价降低a元，则每瓶的销售利润为20﹣16﹣a＝（4﹣a）元，每天的销售量为80+20×＝（80+40a）瓶，
依题意，得：（4﹣a）（80+40a）＝320，
化简，得a2﹣2a＝0，
解得a1＝2，a2＝0（舍去），
∴20﹣a＝18，
答：销售单价为18元．
8．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
【解答】解：设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）＝10890．
整理，得x2﹣700x+122500＝0，
解得 x1＝x2＝350．
答：应该将每间房每天定价为350元．
9．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF = cm， GH= cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长
【答案】（1） （1）（30-2x）；（20-x）（2）5cm.
【解答】（1）（30-2x）；（20-x）
（2）解：依题意，得（30-2x）（20-x）=300，
整理，得x2-35x+150=0，解得x1=5，x2=30（不合题意，舍去）
答：剪掉的小正方形的边长为5cm.
10．（2022秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？
（2）如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，点P，Q相距6cm？
【解答】解：（1）设经过xs后，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一，
依题意得：×2x（6﹣x）＝××6×8，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2s或4s后，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一．
（2）设ys后，点P，Q相距6cm，
依题意得：（6﹣y）2+（2y）2＝62，
解得：y1＝0，y2＝．
答：s后，点P，Q相距6cm．
11．（2022秋•江都区期中）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
12．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）
求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（3）当t为多少秒时，？
【解答】解：（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，
∵∠C＝90°，PQ＝10cm，
∴PC2+CQ2＝PQ2，
即（20﹣4t）2+（2t）2＝102，
解得t1＝3，t2＝5，
答：当t为3秒或5秒时，P、Q两点之间的距离是10cm；
（2）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，
∴S＝CP•CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2，
∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）；
（3）根据题意得：20t﹣4t2＝××20×15，
解得t1＝2，t2＝3，
答：当t为2秒或3秒时，．销售单价x（元/千克）
40
45
55
60
销售量y（千克）
80
70
50
40